| It follows that the action of the modular group is transitive on the set of standard triples. | Отсюда следует, что действие модулярной группы транзитивно на множестве стандартных троек. |
| The automorphisms of the dyadic monoid is the modular group; the automorphisms can be pictured as hyperbolic rotations of the binary tree. | Группа автоморфизмов диадического моноида является модулярной; автоморфизмы могут быть визуализированы как гиперболическое вращение бинарного дерева. |
| These are all the elements of the modular group with finite order, and they act on the torus as periodic diffeomorphisms. | Они все являются элементами модулярной группы с конечным порядком и они действуют на торе как периодические диффеоморфизмы. |
| For n = 2 {\displaystyle n=2}, it is closely related to the modular group. | Для n = 2 {\displaystyle n=2} она тесно связана с модулярной группой. |
| The level N modular curve X(N) is the moduli space for elliptic curves with a basis for the N-torsion. | Уровень N модулярной кривой X(N) - это пространство модулей для эллиптических кривых с базисом для N-кручения. |
| It follows that the Riemann surface in question can be taken to be H/Γ with H the upper half-plane and Γ of finite index in the modular group, compactified by cusps. | Из теоремы следует, что рассматриваемая риманова поверхность может пониматься как H/Γ, где H - верхняя полуплоскость, а Γ - подгруппа с конечным индексом в модулярной группе, компактифицированная путём добавления каспов. |
| This can be visualized by the associated tilings, as depicted at right: the (2,3,7) tiling on the Poincaré disc is a quotient of the modular tiling on the upper half-plane. | Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке - мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства. |
| The relationship to fractals and dynamical systems results from the fact that many fractal patterns have the symmetries of Fuchsian groups in general (see, for example Indra's pearls and the Apollonian gasket) and the modular group in particular. | Связь с фракталами и динамическими системами возникает из факта, что многие фрактальные объекты имеют симметрии фуксовых групп в общем (см., например, статьи «Indra's pearls» и «Сетка Аполлония») и модулярной группы в частности. |
| Choosing a concrete isomorphism allows one to exhibit the (2,3,7) triangle group as a specific Fuchsian group in SL(2,R), specifically as a quotient of the modular group. | Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай фуксовой группы в SL(2,R), а именно как факторгруппу модулярной группы. |
| His thesis on modular symbols took inspiration from the work of Yuri Manin and Barry Mazur from the 1970s. | Его тезисы по модулярной символике основывались на работах 1970 годов Юрия Манина и Барри Мазура. |
| The points of a modular curve parametrize isomorphism classes of elliptic curves, together with some additional structure depending on the group Γ. | Точки модулярной кривой параметризуют классы изоморфизмов эллиптических кривых, вместе с некоторой дополнительной структурой, зависящей от группы Γ {\displaystyle \mathrm {\Gamma}}. |
| Under this covering, the preimage of the modular group PSL(2,Z) is the braid group on 3 generators, B3, which is the universal central extension of the modular group. | При таком накрытии прообраз модулярной группы PSL(2,Z) является группой кос на 3 генераторах, B3, которая является универсальным центральным расширением модулярной группы. |
| Icosahedral symmetry is equivalently the projective special linear group PSL(2,5), and is the symmetry group of the modular curve X(5), and more generally PSL(2,p) is the symmetry group of the modular curve X(p). | Икосоэдральная симметрия эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5), а более обще PSL(2,p) является группой симметрии модулярной кривой X(p). |
| This theta function is a modular form of weight n/2 (on an appropriately defined subgroup) of the modular group. | Эта тета-функция является модулярной формой с весом n 2 {\displaystyle {\tfrac {n}{2}}} (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. |
| Since the modular group has non-congruence subgroups, it is not the conclusion that any such curve is a modular curve. | Поскольку модулярная группа имеет неконгруэнтные подгруппы, отсюда не вытекает, что любая такая кривая является модулярной кривой. |
| The prototypical theorem, the Eichler-Shimura congruence relation, implies that the Hasse-Weil zeta function of a modular curve is a product of L-functions associated to explicitly determined modular forms of weight 2. | Из отношения конгруэнтности Эйхлера - Шимуры следует, что дзета-функция Хассе - Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, ассоциированных с явно определёнными модулярными формами веса 2. |
| The latter lattice is one of a finite set of sublattices permuted by the modular group PSL(2, Z), which is based on changes of basis for Λ. | Последняя является одной из конечного набора подрешёток, переставляемых модулярной группой Р S L (2, Z) {\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z})}, которая основывается на изменении базиса решётки Λ {\displaystyle \Lambda}. |