| In short, the Dynkin diagram describes the angles between the simple roots and their relative lengths, with respect to a Weyl group-invariant inner product on the weight lattice. | Вкратце, диаграмма Дынкина описывает углы между простыми корнями и их относительные длины с учётом (группового инварианта Вейля) скалярного произведения на решётке весов. |
| If H is another compact subgroup of G, then averaging the inner product over H with respect to the Haar measure gives an inner product invariant under H. The operators Ad p with p in P are positive symmetric operators. | Если Н является другой компактной подгруппой группы G, то среднее скалярного произведения по H по мере Хаара даёт инвариант скалярного произведения над H. Операторы Ad p при p из P являются положительными симметричными операторами. |
| Each source signal can be extracted from a set of signal mixtures by taking the inner product of a weight vector and those signal mixtures where this inner product provides an orthogonal projection of the signal mixtures. | Каждый источник сигнала может быть выделен из набора смесей сигналов путём вычисления скалярного произведения вектора весов и той смеси сигналов, на которой это скалярное произведение даёт ортогональную проекцию смеси сигналов. |
| The non-uniqueness of these examples can be seen as any inner product has an associated orthogonal group, and the essential uniqueness corresponds to the essential uniqueness of the inner product. | Неединственность этих примеров можно видеть из того, что любое скалярное произведение имеет ассоциированную ортогональную группу и существенная единственность соответствует существенной единственности скалярного произведения. |
| Note how the calculation of inner product differs from the calculation of the inner product of a 3-vector. | Обратите внимание, как вычисление скалярного произведения отличается от вычисления скалярного произведения З-вектора. |
| Inner-product invariance: If A and B are 4-vectors, then their inner product (scalar product) is invariant, i.e. their inner product is independent of the frame in which it is calculated. | Инвариантность скалярного произведения: Если А и В являются 4-векторами, то их скалярное произведение инвариантно, то есть не зависит от системы отсчета, в которой оно рассчитано. |