| One can decide whether a given irreducible cubic polynomial is in casus irreducibilis using the discriminant D, via Cardano's formula. | Можно определить, попадает ли заданный кубический многочлен под случай casus irreducibilis, используя дискриминант D из формулы Кардано. |
| The chromatic polynomial of a graph, for example, counts the number of its proper vertex colorings. | Хроматический многочлен графа, например, подсчитывает число его правильных раскрасок вершин. |
| If p is any polynomial and p(A) = 0, then the eigenvalues of A also satisfy the same equation. | Если р - любой многочлен и р(А) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. |
| Continuing the previous example, if the field is enlarged to the complex numbers, then the polynomial gains two roots, +i and -i, where i is the imaginary unit, that is, i 2 = -1. | Продолжая предыдущий пример, если поле будет расширено до комплексных чисел, то многочлен приобретёт два корня, i и -i, где i - мнимая единица, то есть, i 2 = -1. |
| A polynomial in n variables X1, ..., Xn with coefficients in a field K is defined analogously to a polynomial in one variable, but the notation is more cumbersome. | Многочлен от n переменных X1,..., Xn с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. |
| A closely related but stronger property, polynomial expansion, is equivalent to the existence of separator theorems for these families. | Близкое, но более сильное свойство, полиномиальное расширение, эквивалентно существованию теорем разбиения для этих семейств. |
| It follows that the biclique-free string graphs, string graphs containing no Kt, t subgraph for some constant t, have O(n) edges and more strongly have polynomial expansion. | Отсюда следует, что струнные графы без клик, струнные графы, не содержащие подграфов Kt, t ни для какой постоянной t, имеют O(n) рёбер и имеют полиномиальное расширение. |
| If f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}}, it is said that L {\displaystyle L} admits a polynomial kernel. | Если f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}} говорят, что L {\displaystyle L} допускает полиномиальное ядро. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| A stronger notion is polynomial expansion, meaning that the function f used to bound the edge density of shallow minors is a polynomial. | Более строгое понятие - полиномиальное расширение, означающее, что функция f, используемая для ограничения плотности рёбер миноров ограниченной глубины, полиномиальна. |
| The formula itself is correct, but there is no standard form of a polynomial. | Сама формула корректна, но стандартной формы для многочлена не существует. |
| Another example is that the maximum height (maximum absolute value of coefficients) of all the factors of xn - 1 appears to be the same as the height of the nth cyclotomic polynomial. | Другой пример - максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех множителей xn - 1 оказывается той же самой, что и высота кругового многочлена n-й степени. |
| In its simplest version an interpolation attack expresses the ciphertext as a polynomial of the plaintext. | В простейшем варианте интерполяционная атака выражает зашифрованный текст в виде многочлена от текста. |
| In algebraic geometry, a plane affine algebraic curve defined over a field k is the set of points of K2 whose coordinates are zeros of some bivariate polynomial with coefficients in k, where K is some algebraically closed extension of k. | В алгебраической геометрии плоская аффинная алгебраическая кривая над полем к определяется как множество точек K2, являющихся корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в k, где K - алгебраическое замыкание поля k. |
| Symmetric polynomials arise naturally in the study of the relation between the roots of a polynomial in one variable and its coefficients, since the coefficients can be given by polynomial expressions in the roots, and all roots play a similar role in this setting. | Симметрические многочлены появляются естественным образом при изучении связи корней многочлена одной переменной и его коэффициентов, поскольку коэффициенты можно выразить через полиномы от корней, и все корни в этих выражениях играют одинаковую роль. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| As Kowalik (2009) showed, it is possible to test whether a graph has a 3-edge-coloring in time O(1.344n), while using only polynomial space. | В 2009 году показано, что проверить, существует ли рёберная раскраска графа тремя цветами, можно за время O (1.344 n) {\displaystyle O(1.344^{n})} при использовании лишь полиномиального пространства. |
| Even more restrictive, and useful in practice, is the fully polynomial-time approximation scheme or FPTAS, which requires the algorithm to be polynomial in both the problem size n and 1/ε. | Дальнейшим ограничением более полезным на практике является приближенная схема полностью полиномиального времени или fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS), которая требует, чтобы время выполнения алгоритма полиномиально зависело и от размера задачи n, и от 1/ε. |
| The problem is that π is not rational (it cannot be expressed as the quotient of two integers), nor is it algebraic (it is not a root of a polynomial equation with rational coefficients). | Проблема заключается в том, что π не является рациональным (его нельзя выразить в виде дроби двух целых чисел) и даже не является алгебраическим (оно не является корнем никакого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| The quotient by an ideal of a multivariate polynomial ring, filtered by the total degree. | Фактор кольца многочленов по идеалу, фильтрованный полной степенью. |
| It can however be shown that polynomial multiplication is a convolution. | Однако, можно показать, что перемножение многочленов является свёрткой. |
| This is equivalent to the statement that the polynomial ring is a free module over the ring of radical polynomials. | Это эквивалентно тому, что кольцо многочленов является свободным модулем над кольцом радикальных многочленов. |
| If A {\displaystyle A} is a Krull ring then so is the polynomial ring A {\displaystyle A} and the formal power series ring A] {\displaystyle A]}. | Если А {\displaystyle A} - кольцо Крулля, то кольцо многочленов A {\displaystyle A} и кольцо формальных степенных рядов A] {\displaystyle A]} являются кольцами Крулля. |
| If k is a field and X1, X2, ..., Xd are indeterminates and R is the polynomial ring k, the Koszul complex K(Xi) on the Xi's forms a concrete free R-resolution of k. | Если к - это поле, X1, X2, ..., Xd - неизвестные и R - это кольцо многочленов k, комплекс Кошуля K(Xi) последовательности Xi является конкретным примером свободной резольвенты R-модуля k. |
| However, the exponent of the polynomial depends on the clique-width of the graph, so this algorithms is not fixed-parameter tractable. | Однако степень полинома зависит от кликовой ширины графа, так что эти алгоритмы не являются фиксированно-параметрически разрешимыми. |
| Given a (x) {\displaystyle a(x)} and t (x) {\displaystyle t(x)}, it should be computationally infeasible to recover the polynomial s (x) {\displaystyle s(x)}. | Данные а (х) {\displaystyle a(x)} и t (x) {\displaystyle t(x)} полиномы должны быть вычислительно неразрешимы для задачи восстановления полинома s (x) {\displaystyle s(x)}. |
| Assume that the time to construct the polynomial p (x) {\displaystyle p(x)} using p/ c {\displaystyle p/c} pairs are small, in comparison to the time to encrypt the required plaintexts. | Предположим, что время для построения полинома р (х) {\displaystyle p(x)} с помощью пар p/ c {\displaystyle p/c} мало, по сравнению с временем, которое необходимо для того, чтобы зашифровать открытые тексты. |
| Although it is not an invariant of knots or links (as it is not invariant under type I Reidemeister moves), a suitably "normalized" version yields the famous knot invariant called the Jones polynomial. | Хотя он и не является инвариантом узла или зацепления (без оснащения он не является инвариантным относительно движения Рейдемейстера I типа), подходящая «нормализация» позволяет превратить его в вариант знаменитого инварианта - полинома Джонса. |
| 4.4. Using the coefficients of the polynomial derived from paragraph 3.2. above, a table of indicated reading against true concentration shall be drawn up in steps of no greater than 1 per cent of full scale. | 4.4 При помощи коэффициентов полинома, указанных в пункте 3.2 выше, составляют таблицу истинных значений концентрации по отношению к указанным значениям с интервалами, равными не более 1% полной шкалы. |
| For others, such as the HOMFLYPT polynomial, more complicated algorithms are necessary. | Для других, таких как полином HOMFLY, требуются более сложные алгоритмы. |
| This may be a simple quadratic, or a polynomial or rational function over a Galois field. | Это может быть простое квадратичная функция, полином или рациональная функция над полем Галуа. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| Since the Hermite interpolation polynomial coincides with the given function value and the derivative of the point, following conditions result: | Поскольку интерполяционный полином Эрмита совпадает в узлах со значением заданной функции и значением производной, то получаем следующие условия: |
| What a CRC does is convert the message to a polynomial where the value of the coefficients correspond to the bits in the message and then divide that polynomial by a predetermined, or standard, polynomial called a key. | CRC преобразует послание в полином, где значение коэффициентов соответствует битам в послании, после чего этот полином делится на предопределенный или стандартный полином, называемый ключом. |
| The union of all classes in the polynomial hierarchy is the complexity class PH. | Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом РН. |
| All linear programs can be expressed as SDPs, and via hierarchies of SDPs the solutions of polynomial optimization problems can be approximated. | Все задачи линейного программирования могут быть выражены как задачи SDP, а с помощью иерархий задач SDP могут быть аппроксимированы решения задач полиномиальной оптимизации. |
| It is possible to find a representation of any Apollonian network as convex 3d polyhedron in which all of the coordinates are integers of polynomial size, better than what is known for other planar graphs. | Можно найти представление любого графа Аполлония как выпуклого З-мерного многогранника, в котором все координаты являются целыми числами полиномиальной величины, что лучше, чем для других планарных графов. |
| To define this more precisely, the maximum number of inflection points possible in a polynomial curve is n-2, where n is the order of the polynomial equation. | Говоря точнее, максимальное число точек перегиба полиномиальной кривой равно n-2, где n - порядок многочлена. |
| Conversely, there are algorithms which run in a number of Turing machine steps bounded by a polynomial in the length of binary-encoded input, but do not take a number of arithmetic operations bounded by a polynomial in the number of input numbers. | Обратно - существуют алгоритмы, которые работают за число шагов машины Тьюринга, ограниченных полиномиальной длиной бинарно закодированного входа, но не работают за число арифметических операций, ограниченное многочленом от количества чисел на входе. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Group theory, developed in the early 1800s for the sole purpose of solving polynomial equations, became a fruitful way of categorizing elementary particles-the building blocks of matter. | Например, теория групп, разработанная в начале 1800-х годов, единственной целью которой являлась возможность решения полиномиальных уравнений, оказалась наиболее подходящим способом для категоризации элементарных частиц - строительных блоков материи. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |