| Specifically, define a family F of graphs to have bounded pathwidth if there exists a constant p such that every graph in F has pathwidth at most pp. | Конкретнее, определим семейство F графов как имеющее ограниченную путевую ширину, если существует константа p, такая, что любой граф из F имеет путевую ширину, не превосходящую pp. |
| The nested triangles graph requires this much area no matter how it is embedded, and several methods are known that can draw planar graphs with at most quadratic area. | Граф вложенных треугольников требует такую площадь независимо от того, как граф вложен, и известны некоторые методы, которые позволяют нарисовать планарные графы с максимум квадратичной площадью представления. |
| Ore's theorem is a generalization of Dirac's theorem that, when each vertex has degree at least n/2, the graph is Hamiltonian. | Теорема Оре является обобщением теоремы Дирака, утверждающей, что если каждая вершина имеет степень не меньшую n/2, граф является гамильтоновым. |
| This is most easily seen using the definition of treewidth in terms of chordal graphs: the complete graph is already chordal, and adding more edges cannot reduce the size of its largest clique. | Это легче всего видеть, если использовать определение древесной ширины в терминах хордальных графов - полный граф уже хордален, и добавление рёбер не может уменьшить размер наибольшей клики. |
| The graph is named after Percy John Heawood, who in 1890 proved that in every subdivision of the torus into polygons, the polygonal regions can be colored by at most seven colors. | Граф назван в честь Перси Джона Хивуда, доказавшего в 1890 году, что для раскраски любого разбиения тора на многоугольники достаточно семи цветов. |
| However, it is NP-complete to determine whether a planar directed acyclic graph with multiple sources and sinks has an upward planar drawing. | Однако задача определения, имеет ли восходящее планарное представление планарный направленный ациклический граф с несколькими источниками и несколькими стоками, является NP-полной. |
| Every graph G is homomorphically equivalent to a unique core (up to isomorphism), called the core of G. Notably, this is not true in general for infinite graphs. | Любой граф G гомоморфно эквивалентен единственному ядру (с точностью до изоморфизма), которое называется ядром графа G. Заметим, что это неверно для бесконечных графов общего вида. |
| If a finite undirected graph has even degree at each of its vertices, regardless of whether it is connected, then it is possible to find a set of simple cycles that together cover each edge exactly once: this is Veblen's theorem. | Если конечный неориентированный граф имеет чётную степень каждой вершины, независимо от того, связан он или нет, можно найти множество простых циклов, которые покрывают каждое ребро ровно раз - это Теореме Веблена. |
| A multidigraph is a directed graph which is permitted to have multiple arcs, i.e., arcs with the same source and target nodes. | Мультиорграф - это ориентированный граф, в котором разрешены кратные дуги, то есть дуги, имеющие те же начальные и конечные вершины. |
| The scene graph may also describe the spatial, as well as the logical, relationship of the various entities: the knight moves through 3D space as the horse moves. | Помимо описания логических отношений, граф сцены также может описывать пространственные отношения различных сущностей: рыцарь движется по трёхмерному пространству вместе с конём. |
| Every locally k-chromatic graph has chromatic number O (k n) {\displaystyle O({\sqrt {kn}})} (Wigderson 1983). | Любой локально к- хроматический граф имеет хроматическое число О (к n) {\displaystyle O({\sqrt {kn}})}. |
| The name comes from the fact that a graph is chordal if and only if the hypergraph of its maximal cliques is the dual of a hypertree. | Имя происходит из факта, что граф хордален тогда и только тогда, когда гиперграф его максимальных клик двойственен гипердереву. |
| Therefore, any Moore graph has the minimum number of vertices possible among all graphs with minimum degree d and diameter k: it is a cage. | Таким образом, любой граф Мура имеет минимально возможное число вершин среди всех графов с минимальной степенью d {\displaystyle d} и диаметром k {\displaystyle k} - он является клеткой. |
| The Hoffman graph has many common properties with the hypercube Q4-both are Hamiltonian and have chromatic number 2, chromatic index 4, girth 4 and diameter 4. | Граф Хоффмана имеет много общих свойств с гиперкубом Q4 - оба гамильтоновы и имеют хроматическое число 2, хроматический индекс 4, обхват 4 и диаметр 4. |
| The only graph of this type with degree three is the 126-vertex Tutte 12-cage. | Единственный граф этого типа степени три - это 12-клетка Татта, граф с 126 вершинами. |
| The graph in the figure has minimum degree δ = 2 {\displaystyle \delta =2}, and therefore its domatic number is at most 3. | Граф на рисунке имеет минимальную степень δ = 2 {\displaystyle \delta =2}, а потому его доминирующее число не превосходит 3. |
| The complexity (in terms of calculating the forward and inverse kinematics) of the chain is determined by the following factors: Its topology: a serial chain, a parallel manipulator, a tree structure, or a graph. | В терминах вычисления прямой и инверсной кинематики сложность кинематической цепи определяется следующими факторами: Топология: последовательная цепь, параллельный манипулятор, древовидная структура или граф. |
| The Franklin graph can be drawn on the Klein bottle in a way that forms six mutually-adjacent regions, showing that this bound is tight. | Граф Франклина можно нарисовать на бутылке Клейна таким образом, что образуется шесть попарно граничащих областей, что показывает, что граница точна. |
| The generalized Petersen graph G(n, k) is formed by connecting the vertices of a regular n-gon to the corresponding vertices of a star polygon with Schläfli symbol {n/k}. | Обобщённый граф Петерсена G(n, k) образуется путём соединения вершин правильного n-угольника с соответствующими вершинами звёздчатого многоугольника с символом Шлефли {n/k}. |
| For this to be true, G itself must be planar, and additionally it must be possible to add edges to G, preserving planarity, in order to create a cycle in the augmented graph that passes through each vertex exactly once. | Чтобы эти условия выполнялись, сам граф G должен быть планарным и, кроме того, должна существовать возможность добавить рёбра с сохранением планарности, чтобы создать цикл в расширенном графе, проходящий все вершины ровно один раз. |
| As distance-regular graphs, they are uniquely defined by their intersection array: no other distance-regular graphs can have the same parameters as an odd graph. | Как дистанционно-регулярные графы, они однозначно определяются их массивом пересечений - никакой другой дистанционно-регулярный граф не может иметь те же самые параметры, что и нечётный граф. |
| A graph has a linkless embedding if and only if it does not have one of the seven graphs of the Petersen family as a minor. | Граф имеет незацепленное вложение тогда и только тогда, когда он не содержит ни одного из семи графов петерсонова семейства в качестве минора. |
| The graph is both chordal (every cycle of length greater than three has a diagonal) and distance-hereditary (every connected induced subgraph has the same distances as the whole graph). | Граф является и хордальным (любой цикл с длиной, превосходящей три, имеет диагональ), и дистанционно-наследуемым (любой связный порождённый подграф имеет те же расстояния, что и весь граф). |
| As a result, for every minor-closed family F, there is polynomial time algorithm for testing whether a graph belongs to F: simply check, for each of the forbidden minors for F, whether the given graph contains that forbidden minor. | Таким образом, для любого замкнутого по минорам семейства F существует алгоритм с полиномиальным временем работы, проверяющий, принадлежит ли граф семейству F - просто для всех запрещённых миноров для F проверяем, не содержит ли заданный граф этот запрещённый минор. |
| A weaker form of the conjecture, proven by M. Schaefer, states that every graph with chromatic number n has crossing number Ω(n4), or equivalently that every graph with crossing number k has chromatic number O(k1/4). | Более слабая форма гипотезы, доказанная М. Шефером, утверждает, что любой граф с хроматическим числом n имеет число пересечений Ω(n4), или, эквивалентно, что любой граф с числом пересечений k имеет хроматическое число O(k1/4). |