| Even more generally, a graph is (a, b)-factor-critical if every subset of n - k vertices has an r-factor, that is, it is the vertex set of an r-regular subgraph of the given graph. | Даже более обще, граф является (а, Ь)-фактор-критическим, если любое подмножество из n - k вершин имеет r-фактор, то есть он является набором вершин r-регулярного подграфа заданного графа. |
| The graph K {\displaystyle K} is needed to attach the pattern being matched to its context: if it is empty, the match can only designate a whole connected component of the graph G {\displaystyle G}. | Граф К {\displaystyle K} необходим для того, чтобы присоединить образец, сопоставляющийся его контексту: если он пуст, совпадение может обозначать только весь связанный компонент графа G {\displaystyle G}. |
| Since it is possible to form circle graphs in which arbitrarily large sets of chords all cross each other, the chromatic number of a circle graph may be arbitrarily large, and determining the chromatic number of a circle graph is NP-complete. | Поскольку можно образовать круговой граф, в котором произвольное большое множество хорд пересекают друг друга, хроматическое число кругового графа может быть произвольно большим, а определение хроматического числа кругового графа является NP-полной задачей. |
| For any graph G, its line graph L(G) is claw-free, and hence a minimum maximal independent set in L(G) is also a minimum dominating set in L(G). | Для любого графа G его рёберный граф L(G) является свободным от клешней, а потому минимальное наибольшее независимое множество в L(G) является также минимальным доминирующим множеством в L(G). |
| More recent work has focused on universal graphs for a graph family F: that is, an infinite graph belonging to F that contains all finite graphs in F. For instance, the Henson graphs are universal in this sense for the i-clique-free graphs. | Более свежие работы фокусируются на универсальных графах для семейства графов F. То есть бесконечный граф, принадлежащий F, содержащий все конечные графы семейства F. Например, графы Хэнсона являются универсальными в этом смысле для графов без i-клик. |
| The comparability graph of a partial order is the undirected graph with a vertex for each element and an undirected edge for each pair of distinct elements x, y with either x <= y or y <= x. | Граф сравнимости частичного порядка является неориентированным графом с вершинами для каждого элемента и неориентированным ребром для каждой пары различных элементов х, у, если х <= у или у <= х. |
| Since the partition classes are disjoint, their adjacencies constitute a new graph, a quotient graph G/ P {\displaystyle G/P}, whose vertices are the members of P {\displaystyle P}. | Поскольку классы разбиений не пересекаются, их смежность образует новый граф, фактор-граф G/ P {\displaystyle G/P}, вершинами которого являются члены P {\displaystyle P}. |
| He showed that there are nine minimal graphs that are not line graphs, such that any graph that is not a line graph has one of these nine graphs as an induced subgraph. | Он показал, что имеется девять минимальных графов, не являющихся рёберными, таких, что любой граф, не являющийся рёберным, содержит один из этих девяти графов в качестве порождённого подграфа. |
| This graph is a strongly regular graph with parameters ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1) where (s, t) is the order of the GQ. | Этот граф является сильно регулярным графом с параметрами ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1), где (s, t) - порядок четырёхугольника. |
| If more than k 2 {\displaystyle k^{2}} edges remain in the graph, and neither of the previous two rules can be applied, then the graph cannot contain a vertex cover of size k {\displaystyle k}. | Если больше чем к 2 {\displaystyle k^{2}} рёбер остаётся в графе, и никакие предыдущих два правила не могут быть применены, то граф не может содержать вершинное покрытие размера k {\displaystyle k}. |
| Use the planar embedding to create an (undirected) graph T2 with the same vertex set as the dual graph of G. Create an edge in T2 between two vertices if their corresponding faces in G share an edge in G that is not in T1. | Используем планарное вложение, чтобы создать (неориентированный) граф T2, который имеет тот же набор вершин, что и двойственный граф графа G. Создаём ребро в T2 между двумя соответствующими гранями графа G, имеющими общее ребро в G, которое не принадлежит T1. |
| In particular, the Grötzsch graph and the Chvátal graph are triangle-free graphs requiring four colors, and the Mycielskian is a transformation of graphs that can be used to construct triangle-free graphs that require arbitrarily high numbers of colors. | В частности, граф Грёча и Граф Шватала являются графами без треугольников, но требуют четырёх цветов, а мычельскиан - это преобразование графов, которое может быть использовано для построения графов без треугольников, для которых нужно произвольно большое число цветов. |
| However, not all vertex-transitive graphs are symmetric (for example, the edges of the truncated tetrahedron), and not all regular graphs are vertex-transitive (for example, the Frucht graph and Tietze's graph). | Однако не все вершинно-транзитивные графы симметричны (например, рёбра усечённого тетраэдра), и не все регулярные графы вершинно-транзитивны (например, граф Фрухта и граф Титца). |
| If an infinite graph G has a normal spanning tree, so does every connected graph minor of G. It follows from this that the graphs that have normal spanning trees have a characterization by forbidden minors. | Если бесконечный граф G имеет нормальное остовное дерево, то такой имеет и любой связный минор графа G. Отсюда следует, что графы, имеющие нормальные остовные остовные деревья, можно описать запрещёнными минорами. |
| Specifically, the theorem considers the sum of the degrees of pairs of non-adjacent vertices: if every such pair has a sum that at least equals the total number of vertices in the graph, then the graph is Hamiltonian. | В частности, теорема рассматривает суммы степеней пар несмежных вершин - если каждая такая пара в сумме даёт как минимум общее число вершин графа, граф является гамильтоновым. |
| However it is not the smallest such graph: it is known that there is a universal graph for n-vertex trees, with only n vertices and O(n log n) edges, and that this is optimal. | Однако это не самый маленький такой граф - известно, что существует универсальный граф для деревьев с n вершинами, содержащий всего n вершин и O(n log n) рёбер, и этот граф оптимален. |
| In a given switching class of graphs of a regular two-graph, let Γx be the unique graph having x as an isolated vertex (this always exists, just take any graph in the class and switch the open neighborhood of x) without the vertex x. | В заданном классе переключения регулярного два-графа пусть Γx - единственный граф, имеющий вершину x как изолированную (таковой всегда существует, просто нужно взять любой граф в классе и переключить относительно несмежных x вершин), и не включающий саму вершину x. |
| Let G be any k-constructible graph, and let u and v be any two non-adjacent vertices in G. Then the graph formed by combining u and v into a single vertex is also k-constructible. | Пусть G - любой k-конструируемый граф, и пусть u и v - любые две несмежные вершины в G. Тогда граф, образованный объединением u и v в одну вершину, также является k-конструируемым. |
| Favaron (1982) defines a very well covered graph to be a well-covered graph (possibly disconnected, but with no isolated vertices) in which each maximal independent set (and therefore also each minimal vertex cover) contains exactly half of the vertices. | Фаварон (Favaron) определяет очень хорошо покрытый граф как хорошо покрытый граф (возможно, несвязный, но без изолированных вершин), в котором любое максимальное независимое множество (а потому также любое минимальное вершинное покрытие) содержит в точности половину вершин. |
| That is, the decision problem whose answer is "yes" for a graph that is not 1-tough, and "no" for a graph that is 1-tough, is NP-complete. | То есть задача разрешимости, для которой ответ «да» означает, что граф не 1-жёсток, а ответ «нет» означает, что граф 1-жёсток, является NP-полной задачей. |
| If a graph G has a linkless or flat embedding, then every minor of G (a graph formed by contraction of edges and deletion of edges and vertices) also has a linkless or flat embedding. | Если граф G {\displaystyle G} имеет незацеплённое или плоское вложение, то любой минор графа G {\displaystyle G} (граф, образованный стягиванием рёбер и удалением рёбер и вершин) также имеет незацепленное или плоское вложение. |
| An infinite graph cannot have a Hamiltonian cycle, because every cycle is finite, but Carsten Thomassen proved that if G is an infinite locally finite 2-vertex-connected graph with a single end then G2 necessarily has a doubly infinite Hamiltonian path. | Бесконечный граф не может иметь гамильтонов цикл, поскольку любой цикл конечен, но Карстен Томассен доказали, что в случае, когда G является бесконечным локально конечным вершинно 2-связным графом с единым концом, то G2 обязательно имеет дважды бесконечный гамильтонов путь. |
| The Herschel graph is also a bipartite graph: its vertices can be separated into two subsets of five and six vertices respectively, such that every edge has an endpoint in each subset (the red and blue subsets in the picture). | Граф Хершеля является также двудольным - его вершины можно разбить на два подмножества из пяти и шести вершин так, что каждое ребро имеет конечные вершины в обоих множествах (красные и синие подмножества на рисунке). |
| The Hadwiger conjecture states that the Hadwiger number is always at least as large as the chromatic number of G. That is, every graph with Hadwiger number k should have a graph coloring with at most k colors. | Гипотеза Хадвигера утверждает, что число Хадвигера всегда не меньше хроматического числа графа G. То есть любой граф с числом Хадвигера k должен бы иметь раскраску в максимум k цветов. |
| The non-orientable genus of a graph is the minimal integer n {\displaystyle n} such that the graph can be embedded in a non-orientable surface of (non-orientable) genus n {\displaystyle n}. | Неориентируемый род графа - это минимальное целое n {\displaystyle n}, такое, что граф может быть вложен в неориентированную поверхность (неориентируемого) рода n {\displaystyle n}. |