| One of these two embeddings forms a torus, so the Nauru graph is a toroidal graph: it consists of 12 hexagonal faces together with the 24 vertices and 36 edges of the Nauru graph. | Одно из этих двух вложений образует тор, так что граф Науру является тороидальным графом - он состоит из 12 шестиугольных граней вместе с 24 вершинами и 36 гранями графами Науру. |
| A cograph is a graph with no induced path on four vertices, P4, and a threshold graph is a graph with no induced P4, C4 nor 2K2. | Кограф - это граф с отсутствием порождённых путей с четырьмя вершинами, P4, а пороговые графы - это графы баз порождённых подграфов P4, C4 или 2K2. |
| In the mathematical field of graph theory, the triangle graph is a planar undirected graph with 3 vertices and 3 edges, in the form of a triangle. | В теории графов треугольным графом называется планарный неориентированный граф с тремя вершинами и тремя рёбрами, образующими треугольник. |
| The Hadwiger conjecture in graph theory proposes that if a graph G does not contain a minor isomorphic to the complete graph on k vertices, then G has a proper coloring with k - 1 colors. | Гипотеза Хадвигера делает предположение, что если граф G не содержит минор, изоморфный полному графу с k вершинами, то граф G имеет правильную раскраску в k - 1 цветов. |
| However, a combinatorial metric does exist in the corresponding incidence graph (Levi graph), namely the length of the shortest path between two vertices in this bipartite graph. | Однако существует комбинаторная метрика в соответствующих графах инциденций (графах Леви), а именно, длина кратчайшего пути между двумя вершинами в этом двудольном графе. |
| The smallest cubic semi-symmetric graph (that is, one in which each vertex is incident to exactly three edges) is the Gray graph on 54 vertices. | Наименьший кубический полусимметричный граф (то есть граф, в котором каждая вершина инцидентна в точности трём рёбрам) является граф Грея с 54 вершинами. |
| The graph Q0 consists of a single vertex, while Q1 is the complete graph on two vertices and Q2 is a cycle of length 4. | Граф Q0 состоит из единственной вершины, граф Q1 является полным графом с двумя вершинами, а Q2 - цикл длины 4. |
| In this case, the graph G is a conflict graph: an edge in G between the nodes u and v denotes that u and v cannot be active simultaneously. | В этом случае граф G является графом конфликтов - ребро в G между вершинами u и v означает невозможность выполнения u и v одновременно. |
| The one remaining graph for which this has not yet been done is K1,2,2,2, a seven-vertex apex graph that forms the skeleton of a four-dimensional octahedral pyramid. | Единственный оставшийся граф, для которого это ещё не сделано, это K1,2,2,2, верхушечный граф с семью вершинами, который образует остов четырёхмерной восьмигранной пирамиды. |
| In metric graph theory, a convex subgraph of an undirected graph G is a subgraph that includes every shortest path in G between two of its vertices. | В метрике теории графов выпуклым подграфом неориентированного графа G называется подграф, который включает любой кратчайший путь в G между любыми двумя вершинами. |
| For instance, the cubical graph Q3 is the graph formed by the 8 vertices and 12 edges of a three-dimensional cube. | Например, Q3 - это граф, образованный 8 вершинами и 12 рёбрами трёхмерного куба. |
| The case of z(4; 3) is relatively simple: a 13-edge bipartite graph with four vertices on each side of the bipartition, and no K3,3 subgraph, may be obtained by adding one of the long diagonals to the graph of a cube. | Случай z(4; 3) относительно прост - двудольный граф с 13 рёбрами и четырьмя вершинами в каждой доле, не содержащий K3,3 подграфа, может быть получен путём добавления длинной диагонали к графу куба. |
| The concept of thickness originates in the 1962 conjecture of Frank Harary: For any graph on 9 points, either itself or its complementary graph is non-planar. | Концепция толщины возникла в гипотезе Фрэнка Харари 1962 года: любой граф с 9 вершинами либо сам, либо его дополнение, является непланарным. |
| Every connected graph in which the domination number is half the number of vertices arises in this way, with the exception of the four-vertex cycle graph. | Любой связный граф, в котором число доминирования равно половине вершин, получается таким образом, за исключением цикла с четырьмя вершинами. |
| An n-vertex graph G is a subgraph of a Turán graph T(n, r) if and only if G admits an equitable coloring with r colors. | Граф G с n вершинами является подграфом графа Турана T(n, r) тогда и только тогда, когда G допускает справедливую раскраску в r цветов. |
| Every maximal outerplanar graph with n vertices has exactly 2n - 3 edges, and every bounded face of a maximal outerplanar graph is a triangle. | Любой максимальный внешнепланарный граф с n вершинами имеет в точности 2n - 3 рёбер и любая ограниченная грань максимального внешнепланарного графа является треугольником. |
| More were found later: first, the Errera graph in 1921, then the Kittell graph in 1935, with 23 vertices, and finally two minimal counter-examples (the Soifer graph in 1997 and the Fritsch graph in 1998, both of order 9). | Другие контрпримеры были найдены позже, это граф Эрреры в 1921, граф Киттелля в 1935 с 23 вершинами и, наконец, два минимальных контрпримера (граф Сойфера в 1997 и граф Фрича в 1998, оба порядка 9). |
| According to Conder, Malnič, Marušič and Potočnik, the four smallest possible cubic semi-symmetric graphs after the Gray graph are the Iofinova-Ivanov graph on 110 vertices, the Ljubljana graph on 112 vertices, a graph on 120 vertices with girth 8 and the Tutte 12-cage. | Согласно Кондеру, Малничу, Марушичу и Поточнику четырьмя наименьшими кубическими полусимметричными графами после графа Грея являются граф Иванова - Иофиновой с 110 вершинами, граф Любляны с 112 вершинами, граф с 120 вершинами и обхватом 8 и 12-клетка Тата. |
| If a graph H contains a triangle uvw, then the Δ-Y transform of H at uvw is the graph formed by removing edges uv, vw, and uw from H and adding a new vertex connected to all three of u, v, and w. | Если граф Н содержит треугольник uvw, то Δ-Y преобразование графа H с треугольником uvw - это граф, образованный удалением рёбер uv, vw и uw из H и добавлением новой вершины, соединёнными со всеми тремя вершинами u, v и w. |
| A longest path between two given vertices s and t in a weighted graph G is the same thing as a shortest path in a graph -G derived from G by changing every weight to its negation. | Самый длинный путь А между двумя заданными вершинами s и t во взвешенном графе G - это то же самое, что и кратчайший путь в графе -G, полученном из G путём замены всех весов на веса с обратным знаком. |
| The graph of a triangular prism is also a Halin graph: it can be drawn so that one of its rectangular faces is the exterior cycle, and the remaining edges form a tree with four leaves, two interior vertices, and five edges. | Граф треугольной призмы является также графом Халина - его можно нарисовать так, что одна из его прямоугольных граней будет внешним циклом, а оставшиеся рёбра образуют дерево с четырьмя листьями, двумя внутренними вершинами и пятью рёбрами. |
| For example, the king's graph, a graph whose vertices are squares of a chessboard and whose edges represent possible moves of a chess king, is a strong product of two path graphs. | Например, граф ходов короля, граф, в котором вершинами являются клетки шахматной доски, а рёбра представляют возможные ходы короля, является сильным произведением двух путей. |
| If H is a two-vertex complete graph K2, then for any graph G, the rooted product of G and H has domination number exactly half of its number of vertices. | Если Н - полный граф с двумя вершинами K2, то для любого графа G корневое произведение графов G и H имеет число доминирования, равное ровно половине числа его вершин. |
| If a graph G is factor-critical, then so is the Mycielskian of G. For instance, the Grötzsch graph, the Mycielskian of a five-vertex cycle-graph, is factor-critical. | Если граф G является фактор-критическим, то он является мычельскианом графа G. Например, граф Грёча, мычельскиан цикла с пятью вершинами, является фактор-критическим. |
| The pairs of symbols in the cells of a Howell design can be thought of as the edges of an s regular graph on 2n vertices, called the underlying graph of the Howell design. | Пары символов в ячейках схемы Хауэлла можно рассматривать как рёбра s регулярного графа с 2n вершинами, который называется основным графом схемы Хауэлла. |