| Its crossing number is 170 and has been conjectured to be the smallest cubic graph with this crossing number. | Его число пересечений равно 170 и есть предположение, что этот граф является минимальным с данным числом пересечений. |
| More strongly, every Halin graph is almost pancyclic, in the sense that it has cycles of all lengths from 3 to n with the possible exception of a single even length. | Более строго, любой граф Халина является почти панциклическим, в том смысле, что он имеет циклы всех длин от З до n с возможным исключением одной чётной длины. |
| Every graph with Hadwiger number k has at most n2O(k log log k) cliques (complete subgraphs). | Любой граф с числом Хадвигера к имеет максимум n2O(k log log k) клик (полных подграфов). |
| Unlike structured grids, unstructured grids require a list of the connectivity which specifies the way a given set of vertices make up individual elements (see graph (data structure)). | В отличие от структурированных сеток, неструктурированные сетки требуют список связных графов, которые устанавливают способ, которым заданное множество вершин составляют отдельные элементы (см. Объектный граф). |
| An earlier formulation of the conjecture, also by Erdős and Hajnal and still unsolved, concerns the special case when H {\displaystyle H} is a 5-vertex cycle graph. | Более ранняя формулировка гипотезы, также принадлежащая Эрдёшу и Хайналю и остающаяся нерешённой, касается частного случая, когда граф Н {\displaystyle H} является граф-циклом с 5 вершинами. |
| It follows from this fact that (up to combinatorial equivalence, the choice of the outer face, and the orientation of the plane) every polyhedral graph has a unique planar embedding. | Отсюда следует, что (до комбинаторной эквивалентности, выбора внешней грани и ориентации плоскости) любой полиэдральный граф имеет уникальное планарное вложение. |
| Four of the graphs (the two prisms, the Dürer graph, and G(7,2)) are generalized Petersen graphs. | Четыре графа из семи (обе призмы, граф Дюрера и G(7,2)) являются обобщёнными графами Петерсена. |
| In the example above, the four topmost vertices induce a claw (that is, a complete bipartite graph K1,3), shown on the top left of the illustration of forbidden subgraphs. | В примере выше четыре верхних вершины порождают клешню (то есть, полный двудольный граф K1,3), показанный вверху слева иллюстрации запрещённых подграфов. |
| That is, a regular graph has a 1-factorization if and only if it is of class 1. | Таким образом, регулярный граф имеет 1-факторизацию тогда и только тогда, когда он имеет класс 1. |
| When a connected graph does not meet the conditions of Euler's theorem, a closed walk of minimum length covering each edge at least once can nevertheless be found in polynomial time by solving the route inspection problem. | Если связный граф не удовлетворяет условиям теоремы Эйлера, замкнутый обход минимальной длины, покрывающий все рёбра по меньшей мере один раз может быть найден, тем не менее, за полиномиальное время путём решения задачи об инспекции дорог. |
| A graph is a forbidden minor for this property if it has no planar cover, but all of its minors do have planar covers. | Граф является запрещённым минором для этого свойства, если он не имеет планарного накрытия, но все его миноры имеют планарные накрытия. |
| As a unit distance graph, the Moser spindle is formed by two rhombi with 60 and 120 degree angles, so that the sides and short diagonals of the rhombi form equilateral triangles. | Как граф единичных расстояний, веретено Мозера образуется двумя ромбами с углами 60 и 120 градусов, так что стороны и короткие диагонали ромбов образуют равносторонние треугольники. |
| It is the graph associated with a symmetric conference matrix, and consequently its order v must be 1 (modulo 4) and a sum of two squares. | Этот граф соответствует симметричной конференсной матрице, и, следовательно, его порядок v должен быть сравним с 1 по модулю 4 и быть суммой двух квадратов. |
| Colin de Verdière (1990) conjectured that any graph with Colin de Verdière invariant μ may be colored with at most μ + 1 colors. | (Colin de Verdière 1990) предположил, что любой граф с инвариантом де Вердьера μ может быть раскрашен с использованием не более чем μ + 1 цветов. |
| For, if every element of a partially ordered set is either a minimal element or a maximal element, then the corresponding comparability graph is bipartite. | Действительно, если любой элемент частично упорядоченного множества является либо минимальным элементом, либо максимальным элементом, то соответствующий граф сравнимости двудолен. |
| László Lovász (1972) found that: A graph G is factor-critical if and only if G has an odd ear decomposition. | Ласло Ловас обнаружил, что: Граф G является фактор-критическим графом тогда и только тогда, когда G имеет нечётную ушную декомпозицию. |
| For the same reason, there exists a polynomial time algorithm for testing whether a given graph has a planar cover, but an explicit description of this algorithm is not known. | По тем же причинам существует алгоритм полиномиального времени для тестирования, имеет ли данный граф планарное накрытие, но явное описание этого алгоритма не известно. |
| Beside the classical types of problems, different limitations can also be set on the graph, or on the way a color is assigned, or even on the color itself. | Помимо классических типов проблем, различные ограничения могут также быть наложены на граф, на способ присвоения цветов или на сами цвета. |
| Trahtman (2009) solved the road coloring problem by proving that such a coloring can be found whenever the given graph is strongly connected and aperiodic. | Трахтман(Трахтман 2009) решил задачу раскраски дорог, доказав, что такая раскраска может быть найдена, если заданный граф сильно связен и апериодичен. |
| If a n-regular graph has diameter n - 1 and odd girth 2n - 1, and has only n distinct eigenvalues, it must be distance-regular. | Если n-регулярный граф имеет диаметр n - 1, нечётный обхват 2n - 1 и только n различных собственных значений, он должен быть дистанционно-регулярным. |
| The problem is clearly NP-hard in general case (since its solution gives an answer to the NP-complete problem of determining whether a given graph has a Hamiltonian cycle). | Ясно, что задача в общем случае NP-трудна (поскольку её решение даёт ответ на NP-полную задачу определения, имеет ли граф гамильтонов цикл). |
| The non-triviality condition is clearly required because there are trivial properties like "is this a graph?" which can be answered with no queries at all. | Ясно, что требуется нетривиальность условия, поскольку существуют тривиальные свойства типа «это граф?», на которые можно ответить без всякого запроса вообще. |
| However, if edges arrive in a random order, and the input graph has a degree that is at least logarithmic, then smaller competitive ratios can be achieved. | Однако, если рёбра поступают в случайном порядке и исходный граф имеет степень как минимум логарифмическую, можно получить меньший конкурентный коэффициент. |
| Modern game or graphics engines generally provide a scene graph, which is an object-oriented representation of the 3D game world which often simplifies game design and can be used for more efficient rendering of vast virtual worlds. | Современные игровые или графические движки обычно предоставляют граф сцены - объектно-ориентированное представление 3D-мира игры, которое часто упрощает игровой дизайн и может использоваться для более эффективного рендеринга огромных виртуальных миров. |
| For instance, if one wants a cyclical, weekly schedule, such that each student gets their workshop courses on non-consecutive days, then H would be the complement graph of C7. | Например, если хотят иметь циклическое еженедельное расписание, такое что каждый студент приходит на практические занятия через день, то граф Н был бы дополнением графа C7. |