| James Waddell Alexander II discovered this, the first knot polynomial, in 1923. | Джеймс Александер обнаружил его, первый многочлен узла, в 1923. |
| The algorithm will also find the minimal polynomial of a linearly recurrent sequence in an arbitrary field. | Также алгоритм позволяет найти минимальный многочлен поданной на вход линейной рекуррентной последовательности над произвольным полем. |
| More complex models will be better able to adapt their shape to fit the data (for example, a fifth-order polynomial can exactly fit six points), but the additional parameters may not represent anything useful. | Более сложные модели способны лучше адаптироваться к данным (например, многочлен пятой степени может в точности представлять шесть точек), однако дополнительные параметры могут не представлять ничего полезного (возможно, эти шесть точек на самом деле случайным образом распределены вдоль прямой). |
| If we wanted a better approximation to f, we might instead try a quadratic polynomial instead of a linear function. | Если мы ищем лучшее приближение f, мы можем использовать многочлен второй степени вместо линейной функции. |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| A closely related but stronger property, polynomial expansion, is equivalent to the existence of separator theorems for these families. | Близкое, но более сильное свойство, полиномиальное расширение, эквивалентно существованию теорем разбиения для этих семейств. |
| Because of the connection between separators and expansion, every minor-closed graph family, including the family of planar graphs, has polynomial expansion. | Поскольку существует связь между сепараторами и расширением, любое замкнутое по минорам семейство графов, включая семейство планарных графов, имеет полиномиальное расширение. |
| It follows that the biclique-free string graphs, string graphs containing no Kt, t subgraph for some constant t, have O(n) edges and more strongly have polynomial expansion. | Отсюда следует, что струнные графы без клик, струнные графы, не содержащие подграфов Kt, t ни для какой постоянной t, имеют O(n) рёбер и имеют полиномиальное расширение. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| A stronger notion is polynomial expansion, meaning that the function f used to bound the edge density of shallow minors is a polynomial. | Более строгое понятие - полиномиальное расширение, означающее, что функция f, используемая для ограничения плотности рёбер миноров ограниченной глубины, полиномиальна. |
| Using the directed medial graph, one can effectively generalize the result on evaluations of the Tutte polynomial at (3,3). | Используя ориентированный срединный граф можно эффективно обобщить результат вычисления многочлена Татта в точке (З, З). |
| In algebraic geometry, the trefoil can also be obtained as the intersection in C2 of the unit 3-sphere S3 with the complex plane curve of zeroes of the complex polynomial z2 + w3 (a cuspidal cubic). | В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C2 единичной 3-сферы S3 с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z2 + w3 (полукубическая парабола). |
| The problem of computing the number of 3-colorings of a given graph is a canonical example of a #P-complete problem, so the problem of computing the coefficients of the chromatic polynomial is #P-hard. | Задача вычисления числа З-раскрасок данного графа является каноническим примером Р-полной задачи, так что задача вычисления коэффициентов хроматического многочлена Р-трудна. |
| Many other combinations of constraints are possible for these and for higher order polynomial equations. | Возможны другие комбинации ограничений для этих и более высоких степеней многочлена. |
| The infinity norm of a polynomial is simply the largest coefficient of the polynomial when these coefficients are viewed as integers. | Понятие бесконечной нормы полинома вводится просто как наибольший коэффициент многочлена, когда эти коэффициенты рассматриваются как целые числа. |
| The analysis can be improved to within a polynomial factor of the number t (G) {\displaystyle t(G)} of spanning trees of the input graph. | Анализ времени работы можно улучшить до полиномиального множителя числа t (G) {\displaystyle t(G)} остовных деревьев входного графа. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| As Kowalik (2009) showed, it is possible to test whether a graph has a 3-edge-coloring in time O(1.344n), while using only polynomial space. | В 2009 году показано, что проверить, существует ли рёберная раскраска графа тремя цветами, можно за время O (1.344 n) {\displaystyle O(1.344^{n})} при использовании лишь полиномиального пространства. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The double-exponential dependence on k cannot be reduced to single exponential by a kernelization of polynomial size, unless the polynomial hierarchy collapses, and if the exponential time hypothesis is true then double-exponential dependence is necessary regardless of whether kernelization is used. | Двойная экспоненциальная зависимость от к не может быть сведена к простой экспоненциональной зависимости посредством выделения ядра полиномиального размера, пока полиномиальная иерархия не исчезнет, и если гипотеза об экспоненциальном времени верна, двойной экспонециальной зависимости не избежать, будем мы использовать выделение ядра или нет. |
| The SWIFFT functions can be described as a simple algebraic expression over some polynomial ring R {\displaystyle R}. | Функции SWIFFT могут быть описаны как простое алгебраическое выражение над некоторым кольцом многочленов R {\displaystyle R}. |
| This is equivalent to the statement that the polynomial ring is a free module over the ring of radical polynomials. | Это эквивалентно тому, что кольцо многочленов является свободным модулем над кольцом радикальных многочленов. |
| In SEM computational error decreases exponentially as the order of approximating polynomial, therefore a fast convergence of solution to the exact solution is realized with fewer degrees of freedom of the structure in comparison with FEM. | В МСЭ вычислительная ошибка уменьшается экспоненциально по мере роста порядка аппроксимирующих многочленов, потому быстрой сходимости решения к точному решению удаётся получить с меньшей степенью свободы структуры по сравнению с методом конечных элементов (МКЭ). |
| A major result in Noether's 1921 paper is the Lasker-Noether theorem, which extends Lasker's theorem on the primary decomposition of ideals of polynomial rings to all Noetherian rings. | Главным результатом в статье Нётер 1921 года является теорема Ласкера - Нётер, которая обобщает теорему Ласкера о примарном разложении идеалов в кольцах многочленов. |
| If one restricts to polynomial functions, the above algebra is isomorphic to the Weyl algebra An, and the two offer alternative realizations of the Weyl map of the space of polynomials in n variables (or the symmetric algebra of a vector space of dimension 2n). | Если ограничить рассмотрение полиномиальными функциями, то выше приведёная алгебра изоморфна алгебре Вейля An, и возможна альтернативная реализация карты Вейля пространства многочленов от n переменных (или симметрическая алгебра векторного пространства размерности 2n). |
| In practice, eigenvalues of large matrices are not computed using the characteristic polynomial. | На практике собственные числа больших матриц не вычисляются с использованием характеристического полинома. |
| However, the exponent of the polynomial depends on the clique-width of the graph, so this algorithms is not fixed-parameter tractable. | Однако степень полинома зависит от кликовой ширины графа, так что эти алгоритмы не являются фиксированно-параметрически разрешимыми. |
| The complexity of Khovanov homology at least as high as the #P-hard problem of computing the Jones polynomial, but it may be calculated in practice using an algorithm and program of Bar-Natan (2007). | Сложность гомологии Хованова по меньшей мере такая же как у Р-трудной задачи вычисления полинома Джонса, но он может быть вычислен с помощью алгоритма и программы Бар-Натана. |
| Although it is not an invariant of knots or links (as it is not invariant under type I Reidemeister moves), a suitably "normalized" version yields the famous knot invariant called the Jones polynomial. | Хотя он и не является инвариантом узла или зацепления (без оснащения он не является инвариантным относительно движения Рейдемейстера I типа), подходящая «нормализация» позволяет превратить его в вариант знаменитого инварианта - полинома Джонса. |
| The infinity norm of a polynomial is simply the largest coefficient of the polynomial when these coefficients are viewed as integers. | Понятие бесконечной нормы полинома вводится просто как наибольший коэффициент многочлена, когда эти коэффициенты рассматриваются как целые числа. |
| You approximate the time curvature using a seventh order polynomial. | Вы рассчитываете временное искривление, используя полином седьмой степени. |
| For others, such as the HOMFLYPT polynomial, more complicated algorithms are necessary. | Для других, таких как полином HOMFLY, требуются более сложные алгоритмы. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| Is there a nontrivial knot with Jones polynomial equal to that of the unknot? | Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла? |
| Since the Hermite interpolation polynomial coincides with the given function value and the derivative of the point, following conditions result: | Поскольку интерполяционный полином Эрмита совпадает в узлах со значением заданной функции и значением производной, то получаем следующие условия: |
| There are multiple equivalent definitions of the classes of the polynomial hierarchy. | Существует множество эквивалентных определений классов полиномиальной иерархии. |
| The union of all classes in the polynomial hierarchy is the complexity class PH. | Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом РН. |
| It is possible to find a representation of any Apollonian network as convex 3d polyhedron in which all of the coordinates are integers of polynomial size, better than what is known for other planar graphs. | Можно найти представление любого графа Аполлония как выпуклого З-мерного многогранника, в котором все координаты являются целыми числами полиномиальной величины, что лучше, чем для других планарных графов. |
| Based on this evaluation, the calculation of the Hosoya index is fixed-parameter tractable for graphs of bounded treewidth and polynomial (with an exponent that depends linearly on the width) for graphs of bounded clique-width. | Основываясь на этом вычислении индекса Хосойи, задача является фиксированно-параметрически разрешимой для графов ограниченной древесной ширины и полиномиальной (с экспонентой, зависящей линейно от ширины) для графов ограниченной кликовой ширины. |
| The proposed method for sub-pixel edge detection of object in images, based on low-pass filtration, using polynomial interpolation, that helps to get coordinates of edge point with sub-pixel accuracy is suggested. | Предложен метод нахождения края изображения объекта на основе низкочастотной фильтрации путем использования полиномиальной интерполяции, позволяющей получить координаты краевой точки с субпиксельной точностью. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |