| On the other hand, if every vertex has at most two neighbors, then by the handshaking lemma the number of edges is at most the number of vertices. | С другой стороны, если любая вершина имеет максимум два соседа, то по лемме о рукопожатиях число рёбер не превосходит числа вершин. |
| It follows from the handshaking lemma, proven by Leonhard Euler in 1736 as part of the first paper on graph theory, that every cubic graph has an even number of vertices. | Из леммы о рукопожатиях, доказанной Эйлером в 1736 году, как части его первой работы по теории графов, следует, что любой кубический граф имеет чётное число вершин. |
| If a 3-regular graph is Hamiltonian, its edges can be colored with three colors: use alternating colors for the edges on the Hamiltonian cycle (which must have even length by the handshaking lemma) and a third color for all remaining edges. | Если З-однородный граф гамильтонов, его рёбра могут быть выкрашены в три цвета - используем поочерёдную раскраску рёбер двумя цветами вдоль гамильтонова цикла (который должен иметь чётную длину по лемме о рукопожатиях), а третьим цветом выкрашиваем все оставшиеся рёбра. |
| In graphs in which all vertices have odd degree, an argument related to the handshaking lemma shows that the number of Hamiltonian cycles through any fixed edge is always even, so if one Hamiltonian cycle is given, then a second one must also exist. | В графах, в которых все вершины имеют нечётную степень, довод, связанный с леммой о рукопожатиях, показывает, что число гамильтоновых циклов через фиксированное ребро всегда чётно, так что если дан один гамильтонов цикл, то и другой должен существовать. |
| This statement (as well as the degree sum formula) is known as the handshaking lemma. | Данное утверждение (и сама формула) известны как лемма о рукопожатиях. |
| The handshaking lemma is also used in proofs of Sperner's lemma and of the piecewise linear case of the mountain climbing problem. | Лемма о рукопожатиях также использована в одном из доказательств леммы Шпернера, а также задачи «о восхождении на гору». |