| Let p ∈ F be an irreducible polynomial which splits in a formally real extension R of F (i.e., p has only real roots). | Пусть р ∈ F - неприводимый многочлен, который разлагается в формальном вещественном расширении R поля F (то есть p имеет только вещественные корни). |
| It was generalised to the Tutte polynomial by Hassler Whitney and W. T. Tutte, linking it to the Potts model of statistical physics. | Многочлен обобщили Х. Уитни и У. Т. Тат до многочлена Тата, связав его с моделью Поттса статистической физики. |
| For example, a first degree polynomial (a line) constrained by only a single point, instead of the usual two, would give an infinite number of solutions. | Например, многочлен первой степени (прямая) с ограничением одной точкой вместо обычных двух приводит к бесконечному числу решений. |
| At various points and lines of the (x, y) {\displaystyle (x, y)} -plane, the Tutte polynomial evaluates to quantities that have been studied in their own right in diverse fields of mathematics and physics. | В различных точках и прямых плоскости (х, у) {\displaystyle (x, y)} многочлен Тата даёт значения, которые изучаются сами по себе в различных областях математики и физики. |
| Continuing the previous example, if the field is enlarged to the complex numbers, then the polynomial gains two roots, +i and -i, where i is the imaginary unit, that is, i 2 = -1. | Продолжая предыдущий пример, если поле будет расширено до комплексных чисел, то многочлен приобретёт два корня, i и -i, где i - мнимая единица, то есть, i 2 = -1. |
| In the table, poly(x) = xO(1), i.e., polynomial in x. | В таблице poly(x) = xO(1), т.е. многочлен от x. |
| In this case the resulting polynomial may have degree N - 1, with N the number of data points.) | В этом случае многочлен будет иметь степень N - 1, где N - число известных значений.) |
| More generally, suppose that F is a formally real field, and that p(x) ∈ F is a cubic polynomial, irreducible over F, but having three real roots (roots in the real closure of F). | Более обще, предположим, что F является формальным вещественным полем и p(x) ∈ F - кубический многочлен, неприводимый над F, но имеющий три вещественных корня (корни в вещественном замыкании поля F). |
| As a consequence, Robbins' theorem implies that the Tutte polynomial has a root at the point (0,2) if and only if the graph G has a bridge. | Как следствие, из теоремы Роббинса вытекает, что многочлен Тата имеет корень в точке (0,2) тогда и только тогда, когда в графе G имеется мост. |
| According to the Cayley-Hamilton theorem, pA(A) = 0, that is, the result of substituting the matrix itself into its own characteristic polynomial yields the zero matrix. | Согласно теореме Гамильтона - Кэли, рА(А) = 0, то есть при подстановке самой матрицы в характеристический многочлен, получим нулевую матрицу. |
| In commutative algebra, the Hilbert function, the Hilbert polynomial, and the Hilbert series of a graded commutative algebra finitely generated over a field are three strongly related notions which measure the growth of the dimension of the homogeneous components of the algebra. | Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта градуированной коммутативной алгебры, конечно порождённой над полем - это три тесно связанных понятия, которые позволяют измерить рост размерности однородных компонент алгебры. |
| The lth division polynomial is such that its roots are precisely the x coordinates of points of order l. | Многочлен деления с номером l - это такой многочлен, что его корни являются в точности x координатами точек порядка l. |
| In recent years, the Alexander polynomial has been shown to be related to Floer homology. | В 2003 году показано, что многочлен Александера связан с гомологией Флоера. |
| The chromatic polynomial includes at least as much information about the colorability of G as does the chromatic number. | Хроматический многочлен содержит по меньшей мере столько же информации о раскрашиваемости G {\displaystyle G}, сколько и хроматическое число. |
| An overlaid trend line (a second order polynomial for those who are interested) shows the pattern: an imminent, rapid drop in the world's net oil exports. | Экстраполяция тенденции данной кривой (многочлен второй степени, если кому интересно) показывает эту формулу: предстоящий, резкий спад в чистом мировом экспорте нефти. |
| Toeplitz matrices are also closely connected with Fourier series, because the multiplication operator by a trigonometric polynomial, compressed to a finite-dimensional space, can be represented by such a matrix. | Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье, потому что оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей. |
| Additionally L must satisfy Kauffman's skein relation: The pictures represent the L polynomial of the diagrams which differ inside a disc as shown but are identical outside. | Кроме того, L {\displaystyle L} должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана: Рисунки представляют многочлен L {\displaystyle L} диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне. |
| We pick an irreducible polynomial f with integer coefficients, and an integer m such that f(m)=0 (mod n) (we will explain how they are chosen in the next section). | Возьмём неприводимый многочлен f и целое число m, такое что f(m)=0 (mod n) (принципы их выбора будут объяснены в следующем разделе). |
| Specifically, if a cubic polynomial is irreducible over the rational numbers and has three real roots, then in order to express the roots with radicals, one must introduce complex-valued expressions, even though the resulting expressions are ultimately real-valued. | А именно, если кубический многочлен является неприводимым над рациональными числами и имеет три вещественных корня, то для выражения корней через радикалы нужно вводить комплексно-значные выражения, даже если результирующие значения выражений вещественны. |
| As in the earlier use of this technique for the projection of hydro production, the closeness of the fit (again a second order polynomial giving an R-squared value of.) gives a high degree of confidence in the projection. | Как и в прошлый раз, когда этот подход был применен для гидроэнергии, сходство показателей (снова многочлен второй степени, вес R² которого равная 0.994) позволяет рассматривать этот расчет как весьма достоверный. |
| If the knot complement fibers over the circle, then the Alexander polynomial of the knot is known to be monic (the coefficients of the highest and lowest order terms are equal to ± 1 {\displaystyle \pm 1}). | Еслидополнение узла расслоить над окружностью, то многочлен Александера узла монарен (коэффициенты при старшем и младшем членах равны ± 1 {\displaystyle \pm 1}). |
| Michael Freedman proved that a knot in the 3-sphere is topologically slice; i.e., bounds a "locally-flat" topological disc in the 4-ball, if the Alexander polynomial of the knot is trivial (Freedman and Quinn, 1990). | Михаэль Фридман доказал, что узел на З-сфере является топологически срезанным, то есть границами «локально плоского» топологического диска на 4-мерном шаре, если многочлен Александера узла тривиален. |
| The last invariant factor is the minimal polynomial, and the product of invariant factors is the characteristic polynomial. | Последний инвариантный фактор - минимальный многочлен, а произведение всех инвариантных факторов - характеристический многочлен. |
| The first knot polynomial, the Alexander polynomial, was introduced by James Waddell Alexander II in 1923, but other knot polynomials were not found until almost 60 years later. | Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя. |
| At x = 0 {\displaystyle x=0}, the Tutte polynomial specialises to the flow polynomial studied in combinatorics. | При х = 0 {\displaystyle x=0} многочлен Тата превращается в потоковый многочлен, изучаемый в комбинаторике. |