| However, the other faces contribute a number that nonzero mod 3, regardless of whether they are inside or outside the Hamiltonian cycle. | Однако другие грани дают ненулевое по модулю З значение, независимо от того, находятся ли они внутри или вне гамильтонова цикла. |
| In his original paper, Rosa proved that all eulerian graphs with size equivalent to 1 or 2 (mod 4) are not graceful. | В своей работе Роза доказал, что все эйлеровы циклы размером, сравнимым с 1 или 2 (по модулю 4), грациозными не являются. |
| Add a new element, call it ∞, to the 11 elements of the finite field F11 (that is, the integers mod 11). | Добавим новый элемент, который обозначим как ∞, к 11 элементам конечного поля F11 (то есть вычетам по модулю 11). |
| It has been further shown that if a solution exists for q congruent to 1 or 2 mod 4, then q is a sum of two square numbers. | Было доказано, что если решение существует для q, сравнимых с 1 или 2 по модулю 4, то q является суммой двух полных квадратов. |
| When v is congruent to 1 (mod 4) and at least five, the (4, v)-Ulam numbers are again regular. | Когда v совпадает с 1 (по модулю 4) и не менее пяти, последовательность (4, v)-чисел Улама снова периодическая. |
| The first Koszul homology H1(K(x, y)) therefore measures exactly the relations mod the trivial relations. | Первые гомологии Кошуля H1(K(x, y)), таким образом, описывают соотношения по модулю тривиальных соотношений. |
| The first 4 primes p for which 15347 has a square root mod p are 2, 17, 23, and 29 (in other words, 15347 is a quadratic residue modulo each of these primes). | Первые 4 простых числа p для которых у 15347 есть квадратный корень по модулю p, равны 2, 17, 23, и 29 (Другими словами, 15347 является квадратичным вычетом для этих простых чисел). |
| One easily checks that for each of the following four vectors, (1,1,1,-3), (1,1,-3,1), (1,-3,1,1) and (-3,1,1,1), the sum of the coordinates is zero and all coordinates are congruent to 1 (mod 4). | Легко проверить, что для каждого из следующих четырёх векторов (1,1,1,-3), (1,1,-3,1), (1,-3,1,1) и (-3,1,1,1), сумма координат равна нулю и все координаты сравнимы с 1 по модулю 4. |
| In 2007, a tighter upper bound was found by Johannes Bader and Gilles Clément, by proving that Tamura's upper bound couldn't be reached for any k congruent to 0 or 2 (mod 6). | В 2007 Иоганес Бадер и Жиль Клеман (Johannes Bader, Gilles Clément) нашли более сильную границу, доказав, что верхняя граница Тамуры не может быть достигнута для любого k, сравнимого с 0 или 2 по модулю 6. |
| However, as Mordell (1967) showed, a polynomial identity that provides a solution for values of n congruent to r mod p can exist only when r is not a quadratic residue modulo pp. | Однако как показал Морделл, уравнения, обеспечивающие решение для n, сравнимого с r по модулю p, могут существовать только для r, не являющихся квадратичным вычетом по модулю pp. |
| For any planar graph, the faces whose number of sides is 2 mod 3 contribute 0 mod 3 to the sum in Grinberg's theorem, because of the factor of k - 2 in the sum. | Для любого планарного графа, грани, в которых число сторон сравнимо с 2 по модулю 3, дают 0 по модулю 3 в суму в теореме Гринберга, поскольку множитель k - 2 в сумме для них обращается в нуль. |
| And what I want you to notice, is that when you compute P of N... for N congruent to four mod five... the answer is a multiple of five. | Обратите внимание на то, что при расчёте разбиений Р числа М, где М и четыре сравнимы по модулю пяти, ответ всегда делится На ПЯТЬ. |
| In the beginning of the 20th century... he proved that it was the case for all... numbers congruent to four mod five. | В начале 20 века он доказал, что это справедливо для всех чисел, сравнимых с 4 по модулю пяти. |
| The modular matrix multiplication C = AB (mod n) is simply replaced everywhere by the group multiplication c = ab. | Умножение матриц по модулю С = АВ (mod n) просто заменяется групповым умножением c = ab. |
| This will give us a congruence of squares of the form a2=b2 (mod n), which can be turned into a factorization of n, n = gcd(a-b, n)×gcd(a+b, n). | Это даст нам сравнимость квадратов по модулю вида a2=b2 (mod n), что можно преобразовать в разложение числа n, n = НОД(a-b, n)×НОД(a+b, n). |
| So, he proved that P of five N plus four... is congruent to zero mod seven... and that P of eleven N plus six is congruent to zero mod eleven. | Он доказал, что Р из пяти М плюс четыре сравнимо с нулем по модулю семи и что Р из 11 М плюс шесть сравнимо с нулём по модулю 11. |
| Another topic that has seen a thorough development is the theory of uniform distribution mod 1. | Другой исследуемый раздел - это теория равнораспределенной последовательности по модулю 1. |