| The Droz-Farny line theorem is a special case of this result, when P {\displaystyle P} is the orthocenter of triangle T {\displaystyle T}. | Теорема Дроз-Фарни является частным случаем этого результата, когда точка Р {\displaystyle P} является ортоцентром треугольника T {\displaystyle T}. |
| Mordell's theorem on the finite generation of the group of rational points on an elliptic curve is in Chapter 16, and integer points on the Mordell curve in Chapter 26. | Теорема Морделла - Вейля о конечном числе рациональных чисел на эллиптической кривой изложена в главе 16, и целых чисел на кривой Морделла - в главе 26. |
| It is a theorem that any orientable compact manifold with a boundary component that is not a sphere has an infinite first homology group, which implies that it has a properly embedded 2-sided non-separating incompressible surface, and so is again a Haken manifold. | Есть теорема, что любое ориентируемое компактное многообразие, имеющее компоненту с краем, не являющейся сферой, имеет бесконечную первую гомологическую группу, откуда следует, что оно имеет правильно вложенную 2-стороннюю неотделимую несжимаемую поверхность, а потому также является многообразием Хакена. |
| But, if Fermat's last theorem were false for the exponent n = 4 {\displaystyle n=4}, then squaring one of the three numbers in any counterexample would also give three numbers that solve this equation. | Но если бы великая теорема Ферма не была бы верна для экспоненты n = 4 {\displaystyle n=4}, то любой контрпример был бы теми самыми тремя квадратами, которые удовлетворяют уравнению. |
| 1973 Alexander Holevo publishes a paper showing that n qubits cannot carry more than n classical bits of information (a result known as "Holevo's theorem" or "Holevo's bound"). | 1973 - Александр Холево опубликовал работу, в которой показал, что n кубит не могут нести больше информации, чем такое же число классических битов (этот результат известен как теорема Холево или ограничение Холево). |
| The following theorem characterises simultaneously diagonalisable matrices: A set of diagonalizable matrices commutes if and only if the set is simultaneously diagonalizable. | Следующая теорема характеризует совместно диагонализируемые матрицы: множество матриц является множеством диагонализируемых коммутирующих матриц тогда и только тогда, когда оно является совместно диагонализируемым. |
| Viviani's theorem, named after Vincenzo Viviani, states that the sum of the distances from any interior point to the sides of an equilateral triangle equals the length of the triangle's altitude. | Теорема Вивиани - утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. |
| In projective geometry, all conics are equivalent in the sense that every theorem that can be stated for one can be stated for the others. | В проективной геометрии все конические сечения эквивалентны в том смысле, что каждая теорема, применимая для одного из видов сечений, применима и для других видов. |
| The Cartan-Iwasawa-Malcev theorem asserts that every connected Lie group (and indeed every connected locally compact group) admits maximal compact subgroups and that they are all conjugate to one another. | Теорема Картана - Ивасавы - Мальцева утверждает, что любая связная группа Ли (и более того, любая локально компактная группа) обладает максимальными компактными подгруппами и что они все являются сопряжёнными друг другу. |
| The formulation and the first proof of the theorem were presented by Nikolay Bogoliubov at the International Conference on Theoretical Physics, Seattle, USA (September, 1956) and also published in the book "Problems in the Theory of Dispersion Relations". | Первая формулировка и доказательство теоремы были приведены Н. Н. Боголюбовым на международной конференции в Сиэтле, США (сентябрь 1956 года) и также опубликованы в монографии (дополнение А, теорема 1). |
| The Robertson-Seymour theorem is named after mathematicians Neil Robertson and Paul D. Seymour, who proved it in a series of twenty papers spanning over 500 pages from 1983 to 2004. | Теорема Робертсона - Сеймура названа именами математиков Нейла Робертсона и Пола Сеймура, которые доказали её в серии из двадцати статей общим объёмом в 500 страниц, вышедших с 1983 по 2004 годы. |
| However, verifying nonlocal correlations requires ordinary subluminal communication: the no communication theorem prevents the superluminal transfer of information, and fundamental descriptions of matter and forces require the full framework of quantum field theory in which spacelike-separated operators commute. | Однако проверка нелокальных корреляций требует передачи сигнала на досветовой скорости: теорема о запрете сверхсветового сигнала не допускает передачи информации на сверхсветовой скорости, а фундаментальные описания материи и сил необходимо осуществлять в рамках квантовой теории поля, в которой пространственно-разделенные операторы коммутируют. |
| The Schur-Zassenhaus theorem at least partially answers the question: "In a composition series, how can we classify groups with a certain set of composition factors?" | Теорема Шура - Зассенхауса, по меньшей мере частично, отвечает на вопрос: «В композиционном ряду как мы можем классифицировать группы с определённым множеством композиционных факторов?» |
| If H can be drawn in the plane with only a single crossing (that is, it has crossing number one) then the H-minor-free graphs have a simplified structure theorem in which they are formed as clique-sums of planar graphs and graphs of bounded treewidth. | Если Н может быть нарисован на плоскости с единственным пересечением (то есть, число пересечений графа равно единице), то для свободных от Н-миноров графов верна теорема об упрощённой структуре, по которой такие графы представляют собой кликовую сумму планарных графов и графов с ограниченной древесной шириной. |
| The sampling theorem describes why the input of an ADC requires a low-pass analog electronic filter, called the anti-aliasing filter: the sampled input signal must be bandlimited to prevent aliasing (here meaning waves of higher frequency being recorded as a lower frequency). | Теорема отсчётов объясняет, почему вход АЦП требует низкочастотного аналогового электронного фильтра, называемого сглаживающим (антиалиасинг) - отсчеты входного сигнала должны иметь ограниченный спектр для предотвращения неразличимости сигнала (т.е. верхнечастотный диапазон переведен в нижнечастотную область). |
| Basic results on algebraic surfaces include the Hodge index theorem, and the division into five groups of birational equivalence classes called the classification of algebraic surfaces. | Базовыми результатами в теории алгебраических поверхностей являются теорема Ходжа об индексе и разбиение на пять групп классов рациональной эквивалентности, которое известно как классификация Энриквеса - Кодаиры или классификация алгебраических поверхностей. |
| Gauss's theorem can be interpreted in terms of the lines of force of the field as follows: The flux through a closed surface is dependent upon both the magnitude and direction of the electric field lines penetrating the surface. | Теорема Гаусса может быть интерпретирована в терминах силовых линий поля так: Поток поля через поверхность есть количество силовых линий, пронизывающих эту поверхность. |
| Perron numbers are named after Oskar Perron; the Perron-Frobenius theorem asserts that, for a real square matrix with positive algebraic coefficients whose largest eigenvalue is greater than one, this eigenvalue is a Perron number. | Теорема Фробениуса - Перрона утверждает, что для вещественной квадратной матрицы с положительными алгебраическими коэффициентами, наибольшее собственное значение которых больше единицы, это собственное значение является числом Перрона. |
| Simple polygons are also called Jordan polygons, because the Jordan curve theorem can be used to prove that such a polygon divides the plane into two regions, the region inside it and the region outside it. | Простые многоугольники называются также жордановыми многоугольниками, поскольку может быть использована теорема Жордана для доказательства, что такие многоугольники разбивают плоскость на две области, внутри и снаружи. |
| In the case where the spectrum of A {\displaystyle A} is not wholly discrete, the spectral theorem proves the existence of a certain projection-valued measure Q {\displaystyle Q}, the spectral measure of A {\displaystyle A}. | В случае, когда спектр А {\displaystyle A} не полностью дискретен, спектральная теорема доказывает существование определенной проекторнозначной меры (англ.)русск. |
| Richard Brauer (1957) suggested using the centralizers of involutions of simple groups as the basis for the classification of finite simple groups, as the Brauer-Fowler theorem shows that there are only a finite number of finite simple groups with given centralizer of an involution. | Ричард Брауэр высказал предположение, используя централизаторы инволюций простых групп в качестве базиса для классификации конечных простых групп как в теореме Теорема Брауэра - Фаулера, что существует лишь конечное число конечных простых групп с данным цетром инволюции. |
| Ford's paper with D. R. Fulkerson on the maximum flow problem and the Ford-Fulkerson algorithm for solving it, published as a technical report in 1954 and in a journal in 1956, established the max-flow min-cut theorem. | Совместные исследования Форда и Фалкерсона проблемы максимального потока и алгоритм Форда-Фалкерсона для её решения, опубликованы как технический доклад в 1954 году и утверждены как теорема Форда-Фалкерсона. |
| Put another way, the Whitney graph isomorphism theorem guarantees that the line graph almost always encodes the topology of the original graph G faithfully but it does not guarantee that dynamics on these two graphs have a simple relationship. | Таким образом, хотя теорема Уитни гарантирует, что рёберный граф почти всегда содержит в себе закодированную топологию графа G, это не гарантирует, что эти два графа имеют простые динамические связи. |
| The five color theorem, which has a short elementary proof, states that five colors suffice to color a map and was proven in the late 19th century (Heawood 1890); however, proving that four colors suffice turned out to be significantly harder. | Теорема о пяти красках, утверждающая, что достаточно пяти цветов, имела короткое несложное доказательство и была доказана в конце XIX века, но доказательство теоремы для случая четырёх цветов столкнулось со значительными трудностями. |
| The first theorem considers any four circles passing through a common point M and otherwise in general position, meaning that there are six additional points where exactly two of the circles cross and that no three of these crossing points are collinear. | Первая теорема рассматривает любые четыре окружности, проходящие через общую точку М, а в остальном находящиеся в общем положении, что значит, имеется шесть дополнительных точек пересечения этих окружностей, и пусть никакие три из этих точек пересечения не коллинеарны. |