| To a graph G there corresponds a signed complete graph Σ on the same vertex set, whose edges are signed negative if in G and positive if not in G. Conversely, G is the subgraph of Σ that consists of all vertices and all negative edges. | Графу G соответствует знаковый полный граф Σ на том же множестве вершин, рёбра которого отрицательны, если принадлежат G, и положительны, если не принадлежат G. И обратно, G является подграфом Σ и состоит из всех вершин и отрицательных рёбер. |
| Specifically, the removal of O(n) vertices from an n-vertex graph (where the O invokes big O notation) can partition the graph into disjoint subgraphs each of which has at most 2n/3 vertices. | В частности, удалением O(n) вершин из графа с n вершинами (здесь O обозначает «O» большое) можно разбить граф на несвязные подграфы, каждый из которых имеет не более 2n/3 вершин. |
| A graph G is subhamiltonian if G is a subgraph of another graph aug(G) on the same vertex set, such that aug(G) is planar and contains a Hamiltonian cycle. | Граф G является подгамильтоновым, если G является подграфом некоторого другого графа aug(G) с тем же множеством вершин, при этом граф aug(G) планарен и содержит гамильтонов цикл. |
| An algebraic dual of a connected graph G is a graph G such that G and G have the same set of edges, any cycle of G is a cut of G, and any cut of G is a cycle of G. | Алгебраически двойственным графу G называется граф G такой, что G и G имеют одно и то же множество рёбер, любой цикл в G является разрезом G и любой разрез G является циклом в G. |
| To determine if a graph G {\displaystyle {G}} is a trapezoid graph, search for a transitive orientation F {\displaystyle {F}} on the complement of G {\displaystyle {G}}. | Для определения, является ли граф G {\displaystyle {G}} трапецеидальным, ищется транзитивная ориентация F {\displaystyle {F}} на дополнении графа G {\displaystyle {G}}. |
| Given a subdivision rule R {\displaystyle R} and subdivision complex X {\displaystyle X}, we can construct a graph called the history graph that records the action of the subdivision rule. | Если задано правило подразделения R {\displaystyle R} и комплекс подразделения X {\displaystyle X}, мы можем построить граф, называемый графом истории, в который заносятся действия правила подразделения. |
| This can be formalized by considering an arbitrary sequence of push and pop operations on a stack, and forming a graph in which the stack operations correspond to the vertices of the graph, placed in sequence order along the spine of a book embedding. | Это можно формализовать, если рассмотреть произвольную последовательность операций push и pop (засылка и извлечение) на стеке и сформировать граф, в котором стековые операции соответствуют вершинам графа, расположенным на корешке книжного вложения в порядке выполнения операций. |
| The cycle double cover conjecture posits that in every bridgeless graph one can find a collection of cycles covering each edge twice, or equivalently that the graph can be embedded onto a surface in such a way that all faces of the embedding are simple cycles. | Гипотеза о двойном покрытии циклами утверждает, что в любом графе без мостов можно найти набор циклов, покрывающих каждое ребро дважды, или, что эквивалентно, что граф можно вложить в поверхность таким образом, что все грани будут простыми циклами. |
| This equivalence between pathwidth and interval thickness is closely analogous to the equivalence between treewidth and the minimum clique number (minus one) of a chordal graph of which the given graph is a subgraph. | Эта эквивалентность между путевой шириной и интервальной толщиной является тесной аналогией с эквивалентностью между древесной шириной и минимальным кликовым числом (минус единица) хордального графа, для которого данный граф является подграфом. |
| Indeed, a graph has treewidth at most 2 if and only if it has branchwidth at most 2, if and only if every biconnected component is a series-parallel graph. | В действительности граф имеет древесную ширину не более 2 тогда и только тогда, когда он имеет ширину ветвления максимум 2, а также тогда и только тогда, когда любая двусвязная компонента является параллельно-последовательным графом. |
| But if you look at that graph that goes down and down and down, that's what we've done to this species through overfishing over many decades. | Если вы посмотрите на граф, идущий вниз, вниз и вниз вы увидите, что мы сделали с видами, ловя рыбу в избытке на протяжении многих десятилетий. |
| The Hall-Janko graph was originally constructed by D. Wales to establish the existence of the Hall-Janko group as an index 2 subgroup of its automorphism group. | Граф Холла - Янко первоначально построил Д. Уэлс для установления существования группы Холла - Янко как подгрупп индекса 2 его группы автоморфизмов. |
| Intuitively, a huge graph G has small tree width if and only if G takes the structure of a huge tree whose nodes and edges have been replaced by small graphs. | Интуитивно ясно, что большой граф G имеет маленькую древесную ширину тогда и только тогда, когда G принимает структуру большого дерева, в котором узлы и рёбра заменены маленькими графами. |
| Wagner published both theorems in 1937, subsequent to the 1930 publication of Kuratowski's theorem, according to which a graph is planar if and only if it does not contain as a subgraph a subdivision of one of the same two forbidden graphs K5 and K3,3. | Вагнер опубликовал обе теоремы в 1937, после публикации в 1930 теоремы Куратовского, согласно которой граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит в качестве подграфа подразделение одного из тех же самых запрещённых графов K5 и K3,3. |
| Alternatively, the value of 0.069 (which is close to zero) can be placed in a class of its own, partitioning the graph into three components: {1, 2, 5}, {3}, and {4, 6}. | Или можно значение 0,069 (находящееся ближе всего к нулю) поместить в свой собственный класс, разбив граф на три компоненты - {1, 2, 5}, {3} и {4, 6}. |
| Thus, a graph G = (V, E) is graceful if and only if there exists an injection that induces a bijection from E to the positive integers up to |E|. | Таким образом, граф G = (V, E) является грациозным тогда и только тогда, когда существует вложение, которое порождает биекцию из E в положительные целые числа вплоть до |E|. |
| Another construction, leading to the same graph, is to create a vertex for each element of the finite field GF(16), and connect two vertices by an edge whenever the difference between the corresponding two field elements is a perfect cube. | Ещё одно построение, дающее тот же граф, заключается в создании вершины для каждого элемента конечного поля GF (16) и соединении двух вершин ребром, если разность соответствующих элементов поля является кубом. |
| To see this, note that (1) a weak 2-coloring is a domatic partition if there is no isolated vertex, and (2) any graph has a weak 2-coloring. | Чтобы это понять, заметим, что (1) слабая 2-раскраска является доматическим разбиением, если нет изолированных вершин, и (2) любой граф имеет слабую 2-раскраску. |
| In the other direction, if a bipartite graph with 14 edges has four vertices on each side, then two vertices on each side must have degree four. | В обратном направлении, если двудольный граф с 14 рёбрами имеет по четыре вершины в каждой доле, то две вершины на каждой стороне должны иметь степень четыре. |
| In other words, if a graph H can be colored with k colors, and there is a homomorphism from G to H, then G can also be k-colored. | Другими словами, если граф Н может быть выкрашен в к цветов и существует гомоморфизм G в H, то G может быть также выкрашен в k цветов. |
| Although shapes themselves (particularly paths) can be decomposed further into nodes such as spline nodes, it is practical to think of the scene graph as composed of shapes rather than going to a lower level of representation. | Хотя формы сами по себе (в частности, пути) могут быть декомпозированы и дальше на такие элементы, как узлы сплайнов, на практике удобнее считать, что граф сцены состоит из форм, не опускаясь на более низкий уровень представления. |
| The Franklin graph can be embedded in the Klein bottle so that it forms a map requiring six colors, showing that six colors are sometimes necessary in this case. | Граф Франклина может быть вложен в бутылку Клейна так, что он образует карту, требующую шесть цветов, что показывает, что в некоторых случаях шести цветов достаточно. |
| Winkler showed that a connected graph is a partial cube if and only if it is bipartite and the relation Θ {\displaystyle \Theta} is transitive. | Винклер показал, что связный граф является частичным кубом тогда и только тогда, когда он является двудольным и отношение Θ {\displaystyle \Theta} транзитивно. |
| Thus, these solutions form a median graph, in which the neighbor of each solution is formed by negating a set of variables that are all constrained to be equal or unequal to each other. | Таким образом, эти решения образуют медианный граф, в котором соседи каждого решения образуются путём отрицания множества переменных, для всех из которых все значения внутри множеств либо равны, либо не равны. |
| Whenever this graph is embedded into the plane, some two of its leaves must form an angle of 60 degrees or less, from which it follows that at least one of these two leaves does not have a neighbor that is closer to the other leaf. | Если вложить этот граф в плоскость, пара его листьев должна образовать угол в 60 градусов или меньше, откуда немедленно следует, что по меньшей мере один лист не имеет соседа, более близкого к другому листу из этой пары. |