| If p is any polynomial and p(A) = 0, then the eigenvalues of A also satisfy the same equation. | Если р - любой многочлен и р(А) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. |
| In this context the chromatic polynomial counts the number of lattice points in the {\displaystyle} -cube that avoid the graphic arrangement. | В этом контексте хроматический многочлен подсчитывает точки решётки в {\displaystyle} -кубе, которые не попадают на графическую конфигурацию. |
| The last invariant factor is the minimal polynomial, and the product of invariant factors is the characteristic polynomial. | Последний инвариантный фактор - минимальный многочлен, а произведение всех инвариантных факторов - характеристический многочлен. |
| Note that this relation gives a Laurent polynomial in t1/2. | Заметим, что это даёт многочлен Лорана от t1/2. |
| An algorithm is said to be exponential time, if T(n) is upper bounded by 2poly(n), where poly(n) is some polynomial in n. | Говорят, что алгоритм работает за экспоненциальное время, если T(n) ограничено сверху значением 2poly(n), где poly(n) - некий многочлен от n. |
| If f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}}, it is said that L {\displaystyle L} admits a polynomial kernel. | Если f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}} говорят, что L {\displaystyle L} допускает полиномиальное ядро. |
| L-reductions in studies of approximability of optimization problems play a similar role to that of polynomial reductions in the studies of computational complexity of decision problems. | L-приведение в изучении возможности аппроксимации задач оптимизации играет похожую роль, какую играет полиномиальное приведение при изучении вычислительной сложности задач разрешимости. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| A stronger notion is polynomial expansion, meaning that the function f used to bound the edge density of shallow minors is a polynomial. | Более строгое понятие - полиномиальное расширение, означающее, что функция f, используемая для ограничения плотности рёбер миноров ограниченной глубины, полиномиальна. |
| John Conway later rediscovered this in a different form and showed that the skein relation together with a choice of value on the unknot was enough to determine the polynomial. | Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что скейн-соотношение вместе с выбором значения на тривиальном узле достаточно для определения многочлена. |
| They are obtained by adjoining a root of the polynomial x3 - 21x + 28 or x3 - 21x - 35, respectively. | Они получаются присоединением корня многочлена хЗ - 21x + 28 или x3 - 21x - 35 соответственно. |
| The algorithm proposed in 1965 by Cooley and Tukey to interpolate the coefficients of a polynomial from its evaluations in a quasi-linear number of multiplication was invented in 1805 by Gauss. | Алгоритм, предложенный в 1965 году Кули и Тьюки для интерполяции коэффициентов многочлена по его оценкам в квазилинейном числе умножения, был изобретен в 1805 году Гауссом. |
| In algebraic geometry, a plane affine algebraic curve defined over a field k is the set of points of K2 whose coordinates are zeros of some bivariate polynomial with coefficients in k, where K is some algebraically closed extension of k. | В алгебраической геометрии плоская аффинная алгебраическая кривая над полем к определяется как множество точек K2, являющихся корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в k, где K - алгебраическое замыкание поля k. |
| The Galois group of a polynomial is the set of all transformations of the splitting field which preserve the ground field and the roots of the polynomial. | Группа Галуа многочлена - это совокупность всех преобразований его поля разложения, сохраняющих основное поле. |
| The term sub-exponential time is used to express that the running time of some algorithm may grow faster than any polynomial but is still significantly smaller than an exponential. | Термин субэкспоненциальное время используется, чтобы выразить, что время выполнения некоторого алгоритма может расти быстрее любого полиномиального, но остаётся существенно меньше, чем экспоненциальное. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| For this reason, a convenient and symmetric reformulation of the Erdős-Hajnal conjecture is that for every graph H {\displaystyle H}, the H {\displaystyle H} -free graphs necessarily contain an induced perfect subgraph of polynomial size. | По этой причине удобной и симметричной формулировкой гипотезы - Хайналя служит утверждение, что для любого графа Н {\displaystyle H}, свободные от H {\displaystyle H} графы обазательно содержат порождённый совершенный подграф полиномиального размера. |
| Even more restrictive, and useful in practice, is the fully polynomial-time approximation scheme or FPTAS, which requires the algorithm to be polynomial in both the problem size n and 1/ε. | Дальнейшим ограничением более полезным на практике является приближенная схема полностью полиномиального времени или fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS), которая требует, чтобы время выполнения алгоритма полиномиально зависело и от размера задачи n, и от 1/ε. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| A small sample of that theory can be found in the article on polynomial sequences of binomial type. | Небольшой пример этой теории можно найти в статье о последовательности многочленов биномиального типа. |
| Currently, umbral calculus refers to the study of Sheffer sequences, including polynomial sequences of binomial type and Appell sequences, but may encompass systematic correspondence techniques of the calculus of finite differences. | В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера, включая последовательности многочленов биномиального типа и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей. |
| For some knot polynomials, such as the Conway, Alexander, and Jones polynomials, the relevant skein relations are sufficient to calculate the polynomial recursively. | Для некоторых многочленов, таких как полиномы Конвея, Александера и Джонса, подходящего скейн-соотношения достаточно, чтобы вычислить многочлен рекурсивно. |
| If one restricts to polynomial functions, the above algebra is isomorphic to the Weyl algebra An, and the two offer alternative realizations of the Weyl map of the space of polynomials in n variables (or the symmetric algebra of a vector space of dimension 2n). | Если ограничить рассмотрение полиномиальными функциями, то выше приведёная алгебра изоморфна алгебре Вейля An, и возможна альтернативная реализация карты Вейля пространства многочленов от n переменных (или симметрическая алгебра векторного пространства размерности 2n). |
| Taylor's theorem is of asymptotic nature: it only tells us that the error Rk in an approximation by a k-th order Taylor polynomial Pk tends to zero faster than any nonzero k-th degree polynomial as x -> a. | Это следствие имеет асимптотическую природу: оно лишь говорит нам, что ошибка Rk приближения с помощью многочленов Тейлора k-го порядка Pk приближается к нулю быстрее, чем ненулевой многочлен k-го порядка по мере того как x -> a. |
| For example, the Clebsch cubic (see the illustration) is defined using a certain polynomial of degree three in four variables. | К примеру, кубика Клебша (см. рисунок) определяется при помощи некоторого полинома степени три от четырёх переменных. |
| Given a (x) {\displaystyle a(x)} and t (x) {\displaystyle t(x)}, it should be computationally infeasible to recover the polynomial s (x) {\displaystyle s(x)}. | Данные а (х) {\displaystyle a(x)} и t (x) {\displaystyle t(x)} полиномы должны быть вычислительно неразрешимы для задачи восстановления полинома s (x) {\displaystyle s(x)}. |
| Now, for well-behaved functions, there's always an Nth-degree polynomial... take you to an error curve that oscillates back and forth between... positive epsilon and negative epsilon... the value of N+2 times brings you back | Для хороших функций существует полинома п-степени. Она относит вас к кривой ошибок, что колеблется туда и обратно между позитивным эпсилоном и негативным. |
| The infinity norm of a polynomial is simply the largest coefficient of the polynomial when these coefficients are viewed as integers. | Понятие бесконечной нормы полинома вводится просто как наибольший коэффициент многочлена, когда эти коэффициенты рассматриваются как целые числа. |
| We will express the value of z {\displaystyle z} as a polynomial of the plaintext x {\displaystyle x}, and as a polynomial of the ciphertext c {\displaystyle c}. | Мы выразим значение z {\displaystyle z} в виде полинома открытого текста x {\displaystyle x}, и как многочлен зашифрованного текста c {\displaystyle c}. |
| Many important invariants can be defined in this way, including the Jones polynomial. | Множество важных инвариантов можно определить таким образом, включая полином Джонса. |
| Alexander proved the Alexander polynomial satisfies a skein relation. | Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. |
| For others, such as the HOMFLYPT polynomial, more complicated algorithms are necessary. | Для других, таких как полином HOMFLY, требуются более сложные алгоритмы. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| What a CRC does is convert the message to a polynomial where the value of the coefficients correspond to the bits in the message and then divide that polynomial by a predetermined, or standard, polynomial called a key. | CRC преобразует послание в полином, где значение коэффициентов соответствует битам в послании, после чего этот полином делится на предопределенный или стандартный полином, называемый ключом. |
| The union of all classes in the polynomial hierarchy is the complexity class PH. | Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом РН. |
| All linear programs can be expressed as SDPs, and via hierarchies of SDPs the solutions of polynomial optimization problems can be approximated. | Все задачи линейного программирования могут быть выражены как задачи SDP, а с помощью иерархий задач SDP могут быть аппроксимированы решения задач полиномиальной оптимизации. |
| It is possible to find a representation of any Apollonian network as convex 3d polyhedron in which all of the coordinates are integers of polynomial size, better than what is known for other planar graphs. | Можно найти представление любого графа Аполлония как выпуклого З-мерного многогранника, в котором все координаты являются целыми числами полиномиальной величины, что лучше, чем для других планарных графов. |
| Based on this evaluation, the calculation of the Hosoya index is fixed-parameter tractable for graphs of bounded treewidth and polynomial (with an exponent that depends linearly on the width) for graphs of bounded clique-width. | Основываясь на этом вычислении индекса Хосойи, задача является фиксированно-параметрически разрешимой для графов ограниченной древесной ширины и полиномиальной (с экспонентой, зависящей линейно от ширины) для графов ограниченной кликовой ширины. |
| Conversely, there are algorithms which run in a number of Turing machine steps bounded by a polynomial in the length of binary-encoded input, but do not take a number of arithmetic operations bounded by a polynomial in the number of input numbers. | Обратно - существуют алгоритмы, которые работают за число шагов машины Тьюринга, ограниченных полиномиальной длиной бинарно закодированного входа, но не работают за число арифметических операций, ограниченное многочленом от количества чисел на входе. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |