| However, the Kauffman polynomial can be used to distinguish between these two knots. | Однако многочлен Кауфмана может быть использован для различения этих двух узлов. |
| George David Birkhoff introduced the chromatic polynomial in 1912, defining it only for planar graphs, in an attempt to prove the four color theorem. | Джордж Дейвид Биркгоф ввёл хроматический многочлен в 1912, определяя его только для планарных графов в попытке доказать теорему о четырёх красках. |
| At various points and lines of the (x, y) {\displaystyle (x, y)} -plane, the Tutte polynomial evaluates to quantities that have been studied in their own right in diverse fields of mathematics and physics. | В различных точках и прямых плоскости (х, у) {\displaystyle (x, y)} многочлен Тата даёт значения, которые изучаются сами по себе в различных областях математики и физики. |
| Notice that Alexander polynomial and Conway polynomial can not recognize the difference of left-trefoil knot and right-trefoil knot. | Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники. |
| Tutte called this function the dichromate, as he saw it as a generalization of the chromatic polynomial to two variables, but it is usually referred to as the Tutte polynomial. | Тат назвал эту функцию дихроматической и показал, что она является обобщением хроматического многочлена на две переменные, но этот многочлен обычно упоминается как многочлен Тата. |
| A closely related but stronger property, polynomial expansion, is equivalent to the existence of separator theorems for these families. | Близкое, но более сильное свойство, полиномиальное расширение, эквивалентно существованию теорем разбиения для этих семейств. |
| If f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}}, it is said that L {\displaystyle L} admits a polynomial kernel. | Если f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}} говорят, что L {\displaystyle L} допускает полиномиальное ядро. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| If this function exists and is bounded by a polynomial, the graph family is said to have polynomial expansion. | Если такая функция существует и ограничена многочленом, говорят, что семейство имеет полиномиальное расширение. |
| However, a larger computer search showed that this equality fails to hold for n = 14235, when the height of the nth cyclotomic polynomial is 2, but maximum height of the factors is 3. | Однако более полный поиск показал, что равенство оказывается неверным для n = 14235, когда высота кругового многочлена n-й степени равна 2, а максимальная высота множителей xn - 1 равна 3. |
| There are several reasons given to get an approximate fit when it is possible to simply increase the degree of the polynomial equation and get an exact match.: Even if an exact match exists, it does not necessarily follow that it can be readily discovered. | Имеется несколько причин для получения приближённого решения, когда просто увеличение степени многочлена дало бы точное прохождение через точки: Даже если точное решение существует, из этого не следует, что его легко найти. |
| Camille Jordan named abelian groups after Norwegian mathematician Niels Henrik Abel, because Abel found that the commutativity of the group of a polynomial implies that the roots of the polynomial can be calculated by using radicals. | Коммутативные группы абелевыми впервые назвал Жордан в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля, поскольку Абель доказал, что корни многочлена выражаются в радикалах в случае, когда группа многочлена является коммутативной. |
| The Galois group of a polynomial is the set of all transformations of the splitting field which preserve the ground field and the roots of the polynomial. | Группа Галуа многочлена - это совокупность всех преобразований его поля разложения, сохраняющих основное поле. |
| For example, where B4 is the logistic map's fourth bifurcation point, the constant a=-B4(B4-2) is a root of a 120th-degree polynomial whose largest coefficient is 25730. | Например, если B4 является четвёртой точкой бифуркации логистического отображения, константа a=-B4(B4-2) является корнем многочлена 120-й степени с максимальным коэффициентом 25730. |
| In contrast, there exist graphs that have greedy embeddings in the Euclidean plane, but for which any such embedding requires a polynomial number of bits for the Cartesian coordinates of each point. | В качестве контраста существуют графы, допускающие жадное вложение в евклидову плоскость, но такое вложение требует полиномиального числа бит декартовых координат для каждой точки. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| Even more restrictive, and useful in practice, is the fully polynomial-time approximation scheme or FPTAS, which requires the algorithm to be polynomial in both the problem size n and 1/ε. | Дальнейшим ограничением более полезным на практике является приближенная схема полностью полиномиального времени или fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS), которая требует, чтобы время выполнения алгоритма полиномиально зависело и от размера задачи n, и от 1/ε. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| Therefore, the remainder of this article will be restricted to the quotients of polynomial rings by ideals. | Поэтому в последующих разделах этой статьи будут рассматриваться факторы колец многочленов по идеалам. |
| Before her paper, most results in commutative algebra were restricted to special examples of commutative rings, such as polynomial rings over fields or rings of algebraic integers. | Ранее, многие результаты коммутативной алгебры ограничивались частными примерами коммутативных колец, такими как кольца многочленов над полем или кольца целых алгебраических чисел. |
| Currently, umbral calculus refers to the study of Sheffer sequences, including polynomial sequences of binomial type and Appell sequences, but may encompass systematic correspondence techniques of the calculus of finite differences. | В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера, включая последовательности многочленов биномиального типа и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей. |
| A basic fact on symmetric polynomials is that any symmetric polynomial in, say, ti's is a polynomial in elementary symmetric polynomials in ti's. | Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, ti является многочленом от элементарных симметричных многочленов от ti. |
| Taylor's theorem is of asymptotic nature: it only tells us that the error Rk in an approximation by a k-th order Taylor polynomial Pk tends to zero faster than any nonzero k-th degree polynomial as x -> a. | Это следствие имеет асимптотическую природу: оно лишь говорит нам, что ошибка Rk приближения с помощью многочленов Тейлора k-го порядка Pk приближается к нулю быстрее, чем ненулевой многочлен k-го порядка по мере того как x -> a. |
| In other words, the nth moment is the nth complete Bell polynomial evaluated at the first n cumulants. | Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах. |
| For example, the Clebsch cubic (see the illustration) is defined using a certain polynomial of degree three in four variables. | К примеру, кубика Клебша (см. рисунок) определяется при помощи некоторого полинома степени три от четырёх переменных. |
| Assume that the time to construct the polynomial p (x) {\displaystyle p(x)} using p/ c {\displaystyle p/c} pairs are small, in comparison to the time to encrypt the required plaintexts. | Предположим, что время для построения полинома р (х) {\displaystyle p(x)} с помощью пар p/ c {\displaystyle p/c} мало, по сравнению с временем, которое необходимо для того, чтобы зашифровать открытые тексты. |
| The previous example involved an indicial polynomial with a repeated root, which gives only one solution to the given differential equation. | В предыдущем примере, у определяющего полинома был краный корень, который дает только одно решение данного дифференциального уравнения. |
| Now, for well-behaved functions, there's always an Nth-degree polynomial... take you to an error curve that oscillates back and forth between... positive epsilon and negative epsilon... the value of N+2 times brings you back | Для хороших функций существует полинома п-степени. Она относит вас к кривой ошибок, что колеблется туда и обратно между позитивным эпсилоном и негативным. |
| You approximate the time curvature using a seventh order polynomial. | Вы рассчитываете временное искривление, используя полином седьмой степени. |
| Alexander proved the Alexander polynomial satisfies a skein relation. | Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. |
| Subtracting one side from the other, factoring, and disregarding trivial factors will then yield the minimal polynomial of certain Salem numbers. | Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и пренебрегая тривиальными множителями, мы получим минимальный полином для некоторых чисел Салема. |
| This may be a simple quadratic, or a polynomial or rational function over a Galois field. | Это может быть простое квадратичная функция, полином или рациональная функция над полем Галуа. |
| Is there a nontrivial knot with Jones polynomial equal to that of the unknot? | Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла? |
| All linear programs can be expressed as SDPs, and via hierarchies of SDPs the solutions of polynomial optimization problems can be approximated. | Все задачи линейного программирования могут быть выражены как задачи SDP, а с помощью иерархий задач SDP могут быть аппроксимированы решения задач полиномиальной оптимизации. |
| It is possible to find a representation of any Apollonian network as convex 3d polyhedron in which all of the coordinates are integers of polynomial size, better than what is known for other planar graphs. | Можно найти представление любого графа Аполлония как выпуклого З-мерного многогранника, в котором все координаты являются целыми числами полиномиальной величины, что лучше, чем для других планарных графов. |
| If the resulting polynomial degree is greater than 3, the number of calibration points shall be at least equal to this polynomial degree plus 2. | Если полученная в результате полиномиальная степень больше трех, то количество калибровочных точек должно по крайней мере равняться этой полиномиальной степени плюс 2. |
| To define this more precisely, the maximum number of inflection points possible in a polynomial curve is n-2, where n is the order of the polynomial equation. | Говоря точнее, максимальное число точек перегиба полиномиальной кривой равно n-2, где n - порядок многочлена. |
| Conversely, there are algorithms which run in a number of Turing machine steps bounded by a polynomial in the length of binary-encoded input, but do not take a number of arithmetic operations bounded by a polynomial in the number of input numbers. | Обратно - существуют алгоритмы, которые работают за число шагов машины Тьюринга, ограниченных полиномиальной длиной бинарно закодированного входа, но не работают за число арифметических операций, ограниченное многочленом от количества чисел на входе. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Group theory, developed in the early 1800s for the sole purpose of solving polynomial equations, became a fruitful way of categorizing elementary particles-the building blocks of matter. | Например, теория групп, разработанная в начале 1800-х годов, единственной целью которой являлась возможность решения полиномиальных уравнений, оказалась наиболее подходящим способом для категоризации элементарных частиц - строительных блоков материи. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |