| Frederickson showed that an r-division can be found in O(n log n) time by recursive application of separator theorem. | Фредериксон показал, что г-деление может быть найдено за время O(n log n) путём рекурсивного применения теоремы о разбиении. |
| The planar separator theorem states that a similar partition can be constructed in any planar graph. | Теорема о планарном разбиении утверждает, что аналогичное разбиение может быть построено для любого планарного графа. |
| Frederickson proposed another faster algorithm for single source shortest paths by implementing separator theorem in planar graphs in 1986. | Фредериксон предложил в 1986 году другой быстрый алгоритм для кратчайшего пути из единственного источника путём использования теоремы о разбиении для планарных графов. |
| Similar methods involving separator theorems for geometric graphs may be used to solve Euclidean travelling salesman problem and Steiner tree construction problems in time bounds of the same form. | Подобные методы, использующие теоремы о разбиении геометрических графов, можно использовать для решения евклидовой задачи коммивояжёра и построения дерева Штейнера в тех же временных границах. |
| (However, the faster algorithm for unweighted graphs is not based on the separator theorem.) | (Однако более быстрый алгоритм для невзвешенных графов не основан на теореме о разбиении.) |
| A construction based on the planar separator theorem can be used to show that n-vertex planar graphs have universal graphs with O(n3/2) edges, and that bounded-degree planar graphs have universal graphs with O(n log n) edges. | Построение, основанное на теореме о планарном разбиении, может быть использовано, чтобы показать, что планарные графы с n вершинами имеет универсальные графы с O(n3/2) рёбрами, и что планарные графы ограниченной степени имеют универсальные графы с O(n log n) рёбрами. |
| Lipton & Tarjan (1980) observed that the separator theorem may be used to obtain polynomial time approximation schemes for NP-hard optimization problems on planar graphs such as finding the maximum independent set. | Липтон и Тарьян заметили, что теорему о разбиении можно использовать, чтобы получить приближенные схемы полиномиального времени для NP-трудных оптимизационных задач на планарных графах, таких как нахождение максимального независимого множества. |
| Graphs of bounded genus form an example of a family of graphs closed under the operation of taking minors, and separator theorems also apply to arbitrary minor-closed graph families. | Графы ограниченного рода образуют пример семейства графов, замкнутых относительно операции взятия миноров, и теоремы о разбиении применимы к произвольным семействам графов, замкнутых относительно взятия минора. |
| The same technique applies to any class of graphs for which a similar separator theorem holds. | Та же техника применима к любому классу графов, для которых выполняется подобная теорема о разбиении. |
| This proof of the separator theorem applies as well to weighted planar graphs, in which each vertex has a non-negative cost. | Это доказательство теоремы о планарном разбиении применимо также для взвешенных планарных графов, когда каждая вершина имеет неотрицательную цену. |
| Repeated application of the separator theorem produces a separator hierarchy which may take the form of either a tree decomposition or a branch-decomposition of the graph. | Повторное приложение теоремы о разбиении даёт иерархию сепараторов, которое может принять вид либо древесной декомпозиции, либо декомпозиции графа на ветви. |
| Since their work, the separator theorem has been reproven in several different ways, the constant in the O(n) term of the theorem has been improved, and it has been extended to certain classes of nonplanar graphs. | После их статей теорема о планарном разбиении была передоказана несколькими различными путями, константа O(n) в утверждении теоремы была улучшена. |