| However decomposable Heronian triangles must have two sides that are the hypotenuse of Pythagorean triangles. | Однако разложимые героновы треугольники должны иметь две стороны, являющиеся гипотенузами пифагоровых треугольников. |
| Around 400 BC, according to Proclus, Plato gave a method for finding Pythagorean triples that combined algebra and geometry. | Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. |
| Similarly, overlaying two Pythagorean tilings may be used to generate a six-piece dissection of two unequal squares into a different two unequal squares. | Таким же образом наложение двух пифагоровых мозаик может быть использовано для получения разрезания на шесть частей двух неравных квадратов, из которых можно сложить два других неравных квадрата. |
| As Martin (1875) describes, the Pell numbers can be used to form Pythagorean triples in which a and b are one unit apart, corresponding to right triangles that are nearly isosceles. | Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. |
| The Heronian triple (a, b, c) is primitive provided a, b, c are pairwise relatively prime (as with a Pythagorean triple). | Тройка Герона (а, Ь, с) примитивна, если а, Ь и с попарно взаимно просты (как и в случае пифагоровых троек). |
| Hence, every Pythagorean triple can be generated from some choice of these integers. | Отсюда, любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых. |
| The area of a Pythagorean triangle cannot be the square or twice the square of a natural number. | Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом или удвоенным квадратом натурального числа. |
| During his lifetime, Fermat challenged several other mathematicians to prove the non-existence of a Pythagorean triangle with square area, but did not publish the proof himself. | В течение жизни Ферма предлагал некоторым другим математикам доказать несуществование пифагорова треугольника с площадью, являющейся квадратом, но сам доказательство не опубликовал. |
| By multiplying the sides by a common denominator, any congruent number may be transformed into the area of a Pythagorean triangle, from which it follows that the congruent numbers are exactly the numbers formed by multiplying a congruum by the square of a rational number. | Умножая обе стороны на общий знаменатель, можно любое конгруэнтное число преобразовать в площадь пифагорова треугольника, откуда следует, что конгруэнтные числа - это в точности числа, получаемые умножением шага в арифметической последовательности квадратов на квадрат рационального числа. |
| Not every Heronian triple is a Pythagorean triple, however, as the example (4, 13, 15) with area 24 shows. | Не всякая тройка Герона является пифагоровой, поскольку, например, тройка (4, 13, 15) с площадью 24 не пифагорова. |
| Primitive Pythagorean triples have been used in cryptography as random sequences and for the generation of keys. | Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей. |
| All primitive Pythagorean triples are descended in this way from the triple (3, 4, 5), and no primitive triple appears more than once. | Все примитивные пифагоровы тройки являются потомками тройки (З, 4, 5), и ни одна тройка при таком построении не появляется дважды. |
| (Applying this map with t a rational number gives a systematic construction of Pythagorean triples.) | (Если подставлять вместо t рациональные числа, получим пифагоровы тройки.) |
| If a right triangle has integer side lengths a, b, c (necessarily satisfying the Pythagorean theorem a2 + b2 = c2), then (a, b,c) is known as a Pythagorean triple. | Если прямоугольный треугольник имеет стороны а, Ь, с (по теореме Пифагора a2+b2=c2), то (a, b,c) известны как пифагоровы тройки. |
| Clearly, any Pythagorean triple is a Heronian triple, since in a Pythagorean triple at least one of the legs a, b must be even, so that the area ab/2 is an integer. | Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов а и Ь является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. |
| "actually, you haven't proven the pythagorean theorem"? | "вообще-то это не вы доказали теоремы Пифагора"? |
| Jeffreys wrote that Bayes' theorem "is to the theory of probability what the Pythagorean theorem is to geometry". | Сэр Гарольд Джеффрис писал, что теорема Байеса «для теории вероятности, то же, что теорема Пифагора для геометрии». |
| If a right triangle has integer side lengths a, b, c (necessarily satisfying the Pythagorean theorem a2 + b2 = c2), then (a, b,c) is known as a Pythagorean triple. | Если прямоугольный треугольник имеет стороны а, Ь, с (по теореме Пифагора a2+b2=c2), то (a, b,c) известны как пифагоровы тройки. |
| He even taught me the Pythagorean theorem. | Он даже объяснил мне теорему Пифагора. |
| So a kid who's 14 in high school gets this version of the Pythagorean theorem, which is a truly subtle and interesting proof, but in fact it's not a good way to start learning about mathematics. | Так, подросток 14 лет в старших классах средней школы получает вот такую версию теоремы Пифагора, с доказательством ловким и интересным, но на самом-то деле это не лучший способ для начала изучения математики. |
| If X corresponds to a Pythagorean triple, then as a matrix it must have rank 1. | Если Х соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1. |
| In every Pythagorean triple, the radius of the incircle and the radii of the three excircles are natural numbers. | В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. |
| Every centered square number except 1 is the third term of a leg-hypotenuse Pythagorean triple (for example, 3-4-5, 5-12-13). | Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13). |
| For instance, in the illustration to the left, the two squares in the Pythagorean tiling have side lengths 5 and 12 units long, and the side length of the tiles in the overlaying square tiling is 13, based on the Pythagorean triple (5,12,13). | Например, на рисунке слева два квадрата пифагоровой мозаики имеют длины 5 и 12 единиц, а длина стороны наложенной квадратной мозаики (красные линии) равна 13, что соответствует пифагоровой тройке (5,12,13). |
| Clearly, any Pythagorean triple is a Heronian triple, since in a Pythagorean triple at least one of the legs a, b must be even, so that the area ab/2 is an integer. | Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов а и Ь является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. |
| Every integer greater than 2 is part of a primitive or non-primitive Pythagorean triple. | Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. |
| Any Pythagorean triangle with triple (a, b, c) can be drawn within a 2D lattice with vertices at coordinates (0, 0), (a, 0) and (0, b). | Любую пифагорову тройку (а, Ь, с) можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами (а, 0) и (0, b). |
| Thus, any Pythagorean triangle with square area leads to a smaller Pythagorean triangle with square area, completing the proof. | Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство. |
| There is a correspondence between points on the unit circle with rational coordinates and primitive Pythagorean triples. | Таким образом, существует соответствие между точками с рациональными координатами на единичной окружности и примитивными пифагоровыми треугольниками. |
| By acting on the spinor ξ in (1), the action of Γ goes over to an action on Pythagorean triples, provided one allows for triples with possibly negative components. | Действуя на спинор ξ в (1), действие в Γ переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. |
| Also no primitive Pythagorean triangle can be constructed from two smaller integer Pythagorean triangles. | Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников. |
| Thus, any Pythagorean triangle with square area leads to a smaller Pythagorean triangle with square area, completing the proof. | Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство. |
| Fragments of early proofs are preserved in the works of Plato and Aristotle, and the idea of a deductive system was probably known in the Pythagorean school and the Platonic Academy. | Фрагменты ранних доказательств сохранились в трудах Платона и Аристотеля, и идея дедуктивной системы, возможно, была известна в пифагорейской школе и Платоновской Академии. |
| The frequency with which Androcydes is mentioned in other works indicates that he was a major source for the later Pythagorean tradition, and he is also of interest in studying the historical development of the literary and philosophical symbol. | Частота, с которой упоминается Андрокид в других работах, показывает, что он являлся важным источником для последующей пифагорейской традиции, и он представляет интерес с точки зрения изучения исторического развития философского и литературного Символизма. |