| Claude Chevalley showed that the classification of reductive groups is the same over any algebraically closed field. | Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одна и та же над любым алгебраически замкнутым полем. |
| More generally, the classification of split reductive groups is the same over any field. | Более обще, классификация расщепимых редуктивных групп одинакова над любым полем. |
| By contrast, the classification of arbitrary reductive groups can be hard, depending on the base field. | Для контраста, классификация произвольных редуктивных групп может иметь разную трудность, зависящую от базового поля. |
| Note, however, that complete reducibility fails for reductive groups in positive characteristic (apart from tori). | Заметим, однако, что полная приводимость не выполняется для редуктивных групп с положительной характеристикой (помимо торов). |
| It is remarkable that the classification of reductive groups is independent of the characteristic. | Замечательно, что эта классификация редуктивных групп не зависит от характеристик. |
| The structure theory of reductive groups is used in all these areas. | Структурная теория редуктивных групп используется во всех этих областях. |
| Useful theories of admissible representations and unitary representations have been developed for real reductive groups in this generality. | Полезные теории допустимых представлений и унитарных представлений разрабатывались в общих чертах для вещественных редуктивных групп. |
| The problem of classifying the real reductive groups largely reduces to classifying the simple Lie groups. | Задача классификации вещественных редуктивных групп сильно сокращается для классификации простых групп Ли. |
| The classification of reductive algebraic groups is in terms of the associated root system, as in the theories of complex semisimple Lie algebras or compact Lie groups. | Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированной системы корней, как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли. |
| Roughly speaking, the Langlands reciprocity conjecture is the special case of the functoriality conjecture when one of the reductive groups is trivial. | Грубо говоря, гипотеза об эквивалентности Ленглендса является частным случаем гипотезы функториальности, когда одна из редуктивных групп тривиальна. |
| As a result, the problem of classifying reductive groups over k essentially includes the problem of classifying all quadratic forms over k or all central simple algebras over k. | В результате задача классификации редуктивных групп над полем к включает задачи классификации всех квадратичных форм над к или всех центральных простых алгебр над к. |
| These problems motivate the systematic study of G-torsors, especially for reductive groups G. When possible, one hopes to classify G-torsors using cohomological invariants, which are invariants taking values in Galois cohomology with abelian coefficient groups M, Ha(k, M). | Эти проблемы побуждают к систематическому изучению G-торсоров, особенно для редуктивных групп G. Когда возможно, пытаются классифицировать G-торсоры с помощью когомологических инвариантов, которые являются инвариантами, принимающими значения в когомологии Галуа с абелевыми группами коэффициентов M, Ha(k, M). |
| Over fields of characteristic greater than 3, all pseudo-reductive groups can be obtained from reductive groups by the "standard construction", a generalization of the construction above. | Над полем с характеристикой, большей З, все псевдоредуктивные группы могут быть получены из редуктивных групп путём «стандартного построения», обобщающего построение, описанное выше. |
| (This is equivalent to the definition of reductive groups in the introduction when k is perfect.) | (Это эквивалентно определению редуктивных групп в предположении совершенства поля к.) |
| (Some authors do not require reductive groups to be connected.) | (Некоторые авторы не требуют связности для редуктивных групп.) |
| Given two reductive groups and a (well behaved) morphism between their corresponding L-groups, this conjecture relates their automorphic representations in a way that is compatible with their L-functions. | Для двух данных редуктивных групп и (хорошего) морфизма между соответствующими L-группами, Принцип Функториальности связывает их автоморфные представления так, чтобы они были совместимы с их L-функциями. |