| Nonetheless, the Alexander polynomial can fail to detect some symmetries, such as strong invertibility. | Однако многочлен Александера может не заметить некоторые симметрии, такие как сильная обратимость. |
| The chromatic polynomial is categorified by a homology theory closely related to Khovanov homology. | Хроматический многочлен категоризирован с помощью теории гомологий, близко связанной с гомологией Хованова. |
| In the table, poly(x) = xO(1), i.e., polynomial in x. | В таблице poly(x) = xO(1), т.е. многочлен от x. |
| Toeplitz matrices are also closely connected with Fourier series, because the multiplication operator by a trigonometric polynomial, compressed to a finite-dimensional space, can be represented by such a matrix. | Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье, потому что оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей. |
| Additionally L must satisfy Kauffman's skein relation: The pictures represent the L polynomial of the diagrams which differ inside a disc as shown but are identical outside. | Кроме того, L {\displaystyle L} должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана: Рисунки представляют многочлен L {\displaystyle L} диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне. |
| Chandran, Francis & Sivadasan (2010) observe that this follows from the fact that these graphs have a polynomial number of maximal cliques. | Чандран, Фрэнсис и Сивадасан (Chandran, Francis, Sivadasan (2010)) заметили, что это следует из факта, что эти графы имеют полиномиальное число максимальных клик. |
| Because of the connection between separators and expansion, every minor-closed graph family, including the family of planar graphs, has polynomial expansion. | Поскольку существует связь между сепараторами и расширением, любое замкнутое по минорам семейство графов, включая семейство планарных графов, имеет полиномиальное расширение. |
| L-reductions in studies of approximability of optimization problems play a similar role to that of polynomial reductions in the studies of computational complexity of decision problems. | L-приведение в изучении возможности аппроксимации задач оптимизации играет похожую роль, какую играет полиномиальное приведение при изучении вычислительной сложности задач разрешимости. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| If this function exists and is bounded by a polynomial, the graph family is said to have polynomial expansion. | Если такая функция существует и ограничена многочленом, говорят, что семейство имеет полиномиальное расширение. |
| It follows from the Leibniz rule that in this situation, mr is also the number of differentiations that must be performed on f(x) before r is not a root of the resulting polynomial. | Из правила произведения следует, что мг также является количеством применений операции дифференцирования, которые можно провести над f(x) до тех пор, пока r не перестанет быть корнем оставшегося многочлена. |
| Kähler differentials formalize the observation that the derivatives of polynomials are again polynomial. | Кэлеровы дифференциалы формализуют то наблюдение, что производная многочлена снова является многочленом. |
| Conversely, the QR algorithm can be used to compute the roots of any given characteristic polynomial by finding the Schur decomposition of its companion matrix. | И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. |
| Introducing a second order polynomial to compensate this error enables an easy handling in the gtr without the need of additional software and without a significant loss of accuracy. | Ввод квадратного многочлена для компенсации этой погрешности позволяет легко применять ГТП на практике без дополнительного программного обеспечения и без ощутимых потерь в точности. |
| Tutte called this function the dichromate, as he saw it as a generalization of the chromatic polynomial to two variables, but it is usually referred to as the Tutte polynomial. | Тат назвал эту функцию дихроматической и показал, что она является обобщением хроматического многочлена на две переменные, но этот многочлен обычно упоминается как многочлен Тата. |
| The term sub-exponential time is used to express that the running time of some algorithm may grow faster than any polynomial but is still significantly smaller than an exponential. | Термин субэкспоненциальное время используется, чтобы выразить, что время выполнения некоторого алгоритма может расти быстрее любого полиномиального, но остаётся существенно меньше, чем экспоненциальное. |
| The analysis can be improved to within a polynomial factor of the number t (G) {\displaystyle t(G)} of spanning trees of the input graph. | Анализ времени работы можно улучшить до полиномиального множителя числа t (G) {\displaystyle t(G)} остовных деревьев входного графа. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| As Kowalik (2009) showed, it is possible to test whether a graph has a 3-edge-coloring in time O(1.344n), while using only polynomial space. | В 2009 году показано, что проверить, существует ли рёберная раскраска графа тремя цветами, можно за время O (1.344 n) {\displaystyle O(1.344^{n})} при использовании лишь полиномиального пространства. |
| The double-exponential dependence on k cannot be reduced to single exponential by a kernelization of polynomial size, unless the polynomial hierarchy collapses, and if the exponential time hypothesis is true then double-exponential dependence is necessary regardless of whether kernelization is used. | Двойная экспоненциальная зависимость от к не может быть сведена к простой экспоненциональной зависимости посредством выделения ядра полиномиального размера, пока полиномиальная иерархия не исчезнет, и если гипотеза об экспоненциальном времени верна, двойной экспонециальной зависимости не избежать, будем мы использовать выделение ядра или нет. |
| A small sample of that theory can be found in the article on polynomial sequences of binomial type. | Небольшой пример этой теории можно найти в статье о последовательности многочленов биномиального типа. |
| It can however be shown that polynomial multiplication is a convolution. | Однако, можно показать, что перемножение многочленов является свёрткой. |
| Note that it is only "possible" that high order polynomials will be lumpy; they could also be smooth, but there is no guarantee of this, unlike with low order polynomial curves. | Заметим, что многочлены высокой степени не обязательно «волнистые», они также могут быть и «гладкими», но нет никаких гарантий «гладкости», в отличие от многочленов малого порядка. |
| This led to the discovery of more knot polynomials, such as the so-called HOMFLY polynomial. | Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY. |
| The Hilbert polynomial of a projective variety V in Pn is defined as the Hilbert polynomial of the homogeneous coordinate ring of V. Polynomial rings and their quotients by homogeneous ideals are typical graded algebras. | Многочлен Гильберта проективного многообразия V в Pn определяется как многочлен Гильберта однородного координатного кольца V. Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам - это типичные градуированные алгебры. |
| In practice, eigenvalues of large matrices are not computed using the characteristic polynomial. | На практике собственные числа больших матриц не вычисляются с использованием характеристического полинома. |
| The previous example involved an indicial polynomial with a repeated root, which gives only one solution to the given differential equation. | В предыдущем примере, у определяющего полинома был краный корень, который дает только одно решение данного дифференциального уравнения. |
| The complexity of Khovanov homology at least as high as the #P-hard problem of computing the Jones polynomial, but it may be calculated in practice using an algorithm and program of Bar-Natan (2007). | Сложность гомологии Хованова по меньшей мере такая же как у Р-трудной задачи вычисления полинома Джонса, но он может быть вычислен с помощью алгоритма и программы Бар-Натана. |
| 4.4. Using the coefficients of the polynomial derived from paragraph 3.2. above, a table of indicated reading against true concentration shall be drawn up in steps of no greater than 1 per cent of full scale. | 4.4 При помощи коэффициентов полинома, указанных в пункте 3.2 выше, составляют таблицу истинных значений концентрации по отношению к указанным значениям с интервалами, равными не более 1% полной шкалы. |
| Iterative numerical algorithms for approximating roots of polynomials exist, such as Newton's method, but in general it is impractical to compute the characteristic polynomial and then apply these methods. | Существуют итеративные численные алгоритмы аппроксимации корней полинома, например, метод Ньютона, но в общем случае непрактично вычислять характеристический полином и применять к ним эти методы. |
| Alexander proved the Alexander polynomial satisfies a skein relation. | Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| Since the Hermite interpolation polynomial coincides with the given function value and the derivative of the point, following conditions result: | Поскольку интерполяционный полином Эрмита совпадает в узлах со значением заданной функции и значением производной, то получаем следующие условия: |
| The general definition of the indicial polynomial is the coefficient of the lowest power of z in the infinite series. | В общем, определяющий полином является самым малым показателем степени для z в бесконечном ряду. |
| What a CRC does is convert the message to a polynomial where the value of the coefficients correspond to the bits in the message and then divide that polynomial by a predetermined, or standard, polynomial called a key. | CRC преобразует послание в полином, где значение коэффициентов соответствует битам в послании, после чего этот полином делится на предопределенный или стандартный полином, называемый ключом. |
| The union of all classes in the polynomial hierarchy is the complexity class PH. | Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом РН. |
| Based on this evaluation, the calculation of the Hosoya index is fixed-parameter tractable for graphs of bounded treewidth and polynomial (with an exponent that depends linearly on the width) for graphs of bounded clique-width. | Основываясь на этом вычислении индекса Хосойи, задача является фиксированно-параметрически разрешимой для графов ограниченной древесной ширины и полиномиальной (с экспонентой, зависящей линейно от ширины) для графов ограниченной кликовой ширины. |
| If the resulting polynomial degree is greater than 3, the number of calibration points shall be at least equal to this polynomial degree plus 2. | Если полученная в результате полиномиальная степень больше трех, то количество калибровочных точек должно по крайней мере равняться этой полиномиальной степени плюс 2. |
| To define this more precisely, the maximum number of inflection points possible in a polynomial curve is n-2, where n is the order of the polynomial equation. | Говоря точнее, максимальное число точек перегиба полиномиальной кривой равно n-2, где n - порядок многочлена. |
| They are often used as nodes in polynomial interpolation because the resulting interpolation polynomial minimizes the effect of Runge's phenomenon. | Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |