| This polynomial has two roots, only one of which (the golden ratio) is greater than one. | Этот многочлен имеет два корня, из которых только один (золотое сечение) превосходит единицу. |
| Hassler Whitney generalised Birkhoff's polynomial from the planar case to general graphs in 1932. | Хасслер Уитни обобщил многочлен Биркгофа с планарного случая на графы общего вида в 1932. |
| Because it has a root of absolute value 1, the minimal polynomial for a Salem number must be reciprocal. | Поскольку число Салема имеет корень с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным. |
| James Waddell Alexander II discovered this, the first knot polynomial, in 1923. | Джеймс Александер обнаружил его, первый многочлен узла, в 1923. |
| Because the Alexander polynomial is not monic, the stevedore knot is not fibered. | Поскольку многочлен Александера не нормирован , стивидорный узел не является расслоённым. |
| Another proof is that its Alexander polynomial does not satisfy the Fox-Milnor condition. | Другое доказательство - многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса - Милнора. |
| One can decide whether a given irreducible cubic polynomial is in casus irreducibilis using the discriminant D, via Cardano's formula. | Можно определить, попадает ли заданный кубический многочлен под случай casus irreducibilis, используя дискриминант D из формулы Кардано. |
| However, the Kauffman polynomial can be used to distinguish between these two knots. | Однако многочлен Кауфмана может быть использован для различения этих двух узлов. |
| Nonetheless, the Alexander polynomial can fail to detect some symmetries, such as strong invertibility. | Однако многочлен Александера может не заметить некоторые симметрии, такие как сильная обратимость. |
| The chromatic polynomial is categorified by a homology theory closely related to Khovanov homology. | Хроматический многочлен категоризирован с помощью теории гомологий, близко связанной с гомологией Хованова. |
| The Alexander polynomial can also be computed from the Seifert matrix. | Многочлен Александера можно вычислить, исходя из матрицы Зейферта. |
| The algorithm will also find the minimal polynomial of a linearly recurrent sequence in an arbitrary field. | Также алгоритм позволяет найти минимальный многочлен поданной на вход линейной рекуррентной последовательности над произвольным полем. |
| The chromatic polynomial of a graph, for example, counts the number of its proper vertex colorings. | Хроматический многочлен графа, например, подсчитывает число его правильных раскрасок вершин. |
| This follows since the minimal polynomial is separable, because the roots of unity are distinct. | Минимальный многочлен является сепарабельным, поскольку корни из единицы различны. |
| For some knot polynomials, such as the Conway, Alexander, and Jones polynomials, the relevant skein relations are sufficient to calculate the polynomial recursively. | Для некоторых многочленов, таких как полиномы Конвея, Александера и Джонса, подходящего скейн-соотношения достаточно, чтобы вычислить многочлен рекурсивно. |
| However, there are still many open problems, such as characterizing graphs which have the same chromatic polynomial, and determining which polynomials are chromatic. | Однако остаётся много открытых вопросов, таких как определение графов, имеющих тот же самый хроматический многочлен, и определение, какие многочлены являются хроматическими. |
| If p is any polynomial and p(A) = 0, then the eigenvalues of A also satisfy the same equation. | Если р - любой многочлен и р(А) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. |
| Since the Tutte polynomial is invariant under embeddings, this result shows that every medial graph has the same sum of these weighted Eulerian orientations. | Поскольку многочлен Татта является инвариантом при вложениях, результат показывает, что для заданного графа любой срединный граф имеет одну и ту же взвешенную сумму эйлеровых ориентаций. |
| The commutative counterpart of this is a simple fact that for rank = 1 matrices the characteristic polynomial contains only the first and the second coefficients. | Это некоммутативный аналог простого факта, что характеристический многочлен матрицы ранга 1 содержит только первые и вторые коэффициенты. |
| George David Birkhoff introduced the chromatic polynomial in 1912, defining it only for planar graphs, in an attempt to prove the four color theorem. | Джордж Дейвид Биркгоф ввёл хроматический многочлен в 1912, определяя его только для планарных графов в попытке доказать теорему о четырёх красках. |
| This led to the discovery of more knot polynomials, such as the so-called HOMFLY polynomial. | Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY. |
| (See also #Chern polynomial.) | (См. также Многочлен Чженя.) |
| In this context the chromatic polynomial counts the number of lattice points in the {\displaystyle} -cube that avoid the graphic arrangement. | В этом контексте хроматический многочлен подсчитывает точки решётки в {\displaystyle} -кубе, которые не попадают на графическую конфигурацию. |
| R. M. Foster had already observed that the chromatic polynomial is one such function, and Tutte began to discover more. | Р. М. Фостер уже заметил, что хроматический многочлен является одной из таких функций, а Тат начал обнаруживать другие. |
| Is the polynomial x2 - 1 a linear combination of p1, p2, and p3? | Является ли многочлен x2 - 1 линейной комбинацией p1, p2 и p3? |