| The absolute values of coefficients of every chromatic polynomial form a log-concave sequence. | Абсолютные значения коэффициентов любого хроматического многочлена образует логарифмически вогнутую последовательность. |
| The Thue number (a variant of the chromatic index) of the Petersen graph is 5. | Число Туэ (вариант хроматического индекса) графа Петерсена равно 5. |
| Unlike the chromatic index, the arboricity of a graph may be computed in polynomial time. | В отличие от хроматического числа, ширина леса может быть вычислена за полиномиальное время. |
| Polynomial time algorithms are known for computing the chromatic polynomial for wider classes of graphs, including chordal graphs and graphs of bounded clique-width. | Известны алгоритмы полиномиального времени для вычисления хроматического многочлена для широкого класса графов, в который входят хордальные графы и графы с ограниченной кликовой шириной. |
| Acyclic orientations are also related to colorings through the chromatic polynomial, which counts both acyclic orientations and colorings. | Ациклические ориентации связаны с раскраской посредством хроматического многочлена, который подсчитывает как ациклические ориентации, так и раскраски. |
| On the other hand, except for these two points, no graph can have a chromatic root at a real number smaller than or equal to 32/27. | С другой стороны, за исключением этих двух случаев, никакой граф не может иметь в качестве хроматического корня вещественное число, меньшее либо равное 32/27. |
| It is also NP-hard to find an optimal coloring of the graph, because (via line graphs) this problem generalizes the NP-hard problem of computing the chromatic index of a graph. | Задача нахождения оптимальной раскраски такого графа тоже NP-трудна, поскольку (через рёберный граф) эта задача обобщает NP-трудную задачу вычисления хроматического числа графа. |
| The problem of computing the number of 3-colorings of a given graph is a canonical example of a #P-complete problem, so the problem of computing the coefficients of the chromatic polynomial is #P-hard. | Задача вычисления числа З-раскрасок данного графа является каноническим примером Р-полной задачи, так что задача вычисления коэффициентов хроматического многочлена Р-трудна. |
| If these conjectures are true, it would be possible to compute a number that is never more than one off from the chromatic index in the multigraph case, matching what is known via Vizing's theorem for simple graphs. | Если гипотеза верна, можно будет находить число, не отличающееся от хроматического индекса более чем на единицу в случае мультиграфов, что соответствует теореме Визинга для простых графов. |
| Between 1945 and 1985 he composed his series of twelve symphonies, each centred on one semi-tone of the chromatic scale, and in 1992 his unnumbered "Symphony In Memoriam John Fussell" (his friend, the Director of the Swansea Festival). | В период с 1945 по 1985 год он написал серию из двенадцати симфоний, каждая из которых была сосредоточена на одном полутоне хроматического масштаба, а в 1992 году добавил к ним ещё одну «Симфонию памяти Джона Фасселла» (его друга, директор фестиваля Суонси). |
| Most flutes from the Classical era, and some of modern manufacture include metal keys and additional tone holes to achieve partial or complete chromatic tonality. | Многие классические и некоторые современные вариации на тему этой флейты включают использование металлических клапанов и дополнительных тоновых отверстий, что позволяет достичь частичного или полного хроматического звукоряда. |
| Tutte called this function the dichromate, as he saw it as a generalization of the chromatic polynomial to two variables, but it is usually referred to as the Tutte polynomial. | Тат назвал эту функцию дихроматической и показал, что она является обобщением хроматического многочлена на две переменные, но этот многочлен обычно упоминается как многочлен Тата. |
| A root (or zero) of a chromatic polynomial, called a "chromatic root", is a value x where P (G, x) = 0 {\displaystyle P(G, x)=0}. | Корень (или нуль) хроматического многочлена (называется «хроматическим корнем») - это значение х, для которого Р (G, x) = 0 {\displaystyle P(G, x)=0}. |
| Thus, the list chromatic index is always at least as large as the chromatic index. | Предписанный хроматический индекс всегда не меньше хроматического числа. |
| Several authors have made conjectures that imply that the fractional chromatic index of any multigraph (a number that can be computed in polynomial time using linear programming) is within one of the chromatic index. | Некоторые авторы высказали гипотезу, что дробный хроматический индекс любого мультиграфа (число, которое можно вычислить за полиномиальное время с помощью линейного программирования) отличается от хроматического индекса не более чем на единицу. |