| When writing a function pay attention to the algorithm efficiency and to the warranty of the fact that your algorithm finds the shortest of the possible series of prime numbers. | При написании функции особое внимание уделите гарантии того, что ваш алгоритм находит действительно самую короткую из допустимых последовательность простых чисел, а также эффективности алгоритма. |
| The Lasker-Noether theorem can be viewed as a generalization of the fundamental theorem of arithmetic which states that any positive integer can be expressed as a product of prime numbers, and that this decomposition is unique. | Теорему Ласкера - Нётер можно рассматривать как обобщение основной теоремы арифметики, которая гласит, что любое целое положительное число можно представить в виде произведения простых чисел, и что это представление единственно. |
| a pair of prime numbers that only differ by two, like 1 1 and 13 or 17 and 19. | пара простых чисел, которые отличаются всего лишь на 2, как 11 и 13 или 17 и 19. |
| These problems are the difficulty of factoring the product of two carefully chosen prime numbers, the difficulty to compute discrete logarithms in a carefully chosen finite field, and the difficulty of computing discrete logarithms in a carefully chosen elliptic curve group. | Эти задачи - факторизация двух тщательно подобранных простых чисел, трудность вычисления дискретного логарифма в выбранном конечном поле и трудность вычисления дискретного логарифма в подобранной группе точек эллиптической кривой. |
| Hence it is unlikely that most of the prime factors of Np and Nq are the same, and it is quite likely that while computing eP, we will encounter some kP that is ∞ modulo p but not modulo q, or vice versa. | Маловероятно, что большинство простых делителей Np и Nq совпадают, и вероятно, что при вычислении eP встретится некоторый k P = ∞ {\displaystyle kP=\infty} по модулю р, но не по модулю q, или наоборот. |
| This constant should not be confused with the Brun's constant for cousin primes, as prime pairs of the form (p, p + 4), which is also written as B4. | Эту константу не следует путать с константой Бруна для родственных простых чисел, пар простых чисел вида (р, р + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B4. |
| Several arguments involving character theory fail for small primes, especially for the prime 2. | Некоторые аргументы, использующие теорию характера, не проходят для малых простых, в частности, для простого 2. |
| It's gone way beyond prime numbers. | Дело совсем не в том, что вы не знаете простых чисел. |
| Another thing about primes, there is no final biggest prime number. | Ещё одна вещь о простых числах: самого большого простого числа не существует. |
| And the vast bulk of massive primes we've ever found are of that form: two to a prime number, take away one. | И подавляющая часть обнаруженных нами больших простых чисел - существует в такой же форме: два в степени простого числа, вычесть один. |
| Note that considering primes l ≠ p {\displaystyle l eq p} is no loss since we can always pick a bigger prime to take its place to ensure the product is big enough. | Заметим, что рассмотрение простых чисел l ≠ p {\displaystyle l eq p} не приводит к проблемам, поскольку мы всегда можем выбрать большее простое число, чтобы обеспечить, чтобы произведение было достаточно велико. |
| The Witt polynomials for different primes p are special cases of universal Witt polynomials, which can be used to form a universal Witt ring (not depending on a choice of prime p). | Многочлены Витта для различных простых р являются специальным случаем универсальных многочленов Витта, которые могут быть использованы для построения универсальных колец Витта (не зависящих от простого р). |
| More strongly, no prime factor of a number in the sequence can be congruent to 5 (mod 6), and the sequence can be used to prove that there are infinitely many primes congruent to 7 (mod 12). | Никакой простой множитель числа в последовательности не может быть сравним с 5 (mod 6), и последовательность можно использовать для доказательства, что существует бесконечно много простых чисел, сравнимых с 7 (mod 12). |
| Namely, in the ring of integers of the appropriate number field, the rational prime 13 splits as a product of three distinct prime ideals. | А именно, в кольце целых подходящего числового поля рациональное простое 13 разлагается на произведение трёх различных простых идеалов. |
| This proves that for every finite list of prime numbers there is a prime number not in the list, and therefore there must be infinitely many prime numbers. | Это доказывает, что для любого списка простых чисел существует простое число, не принадлежащее списку, а потому должно существовать бесконечно много простых чисел. |
| The running times of some methods of factoring a number with q as a prime factor depend partly on the size of the prime factors of q - 1. | Время работы некоторых методов разложения на множители числа, имеющего q в качестве делителя зависит частично от величины простых делителей q - 1. |
| The sequence can be used to prove that there are infinitely many prime numbers, as any prime can divide at most one number in the sequence. | Последовательность можно использовать для доказательства бесконечности числа простых чисел, поскольку любое простое число может делить максимум одно число в последовательности. |
| Strong prime, a prime that is greater than the arithmetic mean of its two neighboring primes The Largest Known CPAP's. | Сильное простое число, простое число, которое больше арифметического среднего двух соседних простых чисел Наибольшие известные СРАР. |
| The fact that the sum of the reciprocals of the prime numbers diverges implies that there are infinitely many prime numbers. | Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. |
| But the third thing about prime numbers, mathematicians have always wondered, well at any given moment in time, what is the biggest prime that we know about? | Третья вещь о простых числах: математиков всегда интересовало, в любой данный момент времени, какое самое большое известное нам простое число? |
| Since 1 is not prime, nor does it have prime factors, it is a product of 0 distinct primes; since 0 is an even number, 1 has an even number of distinct prime factors. | Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 - чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. |
| The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) is a collaborative project of volunteers who use freely available software to search for Mersenne prime numbers. | GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) - широкомасштабный проект добровольных вычислений по поиску простых чисел Мерсенна. |
| Some prime numbers are even more special: they're called "twin primes," a pair of prime numbers that only differ by two, like 1 1 and 13 or 17 and 19. | Некоторые простые числа еще более особенные: их называют "простые близнецы," пара простых чисел, которые отличаются всего лишь на 2, как 11 и 13 или 17 и 19. |
| He published tables of prime numbers and prime factorizations, reaching 10,017,000 by 1909. | Опубликовал таблицы простых чисел и факторизации целых чисел до 10,017,000 в 1909 году. |
| It is not known whether a prime power pn can be an amicable number. | Неизвестно, могут ли степени простых чисел pn быть дружественными числами. |