| (The prime number theorem had been proved in 1896, independently by Jacques Hadamard and La Vallée Poussin, but without any estimate of the involved error term). | (Теорема о распределении простых чисел была доказана в 1896 независимо Жаком Адамаром и ла Валле-Пуссеном, но без оценки ошибки). |
| Proofs of the prime number theorem not using the zeta function or complex analysis were found around 1948 by Atle Selberg and by Paul Erdős (for the most part independently). | Доказательства теоремы о простых числах, не использующие дзета-функцию или комплексный анализ были найдены в 1948 году Атле Сельбергом и Паулем Эрдёшом (большей частью независимо). |
| The smallest pseudoprime for each base a <= 200 is given in the following table; the colors mark the number of prime factors. | Наименьшие псевдопростые Ферма для каждого основания а <= 200 приведены в таблице ниже; цвета различают числа по количеству различных простых делителей. |
| The Hasse principle for Diophantine equations asserts that an integer solution of a Diophantine equation should be formed by combining solutions obtained modulo each possible prime number. | Принцип Хассе для диофантовых уравнений утверждает, что целочисленное решение диофантова уравнения можно получить в виде комбинации целочисленных решений по модулю всех возможных простых чисел. |
| Elsholtz & Tao (2013) have shown that the average number of solutions to the 4/n problem (averaged over the prime numbers up to n) is upper bounded polylogarithmically in n. | Эльсгольц и Тао показали, что среднее число решений задачи разложения 4/n (усреднённое по числу простых чисел вплоть до n) ограничено сверху полилогарифмически от n. |
| Over time, those connections discovered have extended to cover more properties of certain prime numbers as well as more general subjects such as number fields and the abc conjecture. | Со временем открытые связи были распространены на некоторые другие свойства простых чисел, а также на общие объекты, такие как числовое поле и аЬс-гипотеза. |
| For example, the fact that positive numbers have unique factorizations means that one can determine whether a number has an even or odd number of distinct prime factors. | Например факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию означает, что для отдельного числа можно определить имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. |
| Since nn can never be evenly divisible by n! when n > 2 (as the latter is divisible by n-1, which shares no prime factors with n), some permutations must be produced by more of the nn sequences of swaps than others. | Поскольку nn никогда не может делиться на n! без остатка при n > 2 (поскольку n! делится на число n-1, которое не имеет с n общих простых делителей), то некоторые перестановки должны появляться чаще, чем другие. |
| To find all the prime numbers less than or equal to a given integer n by Eratosthenes' method: Create a list of consecutive integers from 2 through n: (2, 3, 4, ..., n). | Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги: Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, ..., n). |
| In mathematics, the RSA numbers are a set of large semiprimes (numbers with exactly two prime factors) that are part of the RSA Factoring Challenge. | RSA-числа - это множество больших полупростых чисел (чисел, представимых в виде произведения двух простых чисел), используемых в конкурсе RSA Factoring Challenge. |
| The fact that there are two logarithms (log of a log) in the limit for the Meissel-Mertens constant may be thought of as a consequence of the combination of the prime number theorem and the limit of the Euler-Mascheroni constant. | Факт, что имеется два логарифма (логарифм от логарифма) в пределе для константы Майсселя - Мертенса, можно рассматривать как следствие комбинации теоремы о распределении простых чисел и предела постоянной Эйлера - Маскерони. |
| Investigation of such numbers stemmed from the following prior conjecture by Paul Erdős: There exists a positive integer k such that every integer a is uniquely determined by the list of prime divisors of a, a + 1, ..., a + k. | Интерес к числам Эрдёша - Вудса берёт начало от гипотезы Эрдёша: Существует положительное целое к, такое, что любое целое а однозначно определяется списком различных простых делителей чисел а, а + 1, ..., a + k. |
| If you compare the prime number approximation with the actual number of primes, | Если ты сравнишь аппроксимацию простых чисел с их фактическим числом, |
| British Prime Minister Gordon Brown begs to differ: after all, the first British bank to fall - at a cost of some $50 billion - was Northern Rock, which was engaged in the "plain vanilla" business of mortgage lending. | Премьер-министр Великобритании Гордон Браун с этим не согласен: в конце концов, первым рухнувшим британским банком - стоимостью около 50 миллиардов долларов США - был «Northern Rock», который участвовал лишь в «простых» операциях ипотечного кредитования. |
| For the primes 1093 and 3511, it was shown that neither of them is a divisor of any Mersenne number with prime index nor a divisor of any Fermat number, because 364 and 1755 are neither prime nor powers of 2. | Для простых 1093 и 3511 было показано, что ни одно из них не является делителем какого-либо числа Мерсенна или Ферма. |
| In mathematics, a primorial prime is a prime number of the form pn# ± 1, where pn# is the primorial of pn (the product of the first n primes). | В теории чисел праймориальным простым числом называется простое число вида pn# ± 1, где pn# - праймориал pn (то есть произведение первых n простых чисел). |
| When he wrote his paper on supersingular prime numbers, how long did it take? | Сколько времени у него заняла работа о суперсингулярных простых числах? |
| Covering systems can be used to find primefree sequences, sequences of integers satisfying the same recurrence relation as the Fibonacci numbers, such that consecutive numbers in the sequence are relatively prime but all numbers in the sequence are composite numbers. | Покрывающие системы можно использовать для поиска свободных от простых чисел последовательностей, последовательностей целых чисел, удовлетворяющих тому же рекуррентному соотношению, которому удовлетворяют числа Фибоначчи, и таких, что соседние числа в последовательности взаимно просты, но все числа в последовательности являются составными. |
| That concludes the first part of the Prime Number Theorem. | На сегодня по теореме о числе простых чисел всё. |