| Therefore, if some choice of U has few vertices but its removal creates a large number of odd components, then there will be many unmatched vertices, implying that the matching itself will be small. | Таким образом, если некоторое подмножество вершин U имеет малый размер, но при его удалении создаётся большое число нечётных компонент, то останется много непокрытых паросочетанием вершин, из чего следует, что и паросочетание будет малым. |
| For instance, a matching in G is a set of edges no two of which are adjacent, and corresponds to a set of vertices in L(G) no two of which are adjacent, that is, an independent set. | Например, паросочетание в G - это множество дуг, ни одна из которых не смежна другой, и соответствующее множество вершин в L(G), ни одна из которых не смежна другой, то есть независимое множество вершин. |
| By the first corollary, if edge e is part of such an alternating chain, then a new maximum matching, M', must exist and e would exist either in M or M', and therefore be free. | По первому следствию, если ребро ё является частью такой чередующейся цепи, то должно существовать новое наибольшее паросочетание М' и ё будет принадлежать либо М, либо М', а потому является свободным. |
| Pierluigi Crescenzi, Viggo Kann, Magnús Halldórsson, Marek Karpinski, Gerhard Woeginger (2000), "A compendium of NP optimization problems": Minimum Edge Dominating Set, Minimum Maximal Matching. | Pierluigi Crescenzi, Viggo Kann, Magnús Halldórsson, Marek Karpinski, Gerhard Woeginger (2000), "A compendium of NP optimization problems": Наименьшее доминантное множество рёбер, Наименьшее максимальное паросочетание. |
| A perfect matching is a spanning 1-regular subgraph, a.k.a. a 1-factor. | Совершенное паросочетание порождает остовный 1-регулярный подграф, то есть 1-фактор. |
| A graph is said to be k-factor-critical if every subset of n - k vertices has a perfect matching. | Говорят, что граф к-фактор критический, если любое подмножество из n - k вершин имеет совершенное паросочетание. |
| Let us now prove the contrapositive of Berge's lemma: G has a matching larger than M if and only if G has an augmenting path. | Теперь мы можем доказать лемму Бержа от противного - граф G имеет паросочетание, большее чем у M тогда и только тогда, когда G имеет расширяющий путь. |
| In the case that a near-perfect matching of the factor-critical graph is also given, the ear decomposition can be chosen in such a way that each ear alternates between matched and unmatched edges. | В случае, когда почти совершенное паросочетание фактор-критического графа также задано, ушное разложение может быть выбрано таким образом, что каждое ухо попеременно проходит рёбра паросочетания и рёбра, не входящие в паросочетание. |
| Their algorithm is based on using a push-relabel maximum flow algorithm and then, when the matching created by this algorithm becomes close to optimum, switching to the Hopcroft-Karp method. | Этот алгоритм базируется на алгоритме проталкивания предпотока, а, когда паросочетание становится близко к оптимальному, переключается на метод Хопкрофта - Карпа. |
| As they showed, when the base graph is biconnected, a graph constructed in this way is planar if and only if its base graph is outerplanar and the matching forms a dihedral permutation of its outer cycle. | Как они показали, если базовый граф двусвязен, граф, полученный из него описанным способом, планарен тогда и только тогда, когда базовый граф внешнепланарен и паросочетание образует диэдральные перестановки внешнего цикла. |
| See the glossary. is cubic, has domination number 3, and has a perfect matching and a 2-factor. has 6 distinct perfect the smallest cubic graph of girth 5. | Задача о независимом множестве. является кубическим графом, имеет число доминирования З, имеет совершенное паросочетание и 2-фактор. имеет 6 различных совершенных паросочетаний. является наименьшим кубическим графом с обхватом 5. |
| Matching and 3-dimensional matching are special cases of set packing. | Паросочетание и трёхмерное паросочетание являются специальными случаями упаковки множеств. |
| By Berge's lemma, matching M is maximum if and only if there is no M-augmenting path in G. Hence, either a matching is maximum, or it can be augmented. | По лемме Бержа, паросочетание М является наибольшим тогда и только тогда, когда нет М-увеличивающего пути в G. Следовательно, либо паросочетание является наибольшим, либо его можно увеличить. |
| Other pairs of graph types that always admit a simultaneous embedding, but that might need larger grid sizes, include a wheel graph and a cycle graph, a tree and a matching, or a pair of graphs both of which have maximum degree two. | Другие пары графов, позволяющие одновременное вложение, но, возможно, требующие больших размеров решётки, это колесо и цикл, дерево и паросочетание, а также пары графов, у которых максимальная степень равна двум. |
| The matching is constructed by iteratively improving an initial empty matching along augmenting paths in the graph. | Паросочетание строится путём итеративного улучшения начального пустого паросочетания вдоль увеличивающих путей графа. |
| A maximum-size matching can be found in polynomial time, but finding a largest 3-dimensional matching or a largest independent set is NP-hard. | Паросочетание максимального размера может быть найдено за полиномиальное время, но поиск наибольшего З-мерного паросочетания или наибольшего независимого множества являются NP-трудными задачами. |
| To do so, find the subgraph H of G consisting of the edges that satisfy the two properties of a matched edge in a very well covered graph, and then use a matching algorithm to test whether H has a perfect matching. | Чтобы сделать это, найдём подграф Н графа G, состоящий из рёбер, удовлетворяющих двум свойствам паросочетаний в очень хорошо покрытом графе, а затем используем алгоритм нахождения совершенного покрытия для проверки, имеет ли H совершенное паросочетание. |
| There are 24 perfect matchings in the Heawood graph; for each matching, the set of edges not in the matching forms a Hamiltonian cycle. | В графе Хивуда имеется 24 паросочетания, и во всех паросочетаниях рёбра, не входящие в паросочетание, образуют гамильтонов цикл. |
| The matching problem can be generalized by assigning weights to edges in G and asking for a set M that produces a matching of maximum (minimum) total weight. | Задачу о паросочетаниях можно обобщить назначением весов рёбрам графа G. В этом случае задаётся вопрос о множестве M, которое даёт паросочетание с максимальным (минимальным) полным весом. |
| An independent set in L(G) corresponds to a matching in G, and a dominating set in L(G) corresponds to an edge dominating set in G. Therefore a minimum maximal matching has the same size as a minimum edge dominating set. | Независимое множество в L(G) соответствует паросочетанию в G, а доминирующее множество в L(G) соответствует рёберному доминирующему множеству в G. Таким образом, минимальное наибольшее паросочетание имеет тот же размер, что и минимальное рёберное доминирующее множество. |
| Thus, whenever there exists a matching M {\displaystyle M^{ }} larger than the current matching M {\displaystyle M}, there must also exist an augmenting path. | Итак, если существует паросочетание М {\displaystyle M^{ }}, большее текущего паросочетания M {\displaystyle M}, также должен существовать увеличивающий путь. |
| A maximum matching is also a maximal matching, and hence it is possible to find a largest maximal matching in polynomial time. | Наибольшее паросочетание является также максимальным, и, поэтому, имеется возможность найти самое большое максимальное паросочетание за полиномиальное время. |
| By the original lemma, then, that matching (whether M or M') cannot be a maximum matching, which contradicts the assumption that both M and M' are maximum. | По исходной лемме тогда это паросочетание (М или М') не может быть наибольшим, что противоречит предположению о том, что оба паросочетания М и М' являются наибольшими. |