| In the case of undirected graphs, only O(n) time is required to find a cycle in an n-vertex graph, since at most n - 1 edges can be tree edges. | Для неориентированных графов требуется только время O(n) для нахождения цикла в графе с n вершинами, поскольку максимум n - 1 рёбер могут быть рёбрами дерева. |
| For instance, for a four-vertex cycle graph (shown), there are 24 different vertex sequences, but only 14 possible acyclic orientations. | Например, у цикла с четырьмя вершинами (показан на рисунке) существует 24 различных последовательности, но только 14 возможных ациклических ориентаций. |
| The next Fischer group comes by regarding 2.Fi22 as a one-point stabilizer for a graph of 31671 (= 34⋅17⋅23) vertices, and treating these vertices as the 3-transpositions in a group Fi23. | Следующая группа Фишера получается из 2.Fi22 как одноточечного стабилизатора графа с 31671 (= 34⋅17⋅23) вершинами при интерпретации вершин как 3-перестановок в группе Fi23. |
| An example of a BTD(3) is given by The columns of a BTD(n) provide a 1-factorization of the complete graph on 2n vertices, K2n. | Пример схемы BTD(3) Столбцы схемы BTD(n) дают 1-факторизацию полного графа с 2n вершинами, K2n. |
| The moment curve has also been used in graph drawing, to show that all n-vertex graphs may be drawn with their vertices in a three-dimensional integer grid of side length O(n) and with no two edges crossing. | Кривая моментов используется также для визуализации графов, чтобы показать, что все графы с n вершинами можно нарисовать с вершинами на трёхмерной целочисленной решётке с длиной стороны O(n) без пересечения рёбер. |
| The triconnected components of the graph (nodes of the SPQR tree) can consist only of cycle graphs, bond graphs, and four-vertex complete graphs, from which it also follows that outer-1-planar graphs are planar and have treewidth at most three. | Трёхсвязные компоненты графа (узлы дерева SPQR) могут состоять только из циклов, бондграфов и полных графов с четырьмя вершинами, откуда следует, что внешне 1-планарные графы являются планарными и имеют древесную ширину максимум три. |
| If a graph G does not have a k-vertex separator, then every set X of at most k vertices has a (unique) X-flap with more than 2n/3 vertices. | Если граф G не имеет сепаратора с k вершинами, то любое множество X с максимум k вершинами имеет (уникальный) X-борт с более чем 2n/3 вершинами. |
| The theorem claims that for any finite number k there is an appropriate (least) value f(k), with the property that in every graph with no k vertex-disjoint circuits all circuits can be covered by f(k) vertices. | Теорема утверждает, что для любого конечного числа к существует некоторое (минимальное) значение f(k), для которого в любом графе, не имеющем k вершинно разъединённых циклов, все циклы могут быть покрыты f(k) вершинами. |
| The leaves of the Cartesian tree represent the vertices of the input graph, and the minimax distance between two vertices equals the weight of the Cartesian tree node that is their lowest common ancestor. | Листья декартова дерева представляют собой вершины входного графа, а минимаксное расстояние между двумя вершинами равно весу узла декартова дерева, который является их наименьшим общим предком. |
| If our edge e in G was connected to nodes of degree O(k), it will be traversed O(k2) more frequently in the line graph L(G). | Если наше ребро ё в G было соединено с вершинами степени O(k), оно будет пройдено в O(k2) чаще в рёберном графе L(G). |
| This means that a graph is a forest if and only if none of its minors is the loop (or, the cycle with three vertices, respectively). | Это означает, что граф является лесом тогда и только тогда, когда никакой его минор не является петлёй (или циклом с тремя вершинами, соответственно). |
| Holes (and antiholes in graphs without chordless cycles of length 5) in a graph with n vertices and m edges may be detected in time (n+m2). | Дыры (и антидыры в графах без циклов длины 5 без хорд) в графе с n вершинами и m рёбрами могут быть найдены за время (n+m2). |
| David Eppstein conjectured that every n-vertex cubic graph has at most 2n/3 (approximately 1.260n) distinct Hamiltonian cycles, and provided examples of cubic graphs with that many cycles. | Дэвид Эпштейн высказал гипотезу, что кубический граф с n вершинами имеет максимум 2n/3 (что примерно 1,260n) различных гамильтоновых циклов и представил примеры графов с таким числом циклов. |
| For instance, if a linear ordering of the vertices of an n-vertex graph G is given, with vertex separation number w, then it is possible to find the maximum independent set of G in time O(2w n). | Например, если линейное упорядочение вершин графа G с n вершинами задано и величина вершинного разделения равна w, то можно найти наибольшее независимое множество графа G за время O(2w n). |
| In an undirected graph, a widest path may be found as the path between the two vertices in the maximum spanning tree of the graph, and a minimax path may be found as the path between the two vertices in the minimum spanning tree. | В неориентированном графе самый широкий путь может быть найден как путь между двумя вершинами в максимальном остовном дереве графа, а минимаксный путь может быть найден как путь между двумя вершинами в минимальном остовном дереве. |
| The comparability graph of a partial order is the undirected graph with a vertex for each element and an undirected edge for each pair of distinct elements x, y with either x <= y or y <= x. | Граф сравнимости частичного порядка является неориентированным графом с вершинами для каждого элемента и неориентированным ребром для каждой пары различных элементов х, у, если х <= у или у <= х. |
| Since the partition classes are disjoint, their adjacencies constitute a new graph, a quotient graph G/ P {\displaystyle G/P}, whose vertices are the members of P {\displaystyle P}. | Поскольку классы разбиений не пересекаются, их смежность образует новый граф, фактор-граф G/ P {\displaystyle G/P}, вершинами которого являются члены P {\displaystyle P}. |
| The domination number of this graph is 2: the examples (b) and (c) show that there is a dominating set with 2 vertices, and it can be checked that there is no dominating set with only 1 vertex for this graph. | Доминирующее число этого графа равно 2 - примеры (b) и (c) показывают, что существует доминирующее множество с 2 вершинами, и можно проверить, что для данного графа не существует доминирующего множества лишь с одной вершиной. |
| Specifically, the removal of O(n) vertices from an n-vertex graph (where the O invokes big O notation) can partition the graph into disjoint subgraphs each of which has at most 2n/3 vertices. | В частности, удалением O(n) вершин из графа с n вершинами (здесь O обозначает «O» большое) можно разбить граф на несвязные подграфы, каждый из которых имеет не более 2n/3 вершин. |
| However it is not the smallest such graph: it is known that there is a universal graph for n-vertex trees, with only n vertices and O(n log n) edges, and that this is optimal. | Однако это не самый маленький такой граф - известно, что существует универсальный граф для деревьев с n вершинами, содержащий всего n вершин и O(n log n) рёбер, и этот граф оптимален. |
| In the Schläfli double six, a configuration of 12 lines and 30 points in three-dimensional space, the twelve lines intersect each other in the pattern of a 12-vertex crown graph. | В двойной шестёрке Шлефли конфигурации 12 прямых и 30 точек в трёхмерном пространстве, двенадцать прямых пересекают друг друга по схеме короны с 12 вершинами. |
| Let n be very large and consider a random graph G on n vertices, where every edge in G exists with probability p = n1/g-1. | Рассмотрим случайный граф G {\displaystyle G} с n {\displaystyle n} вершинами, где каждое ребро в G {\displaystyle G} существует с вероятностью p = n1/g-1. |
| In more detail, as any n-vertex forest has at most n-1 edges, the arboricity of a graph with n vertices and m edges is at least m/ (n - 1) {\displaystyle \lceil m/(n-1)\rceil}. | Точнее, поскольку любой n-вершинный лес имеет максимум n-1 рёбер, древесность графа с n вершинами и m рёбрами не меньше m/ (n - 1) {\displaystyle \lceil m/(n-1)\rceil}. |
| That is, it asks for the chromatic number of the infinite graph whose vertices are all the points in the plane and whose edges are all pairs of points at unit distance. | Фактически это задача о хроматическом числе бесконечного графа, вершинами которого служат все точки плоскости, а рёбрами - все пары точек, лежащих на расстоянии единица. |
| In a well-covered graph with n vertices, the size of a maximum independent set is at most n/2, so very well covered graphs are the well covered graphs in which the maximum independent set size is as large as possible. | В хорошо покрытом графе с n вершинами размер максимального независимого множества не превосходит n/2, так что очень хорошо покрытые графы - это хорошо покрытые графы, в которых наибольшее независимое множество имеет максимально возможный для графов размер. |