| In another direction the classical topic of modular forms has blossomed into the modern theory of automorphic forms. | В другом направлении, классическая теория модулярных форм расцвела в виде современной теории автоморфных форм. |
| Hecke operators may be studied geometrically, as correspondences connecting pairs of modular curves. | Операторы Гекке можно изучать геометрически как соответствие связанных пар модулярных кривых. |
| Thus they form a natural higher-dimensional generalization of modular curves viewed as moduli spaces of elliptic curves with level structure. | Тогда они образуют естественное обобщение модулярных кривых более высокой размерности, которые рассматриваются как пространства модулей эллиптических кривых с уровневой структурой. |
| The aim of their collaboration was to introduce novel representation theory into classical modular forms and number theory. | Предметом их сотрудничества было введение новой теории представлений в классической теории модулярных форм и теории чисел. |
| And again, in 1999, Imin Chen gave another variant proof by modular functions (following Siegel's outline). | Затем в 1999 Имин Чен дал другой вариант доказательства с использованием модулярных функций (согласно наброску Сигела). |
| Deuring, Siegel, and Chowla all gave slightly variant proofs by modular functions in the immediate years after Stark. | Дойринг, Зигель и Чоула дали слегка другой вариант доказательства на основе модулярных функций сразу после Старка. |
| The same groups also appeared in analytic number theory as the study of classical modular forms and their generalisations developed. | Те же группы появляются также в аналитической теории чисел при изучении классических модулярных форм и при разработке их обобщений. |
| There are many other examples that have been found, including most Hilbert modular surfaces, fake projective planes, Barlow surfaces, and so on. | Найдено много других примеров, включая большинство модулярных поверхностей Гильберта, ложные проективные плоскости, поверхности Барлоу и так далее. |
| For instance, in 1985, Monsur Kenku gave a proof using the Klein quartic (though again utilizing modular functions). | Например, в 1985, Монсур Кенку дал доказательство, используя квартику Клейна (хотя также с использованием модулярных функций). |
| Similar geometries occur for PSL(2,n) and more general groups for other modular curves. | Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n) и более общих групп для других модулярных кривых. |
| His proof of the conjecture used techniques from the modular representation theory of groups, which he later applied to work on cohomology of groups and algebraic K-theory. | Его доказательство гипотезы использовало методы из теории модулярных представлений групп, которую он впоследствии использовал для работы над когомологиями групп и в алгебраической К-теории. |
| He also made major investigations in the areas of gamma functions, modular forms, divergent series, hypergeometric series and prime number theory. | Он также получил важные результаты в области исследования гамма-функции, модулярных форм, расходящихся рядов, гипергеометрических рядов и теории простых чисел. |
| It follows, using some results of Richard Brauer from modular representation theory, that the prime divisors of the orders of the elements of each conjugacy class of a finite group can be deduced from its character table (an observation of Graham Higman). | Из некоторых результатов Ричарда Брауэра в теории модулярных представлений вытекает, что простые делители порядков элементов каждого класса сопряжённости конечной группы могут быть выведены из таблицы характеров группы (наблюдение Грэма Хигмана). |
| Stark formally filled in the gap in Heegner's proof in 1969 (other contemporary papers produced various similar proofs by modular functions, but Stark concentrated on explicitly filling Heegner's gap). | Старк формально заполнил пробелы доказательства Хигнера в 1969 (другие современники давали различные похожие доказательства с помощью модулярных функций, но Старк концентрировался исключительно на заполнении пробелов Хигнера). |
| Congruence subgroups of 2×2 matrices are fundamental objects in the classical theory of modular forms; the modern theory of automorphic forms makes a similar use of congruence subgroups in more general arithmetic groups. | Конгруэнтные подгруппы матриц 2× 2 {\displaystyle 2\times 2} - фундаментальные объекты в классической теории модулярных форм, в современной теории автоморфных форм вместо них используются конгруэнтные подгруппы более общих арифметических групп. |
| Here the central extension involved is well known in modular form theory, in the case of forms of weight 1/2. | Здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}. |
| Shimura then wrote a long series of major papers, extending the phenomena found in the theory of complex multiplication and modular forms to higher dimensions (amongst other results). | Шимура затем написал множество статей, в которых результаты теории комплексного умножения и модулярных форм распространялись на многообразия высших размерностей. |
| The cusp form idea came out of the cusps on modular curves but also had a meaning visible in spectral theory as 'discrete spectrum', contrasted with the 'continuous spectrum' from Eisenstein series. | Идея cusp form появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как дискретный спектр, контрастирующий с непрерывным спектром из рядов Эйзенштейна. |
| The biggest unconditional results came in 2009 when Jonathan Pila used techniques from o-minimal geometry and transcendental number theory to prove the conjecture for arbitrary products of modular curves, a result which earned him the 2011 Clay Research Award. | Самый большой результат, не предполагающий верности гипотезы Римана, появился в 2009, когда Джонатан Пайла использовал технику o-минимальной геометрии и теории трансцендентных чисел, чтобы доказать гипотезу для произвольных произведений модулярных кривых, за что ему была врученa в 2011 исследовательская премия Клэя. |
| Eisenstein series, named after German mathematician Gotthold Eisenstein, are particular modular forms with infinite series expansions that may be written down directly. | Ряды Эйзенштейна, названные в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна - специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда. |
| He has made deep contributions to the field of analytic number theory, mainly in modular forms on GL(2) and sieve methods. | Он внёс значительный вклад в аналитическую теорию чисел, особенно в исследованиях модулярных функций GL(2) и теории решет». |
| And on the side of modular forms, there were examples such as Hilbert modular forms, Siegel modular forms, and theta-series. | На стороне модулярных форм были такие примеры, как модулярные формы Гильберта, модулярные формы Зигеля и тэта-ряды. |
| In order to do so, we make use of modular polynomials, which come from the study of modular forms and an interpretation of elliptic curves over the complex numbers as lattices. | Чтобы это получить, используем модулярные многочлены, которые возникают при изучении модулярных форм и интерпретации эллиптических кривых над полем комплексных чисел как решёток. |
| This interpretation allows one to give a purely algebraic definition of modular curves, without reference to complex numbers, and, moreover, prove that modular curves are defined either over the field Q of rational numbers, or a cyclotomic field. | Эта интерпретация позволяет дать чисто алгебраическое определение модулярных кривых без ссылок на комплексные числа, и, более того, доказывает, что модулярные кривые являются полем определения либо над полем Q рациональных чисел, либо над круговым полем. |