| The partition of the Turán graph into independent sets corresponds to the partition of G into color classes. | Разложение графа Турана на независимые множества соответствует разложению G на классы цветов. |
| Specifically, such a sequence can begin by forming each of the independent sets of the Turán graph as a disjoint union of isolated vertices. | В частности, такую последовательность можно начать образованием всех независимых множеств графа Турана как дизъюнктного объединения изолированных вершин. |
| Witsenhausen (1974) conjectures that the maximum sum of squared distances, among n points with unit diameter in Rd, is attained for a configuration formed by embedding a Turán graph onto the vertices of a regular simplex. | Витсенхаузен (Witsenhausen, 1974) высказал гипотезу, что максимальная сумма квадратов расстояний между n точками внутри шара в Rd единичного диаметра достигается на конфигурации, образованной вложению графа Турана в вершины правильного симплекса. |
| Turán graphs also have some interesting properties related to geometric graph theory. | Графы Турана имеют также ряд интересных свойств, связанных с геометрической теорией графов. |
| A typical result in extremal graph theory is Turán's theorem. | Типичный результат экстремальной теории графов - теорема Турана. |
| Several choices of the parameter r in a Turán graph lead to notable graphs that have been independently studied. | Некоторые величины параметра г графов Турана приводят к замечательным графам, которые изучаются отдельно. |
| For instance, the question of how many edges an n-vertex graph can have before it must contain as subgraph a clique of size k is answered by Turán's theorem. | Например, на вопрос, как много рёбер графа с n вершинами должно быть в графе, чтобы он обязательно содержал в качестве подграфа клику размера k, отвечает теорема Турана. |
| Pór and Wood (2005) give a lower bound of Ω((rn)3/4) on the volume of any three-dimensional grid embedding of the Turán graph. | Пор и Вуд (Pór, Wood, 2005) дают нижнюю границу Ω((rn)3/4) любого трёхмерного вложения графа Турана. |
| Turán graphs are named after Pál Turán, who used them to prove Turán's theorem, an important result in extremal graph theory. | Графы Турана названы в честь Пала Турана, использовавшего их для доказательства теоремы Турана, важного результата в экстремальной теории графов. |
| Nikiforov (2005) uses Turán graphs to supply a lower bound for the sum of the kth eigenvalues of a graph and its complement. | Никифоров (Nikiforov, 2005) использовал графы Турана для нахождения нижней границы суммы k-х собственных значений графа и его дополнения. |
| The Turán graph T(2n, n) can be formed by removing a perfect matching from a complete graph K2n. | Граф Турана T(2n, n) можно получить удалением совершенного паросочетания из полного графа K2n. |
| The Turán graph T(n,2) is a complete bipartite graph and, when n is even, a Moore graph. | Граф Турана T(n,2) - это полный двудольный граф, и, если n чётно, это граф Мура. |
| Turán also found the (unique) largest graph not containing Kk which is named after him, namely the Turán graph. | Туран также нашёл (уникальный) самый большой граф, не содержащий Кк, который назван его именем, а именно граф Турана. |
| An n-vertex graph G is a subgraph of a Turán graph T(n, r) if and only if G admits an equitable coloring with r colors. | Граф G с n вершинами является подграфом графа Турана T(n, r) тогда и только тогда, когда G допускает справедливую раскраску в r цветов. |
| Because of these results, this graph has been called the Roberts graph, although it is better known as the cocktail party graph and it can also be understood as the Turán graph T(2n, n). | Вследствие этого результата такие графы начали называться графами Робертса, хотя они более известны как графы «вечеринки» и их можно трактовать также как графы Турана T(2n, n). |
| Thus, the size of the independent set shown to exist by Turán's theorem in a graph may, in general, be much smaller than the maximum independent set for that graph. | Таким образом, размер независимого множества, который существует в графе согласно теореме Турана может, в общем случае, быть много меньше, чем максимальное независимое множество графа. |
| The Erdős-Stone theorem extends Turán's theorem by bounding the number of edges in a graph that does not have a fixed Turán graph as a subgraph. | Теорема Эрдёша-Стоуна расширяет теорему Турана, ограничивая число рёбер в графе, не имеющем фиксированный граф Турана в качестве подграфа. |
| When r is a divisor of n, the Turán graph is symmetric and strongly regular, although some authors consider Turán graphs to be a trivial case of strong regularity and therefore exclude them from the definition of a strongly regular graph. | Если г - это делитель n, граф Турана является симметричным и сильно регулярным, хотя некоторые авторы считают, что графы Турана являются тривиальным случаем сильной регулярности и потому исключают их из определения строго регулярных графов. |
| In the mathematics of graph drawing, Turán's brick factory problem asks for the minimum number of crossings in a drawing of a complete bipartite graph. | Проблема Турана о кирпичном заводе - задача нахождения минимального числа рёбер при изображении полного двудольного графа на плоскости. |