| Noether's formula is the first case of the Riemann-Roch theorem for surfaces. | Формула Нётера была первым случаем теоремы Римана - Роха для поверхностей. |
| Actually, his proof of the Riemann-Roch theorem works for arbitrary perfect base fields, not necessarily finite. | Фактически, его доказательство теоремы Римана - Роха работает для произвольных совершенных базовых полей, не обязательно конечных. |
| For comparison, the Riemann-Roch theorem for a curve states that χ(D) = χ(0) + deg(D). | Для сравнения, теорема Римана - Роха для кривой утверждает, что χ (D) = χ (0) + d e g (D) {\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+deg(D)}. |
| The latter condition allows one to transfer the notions and methods of complex analysis dealing with holomorphic and meromorphic functions on C to the surface X. For the purposes of the Riemann-Roch theorem, the surface X is always assumed to be compact. | Последнее условие позволяет перенести термины и методы комплексного анализа, имеющие дело с голоморфными и мероморфными функциями на С, на поверхность Х. Для целей теоремы Римана - Роха, поверхность Х всегда предполагается компактной. |
| The form of the Riemann-Roch theorem on a surface was also worked out. | Версия теоремы Римана - Роха для поверхностей также была получена. |
| Yoga of the Grothendieck-Riemann-Roch theorem (K-theory, relation with intersection theory). | «Йога» Римана - Роха - Гротендика (К {\displaystyle K} -теория, связь с теорией пересечений). |
| The Riemann-Hurwitz formula concerning (ramified) maps between Riemann surfaces or algebraic curves is a consequence of the Riemann-Roch theorem. | Формула Римана - Гурвица, относяющаяся к (разветвлённым) отображениям между римановыми поверхностями или алгебраическими кривыми, является следствием теоремы Римана - Роха. |
| The earliest forms of the Riemann-Roch theorem for surfaces were often stated as an inequality rather than an equality, because there was no direct geometric description of first cohomology groups. | Наиболее ранние формы теоремы Римана - Роха для поверхностей часто формулировались в виде неравенств, а не равенств, поскольку не было прямого геометрического описания групп первой когомологии. |
| In mathematics, the Riemann-Roch theorem for surfaces describes the dimension of linear systems on an algebraic surface. | Теорема Римана - Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности. |
| The dimension of the moduli space, called Teichmüller space in this case, is computed as 3g - 3, by the Riemann-Roch theorem. | Размерность пространства модулей, называемого в данном случае пространством Тайхмюллера, равна 3g - 3 по теореме Римана - Роха. |
| Under the hand of Peter Roquette: The first main achievement of F. K. Schmidt is the discovery that the classical theorem of Riemann-Roch on compact Riemann surfaces can be transferred to function fields with finite base field. | Согласно Петру Рокетту: Первое большое достижение Ф. К. Шмидта - открытие факта, что классическая теорема Римана - Роха на компактных римановых поверхностях может быть перенесена на поле функций с конечным базовым полем. |
| Alexander Grothendieck proved a far-reaching generalization in 1957, now known as the Grothendieck-Riemann-Roch theorem. | Александр Гротендик доказал далеко идущее обобщение в 1957 году, известное сейчас как теорема Гротендика - Римана - Роха. |
| His work reinterprets Riemann-Roch not as a theorem about a variety, but about a morphism between two varieties. | Его работа даёт другое толкование теоремы Римана - Роха, не как теоремы о многообразии, а как теоремы о морфизме между двумя многообразиями. |
| Clifford's theorem on special divisors is also a consequence of the Riemann-Roch theorem. | Теорема Клиффорда о специальных дивизорах является также следствием теоремы Римана - Роха. |
| This theorem is proved by using the Nakai criterion and the Riemann-Roch theorem for surfaces. | Эта теорема доказана при помощи критерия Накаи и теоремы Римана - Роха для поверхности. |
| The Riemann-Roch theorem is an important theorem in mathematics, specifically in complex analysis and algebraic geometry, for the computation of the dimension of the space of meromorphic functions with prescribed zeroes and allowed poles. | Теорема Римана - Роха - это важная теорема математики, особенно в комплексном анализе и алгебраической геометрии, помогающая в вычислении размерности пространства мероморфных функций с предписанными нулями и разрешёнными полюсами. |
| The notion of genus features prominently in the statement of the Riemann-Roch theorem (see also Riemann-Roch theorem for algebraic curves) and of the Riemann-Hurwitz formula. | Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана - Роха (см. также теорему Римана - Роха для поверхностей) и формуле Римана - Гурвица. |
| Many earlier results such as the Riemann-Roch theorem and the Hodge theorem have been generalized or understood better using sheaf cohomology. | Многие более ранние результаты, такие как теорема Римана - Роха и теорема Ходжа были обобщены и лучше поняты благадаря когомологиям пучков. |
| The Chern classes offer some information about this through, for instance, the Riemann-Roch theorem and the Atiyah-Singer index theorem. | Классы Чженя дают некоторую информацию об этом посредством, например, теоремы Римана - Роха и теоремы Атьи - Зингера об индексе. |
| For surfaces, the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem is essentially the Riemann-Roch theorem for surfaces combined with the Noether formula. | Для поверхностей Теорема Хирцебруха - Римана - Роха, по существу, является теоремой Римана - Роха для поверхностей, скомбинированной с формулй Нётера. |