| The algorithm will also find the minimal polynomial of a linearly recurrent sequence in an arbitrary field. | Также алгоритм позволяет найти минимальный многочлен поданной на вход линейной рекуррентной последовательности над произвольным полем. |
| This led to the discovery of more knot polynomials, such as the so-called HOMFLY polynomial. | Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY. |
| In this case the resulting polynomial may have degree N - 1, with N the number of data points.) | В этом случае многочлен будет иметь степень N - 1, где N - число известных значений.) |
| An overlaid trend line (a second order polynomial for those who are interested) shows the pattern: an imminent, rapid drop in the world's net oil exports. | Экстраполяция тенденции данной кривой (многочлен второй степени, если кому интересно) показывает эту формулу: предстоящий, резкий спад в чистом мировом экспорте нефти. |
| Toeplitz matrices are also closely connected with Fourier series, because the multiplication operator by a trigonometric polynomial, compressed to a finite-dimensional space, can be represented by such a matrix. | Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье, потому что оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей. |
| Chandran, Francis & Sivadasan (2010) observe that this follows from the fact that these graphs have a polynomial number of maximal cliques. | Чандран, Фрэнсис и Сивадасан (Chandran, Francis, Sivadasan (2010)) заметили, что это следует из факта, что эти графы имеют полиномиальное число максимальных клик. |
| Because of the connection between separators and expansion, every minor-closed graph family, including the family of planar graphs, has polynomial expansion. | Поскольку существует связь между сепараторами и расширением, любое замкнутое по минорам семейство графов, включая семейство планарных графов, имеет полиномиальное расширение. |
| It follows that the biclique-free string graphs, string graphs containing no Kt, t subgraph for some constant t, have O(n) edges and more strongly have polynomial expansion. | Отсюда следует, что струнные графы без клик, струнные графы, не содержащие подграфов Kt, t ни для какой постоянной t, имеют O(n) рёбер и имеют полиномиальное расширение. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| John Conway later rediscovered this in a different form and showed that the skein relation together with a choice of value on the unknot was enough to determine the polynomial. | Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что скейн-соотношение вместе с выбором значения на тривиальном узле достаточно для определения многочлена. |
| 3.4. Using the coefficients of the polynomial derived from paragraph 3.2. above, a table of analyzer readings against true concentrations shall be drawn by steps no greater than 1 per cent of full scale. | 3.4 С учетом коэффициентов многочлена, полученных в соответствии с пунктом 3.2 выше, составляется таблица показаний анализатора в зависимости от фактических значений концентрации по итерациям, размер которых не превышает 1% полной шкалы. |
| In algebraic geometry, the trefoil can also be obtained as the intersection in C2 of the unit 3-sphere S3 with the complex plane curve of zeroes of the complex polynomial z2 + w3 (a cuspidal cubic). | В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C2 единичной 3-сферы S3 с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z2 + w3 (полукубическая парабола). |
| Another example is that the maximum height (maximum absolute value of coefficients) of all the factors of xn - 1 appears to be the same as the height of the nth cyclotomic polynomial. | Другой пример - максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех множителей xn - 1 оказывается той же самой, что и высота кругового многочлена n-й степени. |
| A root (or zero) of a chromatic polynomial, called a "chromatic root", is a value x where P (G, x) = 0 {\displaystyle P(G, x)=0}. | Корень (или нуль) хроматического многочлена (называется «хроматическим корнем») - это значение х, для которого Р (G, x) = 0 {\displaystyle P(G, x)=0}. |
| In contrast, there exist graphs that have greedy embeddings in the Euclidean plane, but for which any such embedding requires a polynomial number of bits for the Cartesian coordinates of each point. | В качестве контраста существуют графы, допускающие жадное вложение в евклидову плоскость, но такое вложение требует полиномиального числа бит декартовых координат для каждой точки. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| As Kowalik (2009) showed, it is possible to test whether a graph has a 3-edge-coloring in time O(1.344n), while using only polynomial space. | В 2009 году показано, что проверить, существует ли рёберная раскраска графа тремя цветами, можно за время O (1.344 n) {\displaystyle O(1.344^{n})} при использовании лишь полиномиального пространства. |
| Even more restrictive, and useful in practice, is the fully polynomial-time approximation scheme or FPTAS, which requires the algorithm to be polynomial in both the problem size n and 1/ε. | Дальнейшим ограничением более полезным на практике является приближенная схема полностью полиномиального времени или fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS), которая требует, чтобы время выполнения алгоритма полиномиально зависело и от размера задачи n, и от 1/ε. |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| Weighted projective spaces can be constructed using a polynomial ring whose variables have non-standard degrees. | Взвешенные проективные пространства можно построить, используя кольца многочленов с нестандартными степенями переменных. |
| If S is generated by finitely many elements of degree 1 (e.g. a polynomial ring or a homogenous quotient of it), all quasicoherent sheaves on Proj S arise from graded modules by this construction. | Если S порождается конечным числом элементов степени 1 (то есть является кольцом многочленов или его фактором), все квазикогерентные пучки на Proj S получаются из градуированных модулей с помощью этой конструкции. |
| A general theory covering such relations, including the falling and rising factorial functions, is given by the theory of polynomial sequences of binomial type and Sheffer sequences. | Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории последовательностей многочленов биномиального типа и последовательностей Шеффера. |
| Currently, umbral calculus refers to the study of Sheffer sequences, including polynomial sequences of binomial type and Appell sequences, but may encompass systematic correspondence techniques of the calculus of finite differences. | В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера, включая последовательности многочленов биномиального типа и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей. |
| If k is a field and X1, X2, ..., Xd are indeterminates and R is the polynomial ring k, the Koszul complex K(Xi) on the Xi's forms a concrete free R-resolution of k. | Если к - это поле, X1, X2, ..., Xd - неизвестные и R - это кольцо многочленов k, комплекс Кошуля K(Xi) последовательности Xi является конкретным примером свободной резольвенты R-модуля k. |
| In practice, eigenvalues of large matrices are not computed using the characteristic polynomial. | На практике собственные числа больших матриц не вычисляются с использованием характеристического полинома. |
| This construction of the Jones polynomial for tangles is a simple generalization of the Kauffman bracket of a link. | Конструкция полинома Джонса для тенгла является простым обобщением скобки Кауффмана для зацеплений. |
| There are two common ways to do this: Using Uniform Sampling - The coefficients of the small polynomial are uniformly sampled from a set of small coefficients. | Есть два распространенных способа это осуществить: Используя дискретное равномерное распределение - коэффициенты малого полинома равномерно отбираются из множества малых коэффициентов. |
| However, the exponent of the polynomial depends on the clique-width of the graph, so this algorithms is not fixed-parameter tractable. | Однако степень полинома зависит от кликовой ширины графа, так что эти алгоритмы не являются фиксированно-параметрически разрешимыми. |
| We will express the value of z {\displaystyle z} as a polynomial of the plaintext x {\displaystyle x}, and as a polynomial of the ciphertext c {\displaystyle c}. | Мы выразим значение z {\displaystyle z} в виде полинома открытого текста x {\displaystyle x}, и как многочлен зашифрованного текста c {\displaystyle c}. |
| Many important invariants can be defined in this way, including the Jones polynomial. | Множество важных инвариантов можно определить таким образом, включая полином Джонса. |
| Alexander proved the Alexander polynomial satisfies a skein relation. | Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. |
| Subtracting one side from the other, factoring, and disregarding trivial factors will then yield the minimal polynomial of certain Salem numbers. | Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и пренебрегая тривиальными множителями, мы получим минимальный полином для некоторых чисел Салема. |
| Is there a nontrivial knot with Jones polynomial equal to that of the unknot? | Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла? |
| The general definition of the indicial polynomial is the coefficient of the lowest power of z in the infinite series. | В общем, определяющий полином является самым малым показателем степени для z в бесконечном ряду. |
| There are multiple equivalent definitions of the classes of the polynomial hierarchy. | Существует множество эквивалентных определений классов полиномиальной иерархии. |
| The union of all classes in the polynomial hierarchy is the complexity class PH. | Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом РН. |
| Based on this evaluation, the calculation of the Hosoya index is fixed-parameter tractable for graphs of bounded treewidth and polynomial (with an exponent that depends linearly on the width) for graphs of bounded clique-width. | Основываясь на этом вычислении индекса Хосойи, задача является фиксированно-параметрически разрешимой для графов ограниченной древесной ширины и полиномиальной (с экспонентой, зависящей линейно от ширины) для графов ограниченной кликовой ширины. |
| Alternatively, with polynomial dependence on the graph size, the dependence on k {\displaystyle k} can be made as small as 2.3146 k {\displaystyle 2.3146^{k}}. | Альтернативно, с полиномиальной зависимостью от размера, зависимость от к {\displaystyle k} может быть сведена к 2,314 6 k {\displaystyle 2{,}3146^{k}}. |
| They are often used as nodes in polynomial interpolation because the resulting interpolation polynomial minimizes the effect of Runge's phenomenon. | Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Group theory, developed in the early 1800s for the sole purpose of solving polynomial equations, became a fruitful way of categorizing elementary particles-the building blocks of matter. | Например, теория групп, разработанная в начале 1800-х годов, единственной целью которой являлась возможность решения полиномиальных уравнений, оказалась наиболее подходящим способом для категоризации элементарных частиц - строительных блоков материи. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |