| The latter is the case if and only if there exists an n-dimensional framed manifold with Kervaire invariant 1, which is known as the Kervaire invariant problem. | Последнее случается тогда и только тогда, когда существует n-мерное параллелизуемое многообразие с инвариантом Кервера (англ.) 1. |
| Suppose M {\displaystyle M} is a compact two-dimensional Riemannian manifold with boundary M {\displaystyle \partial M}. | Пусть Ω {\displaystyle \Omega} - компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей Ω {\displaystyle \partial \Omega}. |
| According to their conjecture, now known as the SYZ conjecture, mirror symmetry can be understood by dividing a Calabi-Yau manifold into simpler pieces and then transforming them to get the mirror Calabi-Yau. | Согласно их предложению, известному сейчас как SYZ-гипотеза, зеркальную симметрию можно понимать, разбивая исходное многообразие Калаби - Яу на более простые куски и затем собирая из них зеркально симметричное исходному многообразие Калаби - Яу. |
| Michael Freedman showed that this lattice almost determines the manifold: there is a unique such manifold for each even unimodular lattice, and exactly two for each odd unimodular lattice. | Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки. |
| In the case of geometry over the field of complex numbers, an algebraic surface has complex dimension two (as a complex manifold, when it is non-singular) and so of dimension four as a smooth manifold. | В случае геометрии над полем комплексных чисел алгебраическая поверхность имеет комплексную размерность два (как комплексное многообразие, если оно неособо), а потому имеет размерность четыре как гладкое многообразие. |
| Given an orientable Haken manifold M, by definition it contains an orientable, incompressible surface S. Take the regular neighborhood of S and delete its interior from M, resulting in M'. | Если дано ориентируемое многообразие Хакена М, по определению оно содержит ориентируемую несжимаемую поверхность S. Возьмём регулярную окрестность поверхности S и удалим её внутренность из M, получим многообразие M'. |
| A Haken manifold is a compact, P²-irreducible 3-manifold that is sufficiently large, meaning that it contains a properly embedded two-sided incompressible surface. | Многообразие Хакена - это компактное P2-неприводимое 3-многообразие, достаточно большое, что означает, что оно содержит правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность. |
| This manifold is an example of a topological manifold which admits no smooth structure and is not even triangulable. | Это многообразие представляет собой пример топологического многообразия, которое не допускает гладкую структуру и даже не триангулируемо. |
| The Weeks manifold has the smallest possible volume of any closed manifold (a manifold that, unlike link complements, has no cusps); its volume is approximately 0.9427. | Многообразие Викса имеет наименьший возможный объём среди замкнутых многообразий (многообразие, в отличие от дополнения зацепления, не имеет каспов) и его объём примерно равен 0,9427. |
| For it to work globally, as a function on the whole manifold (and not just a local formula), one must equip the symplectic manifold with a torsion-free symplectic connection. | Для того, чтобы работать во всем многообразии (и использовать не только локальную формулу), необходимо оснастить симплектическое многообразие симплектической связнастью без кручения. |
| It is a theorem that any orientable compact manifold with a boundary component that is not a sphere has an infinite first homology group, which implies that it has a properly embedded 2-sided non-separating incompressible surface, and so is again a Haken manifold. | Есть теорема, что любое ориентируемое компактное многообразие, имеющее компоненту с краем, не являющейся сферой, имеет бесконечную первую гомологическую группу, откуда следует, что оно имеет правильно вложенную 2-стороннюю неотделимую несжимаемую поверхность, а потому также является многообразием Хакена. |
| An associated quadratic form or manifold - for example, the E8 manifold has intersection form given by the E8 lattice. | Ассоциированная квадратичная форма или многообразие - например, E8 имеет форму пересечений, задаваемую решёткой E8. |
| In 1982 Michael Freedman produced a bizarre example of a topological 4-manifold, called the E8 manifold, whose intersection form is given by the E8 lattice. | В 1982 году Фридман построил топологическое четырёхмерное многообразие, называемое Е8-многообразие, чья форма пересечений задаётся решёткой Е8. |