| If we multiply two numbers together, it doesn't matter which order we do it in. | ≈сли мы умножаем два числа вместе, не имеет значени€, какое из чисел мы умножаем на какое. |
| It is not known whether a pair of coprime amicable numbers exists, though if any does, the product of the two must be greater than 1067. | Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067. |
| The Fibonacci sequence has been studied extensively and generalized in many ways, for example, by starting with other numbers than 0 and 1, by adding more than two numbers to generate the next number, or by adding objects other than numbers. | Последовательность Фибоначчи интенсивно изучена и обобщена многими способами, например, начиная последовательность с других чисел, отличных от 0 или 1, или путём сложения более двух предшествующих чисел для образования следующего числа. |
| Numbers defined by linear recurrences, such as the Fibonacci and Lucas numbers, also have SNFS polynomials, but these are a little more difficult to construct. | У чисел, определяемых линейными рекуррентными соотношениями, таких как числа Фибоначчи и числа Люка, тоже есть полиномы SNFS, но их немного сложнее получить. |
| Ideally, a numeral system will: Represent a useful set of numbers (e.g. all integers, or rational numbers) Give every number represented a unique representation (or at least a standard representation) Reflect the algebraic and arithmetic structure of the numbers. | Система счисления: даёт представления множества чисел (целых и/или вещественных); даёт каждому числу уникальное представление (или, по крайней мере, стандартное представление); отражает алгебраическую и арифметическую структуру чисел. |
| Many subjects never realize that the actual rule the experimenter was using was simply just to list ascending numbers, because of the subjects' inability to consider indirect tests of their hypotheses. | Многие субъекты никогда не обнаруживают решение, что фактическое правило, использованное экспериментатором - просто список возрастающих чисел, из-за неспособности испытуемых рассмотреть непрямые проверки их гипотезы. |
| In 1850, Sir Frederick Pollock conjectured that every natural number is the sum of at most eleven centered nonagonal numbers, which has been neither proven nor disproven. | В 1850-м году, Поллок высказал предположение, что любое натуральное есть сумма максимум одиннадцати центрированных девятиугольных чисел, которое ни доказано ни опровергнуто. |
| A position in spacetime is called an event, and requires four numbers to be specified: the three-dimensional location in space, plus the position in time (Fig. 1). | Позиция в пространстве-времени называется событием, и требует указания четырёх чисел: трехмерное местоположение в пространстве, а также положение во времени (рис. |
| Thus, over the real numbers the equation has no solutions for x < 1 {\displaystyle x<1} except for (0, 0). | Таким образом, над полем вещественных чисел уравнение не имеет решений для х < 1 {\displaystyle x<1}, за исключением (0, 0). |
| Reductive groups over an arbitrary field are harder to classify, but for many fields such as the real numbers R or a number field, the classification is well understood. | Редуктивные группы над произвольным полем классифицировать труднее, но для многих полей, таких как поле вещественных чисел R или числовое поле, классификация вполне понятна. |
| It remains a very difficult problem to describe these schemes explicitly, and there are few pairs of Chern numbers for which this has been done (except when the scheme is empty). | Однако задача явного описания этих схем очень сложна и имеется очень мало пар чисел Чженя, для которых это сделано (за исключением случаев, когда схема пуста). |
| The number of steps to calculate the GCD of two natural numbers, a and b, may be denoted by T(a, b). | Число шагов для вычисления НОД двух натуральных чисел а и Ь обозначим как Т(а, Ь). |
| In mathematics Paolo introduced the period or comma as a device for separating numbers into groups of three for easing calculations on the order of thousands and millions. | В математике Паоло ввел точку или запятую, как устройство для разделения чисел на группы по три для облегчения вычисления. |
| The kitten method is based on completing patterns in a 3x3 grid of numbers, which represent an affine geometry on the vector space F3xF3, an S(2,3,9) system. | Метод Куртиса основывается на заполнении ЗхЗ таблиц чисел, которые представляют аффинную геометрию на векторном пространстве F3xF3, систему S(2,3,9). |
| If p divides P and q, then p would have to divide the difference of the two numbers, which is (P + 1) - P or just 1. | Если р делит и Р, и q, то оно будет делить разность двух чисел, которая равна (P + 1) - P {\displaystyle (P+1)-P} или просто 1. |
| The history of arithmetic includes the period from the emergence of counting before the formal definition of numbers and arithmetic operations over them by means of a system of axioms. | История арифметики охватывает период от возникновения счёта до формального определения чисел и арифметических операций над ними с помощью системы аксиом. |
| Rotkiewicz showed a related result: if there are infinitely many square-free Mersenne numbers, then there are infinitely many non-Wieferich primes. | Роткевич (Rotkiewicz) показал, что обратное тоже верно, то есть, если имеется бесконечно много свободных от квадратов чисел Мерсенна, то и простых чисел не-Вифериха тоже бесконечно много. |
| However, the set of real numbers in the interval (0,1] whose Engel expansions coincide with their greedy expansions has measure zero, and Hausdorff dimension 1/2. | Однако множество вещественных чисел в интервале (0,1], разложение Энгеля которых совпадает с их разложением жадным алгоритмом, имеет меру ноль и Хаусдорфову размерность 1/2. |
| The sum of the first n centered triangular numbers is the magic constant for an n by n normal magic square for n > 2. | Сумма первых n центрированных треугольных чисел есть магическая константа для магического квадрата n× n (n > 2). |
| The usual methods for generating IVs are predictable sequences of numbers based on, for example, time stamp or sector number, and permits certain attacks such as a watermarking attack. | Типичные методы используют предсказуемые последовательности чисел, основанные, например, на номере сектора или же отметки времени, и позволяют проводить такие атаки как атака «водяными знаками». |
| To create the public key she hashes each of the 512 random numbers in the private key, thus creating 512 hashes, each 256 bits in size. | Чтобы создать открытый ключ, Алиса хеширует каждое из 512 чисел секретного ключа, таким образом получая 512 хешей по 256 бит каждый. |
| The big contribution to the development of arithmetic was made by the ancient Greek mathematicians, in particular Pythagoreans, who tried to define all regularities of the world in terms of numbers. | Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности пифагорейцы, которые пытались с помощью чисел определить все закономерности мира. |
| In order to do so, we make use of modular polynomials, which come from the study of modular forms and an interpretation of elliptic curves over the complex numbers as lattices. | Чтобы это получить, используем модулярные многочлены, которые возникают при изучении модулярных форм и интерпретации эллиптических кривых над полем комплексных чисел как решёток. |
| The discrete Fourier transform is an abstract operation that can be performed in any algebraic ring; typically it's performed in the complex numbers, but actually performing complex arithmetic to sufficient precision to ensure accurate results for multiplication is slow and error-prone. | Дискретное преобразование Фурье - абстрактная операция, которая может быть выполнена в любом алгебраическом кольце; обычно оно берётся из поля комплексных чисел, но фактически использовать комплексную арифметику с достаточной точностью, чтобы обеспечить точные результаты, медленно и неэффективно. |
| The Motzkin numbers are named after Theodore Motzkin and have diverse applications in geometry, combinatorics and number theory. | Числа Моцкина названы в честь Теодора Моцкина и имеют множества проявлений в геометрии, комбинаторике и теории чисел. |