| We deduce that any periodic function with period n supported on the residue classes prime to n is a linear combination of Dirichlet characters. | Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле. |
| Any nonzero element of A {\displaystyle A} is contained in only a finite number of height 1 prime ideals. | Любой ненулевой элемент А {\displaystyle A} содержится не более чем в конечном числе простых идеалов высоты 1. |
| Let π(x, a, d) denote the number of prime numbers in this progression which are less than or equal to x. | Пусть π(x, a,d) обозначает число простых чисел в прогрессии, которые меньше или равны x. |
| Several public-key cryptography algorithms, such as RSA and the Diffie-Hellman key exchange, are based on large prime numbers (2048-bit primes are common). | Некоторые алгоритмы криптографии с открытым ключом, такие как RSA и обмен ключами Диффи-Хеллмана, основаны на больших простых числах (обычно 1024-2048 бит). |
| The term bevaprime has been proposed as a term for a prime with at least 1,000,000,000 digits. | Термин bevaprime был предложен для обозначения простых чисел с более чем 1,000,000,000 знаков. |
| However, simply squaring many random numbers mod n produces a very large number of different prime factors, and so very long vectors and a very large matrix. | Однако, возведение в квадрат множества случайных чисел по mod n приводит к большому числу различных простых множителей, длинным векторам и большой матрице. |
| It is known that if such a system exists with square-free moduli, the overall modulus must have at least 22 prime factors. | Известно, что если такая система со свободными от квадратов модулями существует, все модули должны содержать по меньшей мере 22 простых множителя. |
| The constant 223092870 here is the product of the prime numbers up to 23 (see primorial). | Здесь константа 223092870 - это произведение простых чисел, не больших 23 (см. примориал). |
| He also made major investigations in the areas of gamma functions, modular forms, divergent series, hypergeometric series and prime number theory. | Он также получил важные результаты в области исследования гамма-функции, модулярных форм, расходящихся рядов, гипергеометрических рядов и теории простых чисел. |
| Second, it follows that z and z* likewise share no prime factors in the Gaussian integers. | Отсюда следует, что z и z* не имеют общих простых множителей в гауссовых целых. |
| He told her the very definition of being prime | Он рассказал ей о сути чисел простых, |
| You'll see I have even found a function which exactly represents the number of prime numbers less than X in the form of an infinite series. | Смотрите, я даже нашел функцию которая точно представляет число простых чисел меньше Х В виде бесконечного ряда. |
| Concerning prime numbers, Riemann arrived atalandscape in which each point becomes music. | кстати, о простых числах, Риман оказался в пейзаже, где каждая точка превращается в музыку. |
| Also, the set of prime divisors of |G| is partitioned according to the primes which divide the orders of the distinct conjugacy classes of maximal abelian subgroups of |G|. | Также множество простых делителей|G|разбивается согласно простым числам, которые делят порядки различных классов смежности максимальных абелевых подгрупп. |
| On April 17, 2013, Zhang announced a proof that states there are infinitely many pairs of prime numbers that differ by 70 million or less. | 17 апреля 2013 года Итан Чжан сообщил о доказательстве того, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 70 миллионов. |
| Yitang Zhang showed that there are infinitely many prime pairs with gap bounded by 70 million, and this result has been improved to gaps of length 246 by a collaborative effort of the Polymath Project. | Чжан Итан показал, что существует бесконечно много простых пар с промежутком, ограниченным 70 миллионами, и этот результат был улучшен до промежутка длиной 246 при объединении с проектом «Polymath». |
| The prime number theorem was first proved in 1896 by Jacques Hadamard and by Charles de la Vallée Poussin independently, using properties of the Riemann zeta function introduced by Riemann in 1859. | Теорема о простых числах впервые была доказана в 1896 Жаком Адамаром и независимо Валле-Пуссеном, используя дзета-функцию Римана введенную Риманом в 1859. |
| In other words, p {\displaystyle \rho} is simply the number whose binary expansion corresponds to the indicator function of the set of prime numbers. | Другими словами, р {\displaystyle \rho} является просто числом, двоичное разложение которого соответствует индикаторной функции множества простых чисел. |
| It got even more exciting when he then wrote down these two large prime numbers in your standard multiplication format - and for the rest of the hour of his talk Frank Nelson Cole busted that out. | Всё стало ещё более захватывающим, когда он затем записал эти два больших простых числа в формате стандартного умножения и в оставшееся от его часового выступления время Фрэнк Нельсон Коул внезапно начал делать это. |
| It should be noted, however, that the concept of public-key cryptography does not necessarily imply the use of the above-mentioned algorithms based on prime numbers. | Вместе с тем следует отметить, что понятие криптографии с использованием публичного ключа не обязательно подразумевает использование вышеупомянутых алгоритмов, основывающихся на простых числах. |
| It's a good idea to do some other action (type on the keyboard, move the mouse, use the disks) during the generation of prime numbers, this gives the random number generator a better chance of collecting enough entropy. | Это хорошая идея, чтобы сделать некоторые другие действия (типа на клавиатуре, переместите мышь, используйте диски) время генерации простых чисел, то это дает генератора случайных чисел, больше шансов на сбор достаточной энтропии. |
| The statistics of the zero distributions are of interest because of their connection to problems like the Generalized Riemann hypothesis, distribution of prime numbers, etc. The connections with random matrix theory and quantum chaos are also of interest. | Статистика распределения нулей представляет интерес из-за их связи с такими проблемами, как обобщенная гипотеза Римана, распределение простых чисел и т. Д. Связи с теорией случайных матриц и квантовым хаосом также представляют интерес. |
| It comes 22 years before the first proof of the prime number theorem which, by contrast, relies on a careful analysis of the behavior of the Riemann zeta function as a function of a complex variable. | Доказательство опубликовано на 22 года раньше первого доказательства теоремы о распределении простых чисел, которая, в отличие от доказательства Мертенса, опирается на тщательный анализ поведения дзета-функции Римана как функции комплексного переменного. |
| Dirichlet's theorem states that if a and d are coprime natural numbers, then the arithmetic progression a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... contains infinitely many prime numbers. | Теорема Дирихле утверждает, что когда а и d взаимно простые натуральные числа, то арифметическая прогрессия a, a+d, a+2d, a+3d, ... содержит бесконечно много простых чисел. |
| If no pi divides any (pj - 1), then n and φ(n) have no common (prime) divisor, and n is cyclic. | Если ни одно из pi не делит ни одно (pj - 1), то n и φ(n) не имеют общих (простых) делителей, и n является циклическим. |