| Based on these two results, he conjectured that in fact every connected graph with a planar cover is projective. | Основываясь на этих двух результатах он высказал гипотезу, что на самом деле любой связный граф с планарным накрытием является проективным. |
| An unrooted binary tree is a connected undirected graph with no cycles in which each non-leaf node has exactly three neighbors. | Некорневое бинарное дерево - это связный неориентированный граф без циклов, в котором каждый нелистовой узел имеет в точности три соседа. |
| A free tree or unrooted tree is a connected undirected graph with no cycles. | Свободное дерево или некорневое дерево - это связный неориентированный граф без циклов. |
| A cograph is a graph in which every connected induced subgraph has a disconnected complement. | Кограф - это граф, в котором любой связный порождённый подграф имеет несвязное дополнение. |
| Every finite connected undirected graph has at least one Trémaux tree. | Любой конечный связный неориентированный граф имеет по меньшей мере одно дерево Тремо. |
| Stars may also be described as the only connected graphs in which at most one vertex has degree greater than one. | Граф-звезда также может быть описан как связный граф, в котором не более одной вершины имеет степень больше единицы. |
| Every connected indifference graph has a Hamiltonian path. | Любой связный индифферентный граф содержит гамильтонов путь. |
| In the other direction, it is necessary to show that every connected bridgeless graph can be strongly oriented. | В обратном направлении нужно показать, что любой связный граф без мостов можно сильно ориентировать. |
| As a simple example, a connected graph with diameter D will have at least D+1 distinct values in its spectrum. | В качестве простого примера, связный граф с диаметром D будет иметь по меньшей мере D+1 различных значений в своём спектре. |
| As a connected bridgeless cubic graph with chromatic index four, the Petersen graph is a snark. | Как связный кубический граф без мостов с хроматическим индексом четыре, граф Петерсена является снарком. |
| A double-critical graph is a connected graph in which the deletion of any pair of adjacent vertices decreases the chromatic number by two. | Дважды критический граф - это связный граф, в котором удаление любой пары смежных вершин уменьшает хроматическое число на два. |
| Sumner (1974) and, independently, Las Vergnas (1975) proved that every claw-free connected graph with an even number of vertices has a perfect matching. | Самнер (Sumner, 1974) и, независимо, Лас Вергнас (Las Vergnas, 1975) доказали, что любой связный граф без клешней с чётным числом вершин имеет совершенное паросочетание. |
| The smallest connected half-transitive graph is Holt's graph, with degree 4 and 27 vertices. | Наименьший связный полутранзитивный граф - это граф Холта, имеющий степень 4 и 27 вершин. |
| A cycle in an undirected graph is a connected subgraph in which each vertex is incident to exactly two edges, or is a loop. | Цикл в неориентированном графе - это связный подграф, в котором любая вершина инцидентна в точности двум рёбрам или является петлёй. |
| This result follows directly from the more fundamental theorem that every connected claw-free graph with an even number of vertices has a perfect matching. | Этот результат следует прямо из более фундаментальной теоремы, что любой связный граф без клешней с чётным числом вершин имеет совершенное паросочетание. |
| Perfect matchings may be used to provide another characterization of the claw-free graphs: they are exactly the graphs in which every connected induced subgraph of even order has a perfect matching. | Совершенные паросочетания могут быть использованы для ещё одной характеристики графов без клешней - это в точности те графы, в которых любой связный порождённый подграф чётного порядка имеет совершенное паросочетание. |
| When a connected graph does not meet the conditions of Euler's theorem, a closed walk of minimum length covering each edge at least once can nevertheless be found in polynomial time by solving the route inspection problem. | Если связный граф не удовлетворяет условиям теоремы Эйлера, замкнутый обход минимальной длины, покрывающий все рёбра по меньшей мере один раз может быть найден, тем не менее, за полиномиальное время путём решения задачи об инспекции дорог. |
| Every connected graph in which the domination number is half the number of vertices arises in this way, with the exception of the four-vertex cycle graph. | Любой связный граф, в котором число доминирования равно половине вершин, получается таким образом, за исключением цикла с четырьмя вершинами. |
| Winkler showed that a connected graph is a partial cube if and only if it is bipartite and the relation Θ {\displaystyle \Theta} is transitive. | Винклер показал, что связный граф является частичным кубом тогда и только тогда, когда он является двудольным и отношение Θ {\displaystyle \Theta} транзитивно. |
| The graph is both chordal (every cycle of length greater than three has a diagonal) and distance-hereditary (every connected induced subgraph has the same distances as the whole graph). | Граф является и хордальным (любой цикл с длиной, превосходящей три, имеет диагональ), и дистанционно-наследуемым (любой связный порождённый подграф имеет те же расстояния, что и весь граф). |
| If an infinite graph G has a normal spanning tree, so does every connected graph minor of G. It follows from this that the graphs that have normal spanning trees have a characterization by forbidden minors. | Если бесконечный граф G имеет нормальное остовное дерево, то такой имеет и любой связный минор графа G. Отсюда следует, что графы, имеющие нормальные остовные остовные деревья, можно описать запрещёнными минорами. |
| As a finite connected vertex-transitive graph that does not have a Hamiltonian cycle, the Petersen graph is a counterexample to a variant of the Lovász conjecture, but the canonical formulation of the conjecture asks for a Hamiltonian path and is verified by the Petersen graph. | Как конечный связный вершинно-транзитивный граф, не имеющий гамильтонова цикла, граф Петерсена является контрпримером варианта гипотезы Ловаса, но каноническая формулировка гипотезы спрашивает о гамильтоновом пути и для графа Петерсена эта гипотеза выполняется. |
| A pseudotree is a connected pseudoforest. | Псевдодерево - это связный псевдолес. |
| That is, a 1-tree is a connected graph containing exactly one cycle. | То есть 1-дерево - это связный граф, содержащий в точности один цикл. |
| If a connected graph with three or more vertices has maximum degree three, then its cutwidth equals the vertex separation number of its line graph. | Если связный граф с тремя или более вершинами имеет максимальную стпепень З, его ширина разреза равна величине вершинного разделения его рёберного графа. |