| George David Birkhoff introduced the chromatic polynomial in 1912, defining it only for planar graphs, in an attempt to prove the four color theorem. | Джордж Дейвид Биркгоф ввёл хроматический многочлен в 1912, определяя его только для планарных графов в попытке доказать теорему о четырёх красках. |
| Continuing the previous example, if the field is enlarged to the complex numbers, then the polynomial gains two roots, +i and -i, where i is the imaginary unit, that is, i 2 = -1. | Продолжая предыдущий пример, если поле будет расширено до комплексных чисел, то многочлен приобретёт два корня, i и -i, где i - мнимая единица, то есть, i 2 = -1. |
| The first knot polynomial, the Alexander polynomial, was introduced by James Waddell Alexander II in 1923, but other knot polynomials were not found until almost 60 years later. | Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя. |
| Kauffman polynomial is a 2-variable knot polynomial due to Louis Kauffman. | Многочлен Кауфмана - многочлен узла от двух переменных, предложенный Луисом Кауфманом. |
| Hilbert polynomial and Hilbert series are important in computational algebraic geometry, as they are the easiest known way for computing the dimension and the degree of an algebraic variety defined by explicit polynomial equations. | Многочлен Гильберта и ряд Гильберта играют важную роль в вычислительной алгебраической геометрии, так как они предоставляют простейший известный способ вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, заданного явными полиномиальными уравнениями. |
| A closely related but stronger property, polynomial expansion, is equivalent to the existence of separator theorems for these families. | Близкое, но более сильное свойство, полиномиальное расширение, эквивалентно существованию теорем разбиения для этих семейств. |
| Chandran, Francis & Sivadasan (2010) observe that this follows from the fact that these graphs have a polynomial number of maximal cliques. | Чандран, Фрэнсис и Сивадасан (Chandran, Francis, Sivadasan (2010)) заметили, что это следует из факта, что эти графы имеют полиномиальное число максимальных клик. |
| L-reductions in studies of approximability of optimization problems play a similar role to that of polynomial reductions in the studies of computational complexity of decision problems. | L-приведение в изучении возможности аппроксимации задач оптимизации играет похожую роль, какую играет полиномиальное приведение при изучении вычислительной сложности задач разрешимости. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| A stronger notion is polynomial expansion, meaning that the function f used to bound the edge density of shallow minors is a polynomial. | Более строгое понятие - полиномиальное расширение, означающее, что функция f, используемая для ограничения плотности рёбер миноров ограниченной глубины, полиномиальна. |
| In mathematics, the height and length of a polynomial P with complex coefficients are measures of its "size". | Высота и длина многочлена Р с комплексными коэффициентами являются мерами его «размера». |
| A skein relation gives a linear relation between the values of a knot polynomial on a collection of three links which differ from each other only in a small region. | Неформально говоря, скейн-соотношение задаёт линейную связь значений многочлена узла на трёх зацеплениях, которые отличаются друг от друга лишь в малой области. |
| Camille Jordan named abelian groups after Norwegian mathematician Niels Henrik Abel, because Abel found that the commutativity of the group of a polynomial implies that the roots of the polynomial can be calculated by using radicals. | Коммутативные группы абелевыми впервые назвал Жордан в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, поскольку Абель доказал, что корни многочлена выражаются в радикалах в случае, когда группа многочлена является коммутативной. |
| Kähler differentials formalize the observation that the derivatives of polynomials are again polynomial. | Кэлеровы дифференциалы формализуют то наблюдение, что производная многочлена снова является многочленом. |
| The standard separation of variables theorem states that every multivariate polynomial over a field can be decomposed as a finite sum of products of a radical polynomial and a harmonic polynomial. | Согласно стандартной теореме о разделении переменных любой многочлен от многих переменных над полем может быть разложен в конечную сумму произведений радикального многочлена и гармонического многочлена. |
| For example, a projection is a square matrix P satisfying P2 = P. The roots of the corresponding scalar polynomial equation, λ2 = λ, are 0 and 1. | Например, проектор - это квадратная матрица Р, удовлетворяющая уравнению P2 = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ2 = λ будут 0 и 1. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| As Kowalik (2009) showed, it is possible to test whether a graph has a 3-edge-coloring in time O(1.344n), while using only polynomial space. | В 2009 году показано, что проверить, существует ли рёберная раскраска графа тремя цветами, можно за время O (1.344 n) {\displaystyle O(1.344^{n})} при использовании лишь полиномиального пространства. |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| The double-exponential dependence on k cannot be reduced to single exponential by a kernelization of polynomial size, unless the polynomial hierarchy collapses, and if the exponential time hypothesis is true then double-exponential dependence is necessary regardless of whether kernelization is used. | Двойная экспоненциальная зависимость от к не может быть сведена к простой экспоненциональной зависимости посредством выделения ядра полиномиального размера, пока полиномиальная иерархия не исчезнет, и если гипотеза об экспоненциальном времени верна, двойной экспонециальной зависимости не избежать, будем мы использовать выделение ядра или нет. |
| The SWIFFT functions can be described as a simple algebraic expression over some polynomial ring R {\displaystyle R}. | Функции SWIFFT могут быть описаны как простое алгебраическое выражение над некоторым кольцом многочленов R {\displaystyle R}. |
| It can however be shown that polynomial multiplication is a convolution. | Однако, можно показать, что перемножение многочленов является свёрткой. |
| Note that it is only "possible" that high order polynomials will be lumpy; they could also be smooth, but there is no guarantee of this, unlike with low order polynomial curves. | Заметим, что многочлены высокой степени не обязательно «волнистые», они также могут быть и «гладкими», но нет никаких гарантий «гладкости», в отличие от многочленов малого порядка. |
| A major result in Noether's 1921 paper is the Lasker-Noether theorem, which extends Lasker's theorem on the primary decomposition of ideals of polynomial rings to all Noetherian rings. | Главным результатом в статье Нётер 1921 года является теорема Ласкера - Нётер, которая обобщает теорему Ласкера о примарном разложении идеалов в кольцах многочленов. |
| A basic fact on symmetric polynomials is that any symmetric polynomial in, say, ti's is a polynomial in elementary symmetric polynomials in ti's. | Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, ti является многочленом от элементарных симметричных многочленов от ti. |
| This construction of the Jones polynomial for tangles is a simple generalization of the Kauffman bracket of a link. | Конструкция полинома Джонса для тенгла является простым обобщением скобки Кауффмана для зацеплений. |
| For example, the Clebsch cubic (see the illustration) is defined using a certain polynomial of degree three in four variables. | К примеру, кубика Клебша (см. рисунок) определяется при помощи некоторого полинома степени три от четырёх переменных. |
| It is also efficient for any integers which can be represented as a polynomial with small coefficients. | Он также эффективен для чисел, представимых в виде полинома с небольшими коэффициентами. |
| 4.4. Using the coefficients of the polynomial derived from paragraph 3.2. above, a table of indicated reading against true concentration shall be drawn up in steps of no greater than 1 per cent of full scale. | 4.4 При помощи коэффициентов полинома, указанных в пункте 3.2 выше, составляют таблицу истинных значений концентрации по отношению к указанным значениям с интервалами, равными не более 1% полной шкалы. |
| We will express the value of z {\displaystyle z} as a polynomial of the plaintext x {\displaystyle x}, and as a polynomial of the ciphertext c {\displaystyle c}. | Мы выразим значение z {\displaystyle z} в виде полинома открытого текста x {\displaystyle x}, и как многочлен зашифрованного текста c {\displaystyle c}. |
| Many important invariants can be defined in this way, including the Jones polynomial. | Множество важных инвариантов можно определить таким образом, включая полином Джонса. |
| Alexander proved the Alexander polynomial satisfies a skein relation. | Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. |
| Subtracting one side from the other, factoring, and disregarding trivial factors will then yield the minimal polynomial of certain Salem numbers. | Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и пренебрегая тривиальными множителями, мы получим минимальный полином для некоторых чисел Салема. |
| Iterative numerical algorithms for approximating roots of polynomials exist, such as Newton's method, but in general it is impractical to compute the characteristic polynomial and then apply these methods. | Существуют итеративные численные алгоритмы аппроксимации корней полинома, например, метод Ньютона, но в общем случае непрактично вычислять характеристический полином и применять к ним эти методы. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| Fomin, Grandoni & Kratsch (2009) show how to find a minimum dominating set in time O(1.5137n) and exponential space, and in time O(1.5264n) and polynomial space. | Фомин, Грандони и Кратч показали, как найти минимальное доминирующее множество за время O(1.5137n), при использовании экспоненциальной памяти, и за время O(1.5264n), при использовании полиномиальной памяти. |
| Based on this evaluation, the calculation of the Hosoya index is fixed-parameter tractable for graphs of bounded treewidth and polynomial (with an exponent that depends linearly on the width) for graphs of bounded clique-width. | Основываясь на этом вычислении индекса Хосойи, задача является фиксированно-параметрически разрешимой для графов ограниченной древесной ширины и полиномиальной (с экспонентой, зависящей линейно от ширины) для графов ограниченной кликовой ширины. |
| Alternatively, with polynomial dependence on the graph size, the dependence on k {\displaystyle k} can be made as small as 2.3146 k {\displaystyle 2.3146^{k}}. | Альтернативно, с полиномиальной зависимостью от размера, зависимость от к {\displaystyle k} может быть сведена к 2,314 6 k {\displaystyle 2{,}3146^{k}}. |
| Conversely, there are algorithms which run in a number of Turing machine steps bounded by a polynomial in the length of binary-encoded input, but do not take a number of arithmetic operations bounded by a polynomial in the number of input numbers. | Обратно - существуют алгоритмы, которые работают за число шагов машины Тьюринга, ограниченных полиномиальной длиной бинарно закодированного входа, но не работают за число арифметических операций, ограниченное многочленом от количества чисел на входе. |
| They are often used as nodes in polynomial interpolation because the resulting interpolation polynomial minimizes the effect of Runge's phenomenon. | Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Group theory, developed in the early 1800s for the sole purpose of solving polynomial equations, became a fruitful way of categorizing elementary particles-the building blocks of matter. | Например, теория групп, разработанная в начале 1800-х годов, единственной целью которой являлась возможность решения полиномиальных уравнений, оказалась наиболее подходящим способом для категоризации элементарных частиц - строительных блоков материи. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |