| The commutativity and associativity of rational addition is an easy consequence of the laws of integer arithmetic. | Коммутативность и ассоциативность сложения рациональных чисел является следствием законов целочисленной арифметики. |
| Heronian triangles that have no integer altitude (indecomposable and non-Pythagorean) have sides that are all divisible by primes of the form 4k+1. | Героновы треугольники, не имеющие целочисленной высоты (неразложимые и не пифагоровы), имеют стороны, делящиеся на простые вида 4k+1. |
| The dual of this linear program computes the "fractional clique number", a relaxation to the rationals of the integer concept of clique number. | Двойственная задача этой задачи линейного программирования вычисляет "дробное кликовое число", ослабление до дробных чисел целочисленной концепции кликового числа. |
| Several authors have shown that subsets of the integer lattice of size O(n)× O(n) are universal. | Некоторые авторы показали, что подмножество целочисленной решётки размера O(n)× O(n) является универсальным. |
| Algorithms designed for integer sorting may also often be applied to sorting problems in which the keys are floating point numbers, rational numbers, or text strings. | Алгоритмы целочисленной сортировки можно применять и для задач, в которых ключами являются числа с плавающей запятой или текстовые строки. |
| There is a natural geometric perspective on graph colorings by observing that, as an assignment of natural numbers to each vertex, a graph coloring is a vector in the integer lattice. | Существует естественный геометрический подход к раскраске графов, если заметить, что при назначении натуральных чисел каждой вершине раскраска графов является вектором целочисленной решётки. |
| Andersson, Miltersen & Thorup (1999) showed that in some cases the multiplications or table lookups required by some integer sorting algorithms could be replaced by customized operations that would be more easily implemented in hardware but that are not typically available on general-purpose computers. | Андерсон, Милтерсен и Торуп показали, что в некоторых случаях умножение или табличный поиск, необходимый для некоторых алгоритмов целочисленной сортировки, можно заменить на специализированные операции, которые могут быть легко реализованы аппаратными средствами, но обычно недоступны на компьютерах общего назначения. |
| Although its FPU performance fit scientific users quite well, its limited integer performance and high cost dampened appeal for most users, and the R8000 was in the marketplace for only a year and remains fairly rare. | Хотя производительность этого FPU и была наиболее подходящей для научных сотрудников, ограниченность его целочисленной производительности и высокая цена не смогли привлечь большинство пользователей, поэтому R8000 был на рынке всего год, и даже сейчас его едва ли можно найти. |
| The second application is to search for an integer relation between a real number x and a set of mathematical constants such as e, π and ln(2), which will lead to an expression for x as a linear combination of these constants. | Второе приложение - поиск целочисленной связи между вещественным числом х и набором математических констант, таких как ё, π {\displaystyle \pi} и ln(2), что приводит к выражению x в виде линейной комбинации этих констант. |
| The moment curve has also been used in graph drawing, to show that all n-vertex graphs may be drawn with their vertices in a three-dimensional integer grid of side length O(n) and with no two edges crossing. | Кривая моментов используется также для визуализации графов, чтобы показать, что все графы с n вершинами можно нарисовать с вершинами на трёхмерной целочисленной решётке с длиной стороны O(n) без пересечения рёбер. |
| Using fast polynomial and integer arithmetic reduces this to O ~ (log 5 q) {\displaystyle {\tilde {O}}(\log ^{5}q)}. | Использование быстрых операций с многочленами и целочисленной арифметики сокращает это время до О ~ (log 5 q) {\displaystyle {\tilde {O}}(\log ^{5}q)}. |
| Even in four dimensions, the set of possible f-vectors of convex polytopes does not form a convex subset of the four-dimensional integer lattice, and much remains unknown about the possible values of these vectors. | Даже для размерности четыре множество всех возможных f-векторов выпуклых многогранников не образует выпуклое подмножество четырёхмерной целочисленной решётки и много остаётся неясным о возможных значениях этих векторов. |
| The automorphism group (or group of congruences) of the integer lattice consists of all permutations and sign changes of the coordinates, and is of order 2n n! | Группа автоморфизмов (или группа конгруэнции) целочисленной решётки состоит из всех перестановок и сменой знаков координат и имеет порядок 2n n!. |
| The optimal solutions of the integer problem are the points (1, 2) {\displaystyle (1,2)} and (2, 2) {\displaystyle (2,2)} which both have an objective value of 2. | Оптимальные решения целочисленной задачи - точки (1, 2) {\displaystyle (1,2)} и (2, 2) {\displaystyle (2,2)}, на которых целевая функция принимает значение 2. |
| Additionally, for large data sets, the near-random memory access patterns of many integer sorting algorithms can handicap them compared to comparison sorting algorithms that have been designed with the memory hierarchy in mind. | Кроме того, для больших наборов данных почти произвольный характер доступа к памяти алгоритмов целочисленной сортировки является ограничением, особенно в сравнении с другими алгоритмами сортировок, которые были разработаны с учётом иерархичной структуры памяти. |
| The inverse of an integer matrix M {\displaystyle M} is again an integer matrix if and only if the determinant of M {\displaystyle M} is exactly 1 {\displaystyle 1} or - 1 {\displaystyle -1}. | Матрица, обратная целочисленной матрице М {\displaystyle M}, является целочисленной тогда и только тогда, когда определитель M {\displaystyle M} равен 1 {\displaystyle 1} или - 1 {\displaystyle -1}. |
| Conversely, it turns out that, in every median graph, one may label the vertices by points in an integer lattice in such a way that medians can be calculated coordinatewise in this way. | И наоборот, оказывается, что можно расположить вершины на целочисленной решётке так, что медианы можно вычислить как медианы координат. |
| Different integer sorting algorithms make different assumptions, however, about whether integer multiplication is also allowed as a unit-time operation. | Различные алгоритмы целочисленной сортировки делают разные предположения о том, можно ли выполнять целочисленное умножение за один квант времени. |