| Reductive groups have a rich representation theory in various contexts. | Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. |
| Reductive groups over an arbitrary field are harder to classify, but for many fields such as the real numbers R or a number field, the classification is well understood. | Редуктивные группы над произвольным полем классифицировать труднее, но для многих полей, таких как поле вещественных чисел R или числовое поле, классификация вполне понятна. |
| Reductive groups include some of the most important groups in mathematics, such as the general linear group GL(n) of invertible matrices, the special orthogonal group SO(n), and the symplectic group Sp(2n). | Редуктивные группы включают большинство важных групп, таких как полная линейная группа GL(n) обратимых матриц, специальная ортогональная группа SO(n), и симплектическая группа Sp(2n). |
| Langlands generalized the idea of functoriality: instead of using the general linear group GL(n), other connected reductive groups can be used. | Ленглендс обобщил идею функториальности: вместо общей линейной группы G L (n) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} можно использовать другие связные редуктивные группы. |
| For any reductive group G with a Borel subgroup B, G/B is called the flag variety or flag manifold of G. Chevalley showed in 1958 that the reductive groups over any algebraically closed field are classified up to isomorphism by root data. | Для любой редуктивной группы G с подгруппой Бореля B G/B называется многообразием флагов или флаговым многообразием группы G. Шевалле показал в 1958, что редуктивные группы над любым алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до изоморфизма корнями. |