| There are no regular compact or paracompact tessellations of hyperbolic space of dimension 6 or higher. | Не существует правильных компактных или паракомпактных замощений гиперболического пространства размерности 6 или выше. |
| If this subdivision rule is conformal in a certain sense, the group will be a 3-manifold group with the geometry of hyperbolic 3-space. | Если это правило подразделения в определённом смысле конформно, группа будет группой З-многообразия с геометрией гиперболического З-пространства. |
| Just as in the Euclidean case, three points of a hyperbolic space of an arbitrary dimension always lie on the same plane. | Как и в евклидовом случае, три точки гиперболического пространства произвольной размерности всегда лежат в той же плоскости. |
| Infinite forms can be extended to tessellate a hyperbolic space. | Бесконечные формы можно расширить до замощения гиперболического пространства. |
| The hyperbolic distance function admits a simple expression in this model. | Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. |
| The final model, then, that is used in multilayer perceptrons is a sigmoidal activation function in the form of a hyperbolic tangent. | Последняя модель, которая используется в многослойных перцептронах - сигмоидная функция активации в форме гиперболического тангенса. |
| The discovery of hyperbolic space ushered in the field of mathematics that is called non-Euclidean geometry. | Открытие гиперболического пространства возвестило в сфере математики то, что называется неевклидовой геометрией. |
| The Student's t-distribution is a special case of the generalised hyperbolic distribution. | Распределение Стьюдента - частный случай обобщённого гиперболического распределения. |
| The Schläfli symbol describes every regular tessellation of an n-sphere, Euclidean and hyperbolic spaces. | Символ Шлефли описывает каждое правильное замощение n-сферы, евклидова и гиперболического пространства. |
| Inserts an area hyperbolic cotangent function with one placeholder. | Вставляет функцию ареа-котангенса гиперболического с одним местозаполнителем. |
| RG: Hanging cable takes on the form of a hyperbolic cosine. | РГ: «Висящий кабель принимает форму гиперболического косинуса». |
| To construct the triangle group, start with a hyperbolic triangle with angles π/2, π/3, π/7. | Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. |
| Each tetrahedral face represents a reflection hyperplane on 3-dimensional surfaces: the 3-sphere, the Euclidean 3-space, and hyperbolic 3-space. | Каждая грань тетраэдра представляет зеркальную гиперплоскость на З-мерной поверхности - З-сферы, евклидового З-мерного пространства и гиперболического З-мерного пространства. |
| For instance, the history graph is quasi-isometric to hyperbolic space exactly when the subdivision rule is conformal, as described in the combinatorial Riemann mapping theorem. | Например, граф истории является квазиизометрией гиперболического пространства в точности тогда, когда правила подразделения являются конформными, как описано в комбинаторной теореме Римана об отображении. |
| Kremer proposed one of the most convincing explanations for the phenomenon of the World System population hyperbolic growth observed prior to the early 1970s, as well as the economic mechanisms of the demographic transition. | Кремер предложил одно из наиболее убедительных объяснений феномена гиперболического роста мирового населения, наблюдавшегося до начала 1970-х годов, а также экономических механизмов демографического перехода. |
| The theory of spherical functions for the Lorentz group, required for harmonic analysis on the hyperboloid model of 3-dimensional hyperbolic space sitting in Minkowski space is considerably easier than the general theory. | Теория сферических функций для группы Лоренца, которые требуются для гармонического анализа на гиперболоидной модели З-мерного гиперболического пространства, находящегося в пространстве Минковского, в значительной мере проще, чем в общей теории. |
| They include the tessellations of spherical, Euclidean and hyperbolic space, tessellations of other manifolds, and many other objects that do not have a well-defined topology, but instead may be characterised by their "local" topology. | Они включают замощения сферического, евклидова и гиперболического пространств, замощения других многообразий и много других объектов, не имеющих хорошо определённой топологии, но, зато, характеризующихся их "локальной" топологией. |
| (Here the sphere is the sphere at infinity of hyperbolic 3-space.) | (Здесь сфера на бесконечности - это сфера на бесконечности гиперболического З-мерного пространства.) |
| The following sections show all of the whole number Goursat tetrahedral solutions on the 3-sphere, Euclidean 3-space, and Hyperbolic 3-space. | Последующие секции показывают все из полного набора решений тетраэдров Гурса для З-сферы, евклидова З-мерного пространства и гиперболического З-мерного пространства. |
| Pasch's axiom and the exterior angle theorem still hold for an omega triangle, defined by two points in hyperbolic space and an omega point. | Аксиома Паша и теорема о внешнем угле треугольника выполняются для омега треугольника, который определяется двумя точками гиперболического пространства и омега-точкой. |
| This model can be generalized to model an n + 1 {\displaystyle n+1} dimensional hyperbolic space by replacing the real number x by a vector in an n dimensional Euclidean vector space. | Эту модель можно обобщить до модели (n+1)-мерного гиперболического пространства путём замены вещественного числа x вектором в n-мерном евклидовом векторном пространстве. |
| The independent and distinct approaches of Robert Riley and Troels Jrgensen in the mid-to-late 1970s showed that such examples were less atypical than previously believed; in particular their work showed that the figure-eight knot complement was hyperbolic. | Но уже к середине 1970-х годов в работах Роберта Райли и Троэльса Йоргенсена выявлено, что эти примеры были не столь атипичными, в частности, доказано, что дополнение узла «восьмерка» гиперболично (это был первый пример гиперболического узла). |
| The hyperboloid model of the n-dimensional hyperbolic space is closely related to the Beltrami-Klein model and to the Poincaré disk model as they are projective models in the sense that the isometry group is a subgroup of the projective group. | Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами - Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что группа движений является подгруппой проективной группы. |
| Tessellations of hyperbolic 2-space are hyperbolic tilings. | Замощения гиперболического двухмерного пространства - это гиперболические мозаики. |
| These Möbius transformations act as the isometries of the upper half-plane model of hyperbolic space, and the corresponding Möbius transformations of the disc are the hyperbolic isometries of the Poincaré disk model. | Эти преобразования Мёбиуса действуют как изометрии модели верхней половины плоскости гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями дисковой модели Пуанкаре. |