| The Petersen graph has chromatic index 4; coloring the edges requires four colors. | Граф Петерсена имеет хроматический индекс 4, то есть раскраска рёбер требует четырёх цветов. |
| Edge coloring Tietze's graph requires four colors; that is, its chromatic index is 4. | Рёберная раскраска графа Титце требует четырёх цветов, то есть его хроматический индекс равен 4. |
| The chromatic polynomial is categorified by a homology theory closely related to Khovanov homology. | Хроматический многочлен категоризирован с помощью теории гомологий, близко связанной с гомологией Хованова. |
| The chromatic polynomial of a graph, for example, counts the number of its proper vertex colorings. | Хроматический многочлен графа, например, подсчитывает число его правильных раскрасок вершин. |
| However, in an outerplanar graph, the chromatic index is equal to the maximum degree except when the graph forms a cycle of odd length. | Для внешнепланарных графов хроматический индекс равен максимальной степени, если только граф не является циклом нечётной длины. |
| For example, the natural map from the circle of fifths to the chromatic circle is a map of degree 7. | Например, естественное отображение квинтового круга в хроматический круг является отображением степени 7. |
| The Ljubljana graph is Hamiltonian and bipartite The chromatic index of the Ljubljana graph is 3. | Граф Любляны является гамильтоновым и двудольным хроматический индекс графа Любляны равен З. |
| George David Birkhoff introduced the chromatic polynomial in 1912, defining it only for planar graphs, in an attempt to prove the four color theorem. | Джордж Дейвид Биркгоф ввёл хроматический многочлен в 1912, определяя его только для планарных графов в попытке доказать теорему о четырёх красках. |
| In this context the chromatic polynomial counts the number of lattice points in the {\displaystyle} -cube that avoid the graphic arrangement. | В этом контексте хроматический многочлен подсчитывает точки решётки в {\displaystyle} -кубе, которые не попадают на графическую конфигурацию. |
| R. M. Foster had already observed that the chromatic polynomial is one such function, and Tutte began to discover more. | Р. М. Фостер уже заметил, что хроматический многочлен является одной из таких функций, а Тат начал обнаруживать другие. |
| Another theorem about bipartite graphs, that their chromatic index equals their maximum degree, is equivalent to the perfection of the line graphs of bipartite graphs. | Другая теорема о двудольных графах, о том что хроматический индекс равен максимальной степени графа, эквивалентна совершенству рёберного графа двудольных графов. |
| (By Vizing's theorem, the chromatic index of a cubic graph is 3 or 4.) | (По теореме Визинга хроматический индекс кубического графа равен З или 4.) |
| Line perfect graphs generalize the bipartite graphs, and share with them the properties that the maximum matching and minimum vertex cover have the same size, and that the chromatic index equals the maximum degree. | Рёберно совершенные графы обобщают двудольные графы и разделяют с ними свойства, что наибольшее паросочетание и наименьшее вершинное покрытие имеют одинаковые размеры, а хроматический индекс равен максимальной степени. |
| For example, the edges of the graph in the illustration can be colored by three colors but cannot be colored by two colors, so the graph shown has chromatic index three. | Например, рёбра графа на иллюстрации можно раскрасить в три цвета, но нельзя раскрасить в два, так что граф имеет хроматический индекс З. |
| Now Kőnig's Line Coloring Theorem, stating that the chromatic index equals the maximum vertex degree in any bipartite graph, can be interpreted as stating that the line graph of a bipartite graph is perfect. | Теперь теорема Кёнига о рёберноё раскраске, утверждающая, что хроматический индекс равен максимальной степени вершин в двудольном графе, может быть интерпретирована как утверждение, что рёберный граф двудольного графа совершенен. |
| Thus, the Erdős-Faber-Lovász conjecture is equivalent to the statement that any simple hypergraph with n vertices has chromatic index (edge coloring number) at most n. | Таким образом, гипотеза Эрдёша - Фабера - Ловаса эквивалентна утверждению, что любой простой гиперграф с n вершинами имеет хроматический индекс (число цветов рёберной раскраски), не превосходящий n. |
| However, the inequality χ' >= m/β does not fully explain the chromatic index of every regular graph, because there are regular graphs that do have perfect matchings but that are not k-edge-colorable. | Однако неравенство χ' ⩾ m β {\displaystyle \chi {\prime}\geqslant m\beta} не полностью объясняет хроматический индекс произвольного регулярного графа, поскольку есть регулярные графы, имеющие совершенное паросочетание, но не рёберно k-раскрашиваемы. |
| The scientists of Sotierre say some people have this power by which they have a chromatic view of sounds | Ученые из Сотиерре говорят, что некоторые люди обладают способностью, которая позволяет им видеть хроматический цвет звука. |
| Chromatic analysis takes time. | Хроматический анализ занимает время. |
| Tutte writes, "Playing with my W-functions I obtained a two-variable polynomial from which either the chromatic polynomial or the flow-polynomial could be obtained by setting one of the variables equal to zero, and adjusting signs." | Тат писал: «Играя с Ш-функциями, я получил многочлен от двух переменных, из которого можно было получить хроматический многочлен или потоковый многочлен путём присвоения одной переменной нулю и поправки знаков». |
| Chromatic kantele is also built that way. | Хроматический каннепь тоже такой. |
| However, there are still many open problems, such as characterizing graphs which have the same chromatic polynomial, and determining which polynomials are chromatic. | Однако остаётся много открытых вопросов, таких как определение графов, имеющих тот же самый хроматический многочлен, и определение, какие многочлены являются хроматическими. |
| Additionally, the graph has fractional chromatic index 3, proving that the difference between the chromatic index and fractional chromatic index can be as large as 1. | Кроме того, граф имеет дробный хроматический индекс З, что подтверждает утверждение, что разница между хроматическим индексом и дробным хроматическим индексом может быть равна 1. |
| They include: The conjecture of Goldberg (1973) that the chromatic index and fractional index are within one of each other, which would allow the chromatic index to be approximated within one color in polynomial time. | Они включают: Гипотеза Голдберга, что хроматический индекс и дробный индекс отличаются не более чем на единицу, что позволило бы аппроксимировать хроматический индекс с ошибкой в один цвет за полиномиальное время. |
| Thus, the list chromatic index is always at least as large as the chromatic index. | Предписанный хроматический индекс всегда не меньше хроматического числа. |