| That is, in a projective space of dimension n, the points (dimension 0) correspond to hyperplanes (codimension 1), the lines joining two points (dimension 1) correspond to the intersection of two hyperplanes (codimension 2), and so on. | Таким образом, в проективном пространстве размерности n точки (размерность 0) будут соответствовать гиперплоскостям (коразмерность 1), прямые, проходящие через две точки (размерность 1), будут соответствовать пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2), и так далее. |
| One may compactify one dimension which is shared by all two-cycles and their intersecting points, and then take the limit where this dimension shrinks to zero, thus getting a dimensional reduction over this dimension. | Можно осуществить компактификацию одной размерности, в которой находятся все двуциклы и их точки пересечения, и взять предел, при котором размерность схлапывается до нуля, тем самым получая понижение по этой размерности. |
| A face of a convex polytope P may be defined as the intersection of P and a closed halfspace H such that the boundary of H contains no interior point of P. The dimension of a face is the dimension of this hull. | Грань выпуклого многогранника Р можно определить как пересечение Р и замкнутого полупространства Н, такого, что граница Н не содержит внутренних точек Р. Размерность грани равна размерности этого пересечения. |
| The most complicated varieties are those with Kodaira dimension equal to their dimension n, called varieties of general type. | Наиболее сложные многообразия - это те, у которых размерность Кодаиры совпадает с размерностью пространства n, и эти многообразия носят название многообразия общего типа. |
| For example, if X is a smooth projective curve over an algebraically closed field k, the genus of X is defined to be the dimension of the k-vector space H1(X, OX). | Наример, если Х - неособая проективная кривая над алгебраически замнутым полем к, то род Х определяется как размерность векторного пространства H1(X, OX). |
| Brill-Noether theory went further by estimating the dimension of the space of maps of given degree d from an algebraic curve to projective space Pn. | В теории Брилля - Нётера они пошли дальше, оценив размерность пространства отображений степени d из алгебраической кривой в проективное пространство Pn. |
| If a graph can be colored with four colors, then its incidence poset has order dimension at most four (Schnyder 1989). | Если граф можно раскрасить в четыре цвета, то его частично упорядоченное множество инцидентности вершин имеет порядковую размерность, не превосходящую четырёх (Schnyder 1989). |
| The class of trapezoid graphs properly contains the union of interval and permutation graphs and is equivalent to the incomparability graphs of partially ordered sets having interval order dimension at most two. | Класс трапецеидальных графов содержит интервальные графы и графы перестановок и эквивалентен графам несравнимости частично упорядоченных множеств, имеющих размерность порядка не больше двух. |
| The dimension of a vector space, or the transcendence degree of a field (over its prime field) is exactly the rank of the corresponding matroid. | Размерность векторного пространства и степень трансциндентности поля (над его простым полем) - это в точности ранг соответствующего матроида. |
| Hopf surfaces are surfaces of class VII and in particular all have Kodaira dimension - ∞ {\displaystyle -\infty}, and all their plurigenera vanish. | Поверхности Хопфа являются поверхностями класса VII и, в частности, все имеют размерность Кодайры -∞ и все их плюрироды равны нулю. |
| The essential idea of fractional or fractal dimensions has a long history in mathematics that can be traced back to the 1600s, but the terms fractal and fractal dimension were coined by mathematician Benoit Mandelbrot in 1975. | Основная идея дробной или фрактальной размерности имеет долгую историю в математике, которую можно проследить с 1600 года,:19 но сами термины фрактал и фрактальная размерность были введены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975. |
| If V has finite dimension n, another way of looking at the tensor algebra is as the "algebra of polynomials over K in n non-commuting variables". | Если размерность V конечна и равна n, то тензорную алгебру можно рассматривать как алгебру многочленов над K с n некоммутативными переменными. |
| He does this thing where he pretends he's in an alternate dimension that occupies the same physical space we're in, but he can't perceive us. | Он сделал это там, где притворялся что он очередная размерность, занимающая то же физическое пространство, в котором находимся мы, но он не мог ощущать нас. |
| This construction generalizes (Bouwer 1972) to any dimension n >= 3, yielding an n-valent Levi graph with algebraic properties similar to those of the Gray graph. | Эта конструкция может быть обобщена (Баувер, 1972) на любую размерность n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3}, давая n {\displaystyle n} -валентные графы Леви с алгебраическими свойствами, похожими на свойства графа Грея. |
| Schnyder's theorem states that a graph G is planar if and only if the order dimension of P(G) is at most three. | Теорема Шнайдера утверждает, что граф G является планарным тогда и только тогда, когда порядковая размерность P (G) {\displaystyle P(G)} не превосходит трёх. |
| In these cases semistandard tableaux with entries up to n play a central role, rather than standard tableaux; in particular it is the number of those tableaux that determines the dimension of the representation. | В этих случаях центральную роль играют полустандартные таблицы с числами, не превосходящими n (в частности, их число определяет размерность представлений). |
| As Schnyder observes, the incidence poset of a graph G has order dimension two if and only if the graph is a path or a subgraph of a path. | Как заметил Шнайдер, частично упорядоченное множество инцидентности вершин графа G имеет порядковую размерность два тогда и только тогда, когда граф является путём или подграфом пути. |
| The number l(D) is the quantity that is of primary interest: the dimension (over C) of the vector space of meromorphic functions h on the surface, such that all the coefficients of (h) + D are non-negative. | Число l (D) {\displaystyle \ell (D)} является величиной, представляющей главный интерес - размерность (над C) векторного пространства мероморфных функций h на поверхности, таких, что все коэффициенты дивизора (h) + D неотрицательны. |
| A number of results on upward planarity and on crossing-free Hasse diagram construction are known: If the partial order to be drawn is a lattice, then it can be drawn without crossings if and only if it has order dimension at most two. | Некоторые свойства частичных порядков относительно планарности их диаграммы Хассе (то есть возможности нарисовать её без пересечения рёбер): Если частичный порядок является решёткой, то его можно нарисовать без пересечений тогда и только тогда, когда размерность порядка не менее двух. |
| (As a consequence of Prasad & Yeung (2007) and the work of Cartwright and Steger, D has degree 3 over l and the module has dimension 1 over D.) | (Как следствие работы Прасада и Йена, а также работы Картрайта и Стэгера, D имеет степень 3 над l, а модуль имеет размерность 1 над D.) |
| Mandelbrot shows how to calculate the Hausdorff dimension of each of these curves, each of which has a dimension D between 1 and 2 (he also mentions but does not give a construction for the space-filling Peano curve, which has a dimension exactly 2). | Мандельброт показывает, как вычислить размерность Хаусдорфа для кривых, имеющих размерность между 1 и 2 (а также упоминает, но без подробностей, заполняющую пространство кривую Пеано, которая имеет размерность ровно 2). |
| This constitutes the case where the matrix is square (J = D {\textstyle J=D}, where D {\textstyle D} is the input dimension of the data and J {\textstyle J} is the dimension of the model). | В этом случае матрица квадратна (J = D {\textstyle J=D}, где D {\textstyle D} входная размерность данных, а J {\textstyle J} - размерность модели). |
| It was Jean-Pierre Serre who found a homological characterization of regular local rings: A local ring A is regular if and only if A has finite global dimension, i.e. if every A-module has a projective resolution of finite length. | Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо А регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. |