| Archimedes called the numbers up to 108 "first order" and called 108 itself the "unit of the second order". | Архимед назвал числа до 108 «первыми числами», а 108 назвал «единицей вторых чисел». |
| However, although the sum of the last two numbers would in this case have a unique representation as a sum of two Ulam numbers, it would not necessarily be the smallest number with a unique representation. | Однако, хотя сумма последних двух чисел в этом случае имеет единственное представление в виде суммы двух чисел Улама, она не обязательно является наименьшим числом с единственным представлением. |
| This interpretation allows one to give a purely algebraic definition of modular curves, without reference to complex numbers, and, moreover, prove that modular curves are defined either over the field Q of rational numbers, or a cyclotomic field. | Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылок на комплексные числа, и, более того, доказывает, что модулярные кривые являются полем определения либо над полем Q рациональных чисел, либо над круговым полем. |
| If all three winning numbers are either high or low you would either have one ticket with all three numbers (1/26 chance of this occurring), or three different tickets that each matched two (4/26 chance). | Если все три выигрышных числа окажутся в одной половине (верхней или нижней), вы получите один билет со всеми тремя выигрышными номерами (с вероятностью 1/26), либо три различных билета с совпадением двух чисел (с вероятностью 4/26). |
| Some prime numbers are even more special: they're called "twin primes," a pair of prime numbers that only differ by two, like 1 1 and 13 or 17 and 19. | Некоторые простые числа еще более особенные: их называют "простые близнецы," пара простых чисел, которые отличаются всего лишь на 2, как 11 и 13 или 17 и 19. |
| Ranks of matrices: Select some number of bits from some number of random numbers to form a matrix over {0,1}, then determine the rank of the matrix. | Ранги матриц (Ranks of matrices) - выбираются некоторое количество бит из некоторого количества случайных чисел для формирования матрицы над {0,1}, затем определяется ранг матрицы. |
| Its value can be described using a recursion relation or using generating functions, but unlike binomial coefficients there is no closed formula for these numbers that does not involve a summation. | Значения можно описать с помощью рекуррентного отношения или с помощью произвводящих функций, но, в отличие от биномиальных коэффициентов, не существует выражения в замкнутой форме для этих чисел, не использующее суммирование. |
| When k is the field of complex numbers, this agrees with the genus of the space X(C) of complex points in its classical (Euclidean) topology. | Если к - поле комплексных чисел, он совпадает с родом пространства комплексных точек Х(С) в классической (евклидовой) топологии. |
| For example, A071031, Triangle read by rows giving successive states of cellular automaton generated by rule 62. tabl A sequence obtained by reading a geometric arrangement of numbers, such as a triangle or square, row by row. | Пример - A071031 «Последовательные состояния клеточного автомата с правилом 62». tabl Последовательность получена построчным прочтением треугольного или квадратного массива чисел. |
| But how will this solve the problem of, given a set of numbers, finding a subset whose product is a square? | Но как мы решаем проблему, фиксируя множество чисел и, находя подмножество, произведение элементов, которого является квадратом? |
| In the case of the complex numbers, C, there is a unique nontrivial automorphism that sends R into R: complex conjugation, but there are infinitely (uncountably) many "wild" automorphisms (assuming the axiom of choice). | В случае комплексных чисел С существует единственный нетривиальный автоморфизм, переводящий R в R - сопряжение числа, но также имеется бесконечно много (несчётно) «диких» автоморфизмов (если принимается аксиома выбора). |
| The Euler characteristic can then be used to compute the Betti numbers for the cohomology of X {\displaystyle X} by using the definition of the Euler characteristic and using the Lefschetz hyperplane theorem. | Эйлерова характеристика может быть тогда использована для вычисления чисел Бетти Х {\displaystyle X} путём использования определения эйлеровой характеристики и теоремы Лефшеца о гиперплоских сечениях. |
| It is only relatively recently that there have been attempts to develop Euler's method into computer algorithms for use on specialised numbers where it is known Euler's method can be applied. | Только относительно недавно были попытки разработать метод Эйлера в компьютерных алгоритмах для специальных чисел, для которых метод Эйлера заведомо применим. |
| The group (C {\displaystyle \mathbb {C}} , ·) of non-zero complex numbers with multiplication as operation is isomorphic to the group S1 mentioned above. | Группа (С , ⋅) {\displaystyle (\mathbb {C} ^{ },\cdot)} ненулевых комплексных чисел по умножению изоморфна группе S1, упомянутой выше. |
| Euler's factorization method is more effective than Fermat's for integers whose factors are not close together and potentially much more efficient than trial division if one can find representations of numbers as sums of two squares reasonably easily. | Метод факторизации Эйлера более эффективен, чем метод Ферма для чисел, делители которых не близки и, потенциально, существенно эффективнее, чем пробное деление, если можно найти представление чисел в виде суммы двух квадратов достаточно быстро. |
| In terms of complex numbers: multiplication by e 2 π i n {\displaystyle e^{2\pi i \over n}} and complex conjugation. | В терминах комплексных чисел: умножением на ё 2 π i n {\displaystyle e^{2\pi i \over n}} и сопряжением. |
| Random password programs often have the ability to ensure that the resulting password complies with a local password policy; for instance, by always producing a mix of letters, numbers and special characters. | Программы, предназначенные для создания случайных паролей, часто имеют свойство гарантировать, что результат будет удовлетворять местной политике паролей; например, всегда создавая пароль из смеси букв, чисел и специальных символов. |
| The leading US electronics companies (Bell Labs, IBM, RCA and General Electric) sought solution to "the tyranny of numbers" in the development of discrete components that implemented a given function with a minimum number of attached passive elements. | Крупные американские корпорации (Bell Labs, IBM, RCA, General Electric) искали решение проблемы «больших чисел» в проверенной временем функциональной электронике - разработке дискретных компонентов (функциональных приборов) c уникальными физическими свойствами, реализующих заданную функцию при минимальном количестве компонентов обвеса. |
| This solution in radicals involves the imaginary number - 3 4 {\displaystyle {\sqrt {-3 \over 4}}} and hence involves the cube roots of complex conjugate numbers. | Это решение в радикалах использует мнимое число - З 4 {\displaystyle {\sqrt {-3 \over 4}}}, а потому и кубические корни сопряжённых комплексных чисел. |
| The name GINS is an acronym created from the first letters of the Japanese numbers 5-1-2-3 (go-ichi-ni-san) in a reference to the 4 protein subunits of the complex: Sld5, Psf1, Psf2, and Psf3. | Имя GINS образовано как акроним по четырём первым буквам японских чисел 5-1-2-3 (go-ichi-ni-san), что является отсылкой к четырём субъединицам комплекса: Slf5, Psf1, Psf2, и Psf3. |
| In his Basilica at Fano, he uses ratios of small integers, especially the triangular numbers (1, 3, 6, 10, ...) to proportion the structure into (Vitruvian) modules. | В его базилике в городе Фано он использовал отношения малых целых чисел, в частности, треугольных чисел (1, 3, 6, 10, ...) как пропорции структуры (виртувиановых) модулей. |
| In the time domain, the signal or function's value is known for all real numbers, for the case of continuous time, or at various separate instants in the case of discrete time. | Во временной области значения сигнала или функции известное для всех действительных чисел в случае непрерывного времени, или в разные отдельные моменты в случае дискретного времени... |
| These formulas can, therefore, be used to define the Theta functions over other fields where the exponential function might not be everywhere defined, such as fields of p-adic numbers. | Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле р-адических чисел. |
| Cyclic numbers can be constructed by the following procedure: Let b be the number base (10 for decimal) Let p be a prime that does not divide b. | Циклические числа можно получить следующей процедурой: Пусть Ь - основание системы счисления (10 для десятичных чисел) Пусть p - простое число, не являющееся делителем b. |
| The second part of Zeckendorf's theorem (uniqueness) requires the following lemma: Lemma: The sum of any non-empty set of distinct, non-consecutive Fibonacci numbers whose largest member is Fj is strictly less than the next larger Fibonacci number Fj + 1. | Вторая часть теоремы требует для доказательства следующую лемму: Лемма: Сумма элементов любого непустого множества различных чисел Фибоначчи (без последовательных), с максимальным числом Fj строго меньше, чем следующее число Фибоначчи Fj + 1. |