| Thus, like the simpler Moser spindle, it provides a lower bound for the Hadwiger-Nelson problem: coloring the points of the Euclidean plane so that each unit line segment has differently-colored endpoints requires at least four colors. | Таким образом, подобно более простому веретену Мозера, граф даёт нижнюю границу для задачи Нелсона - Эрдёша - Хадвигера - раскраска точек евклидовой плоскости, так что единичный отрезок имеет различные цвета на концах, требует по меньшей мере четырёх цветов. |
| In this story, each game represents an edge of O6, each weekday is represented by a color, and a 6-color edge coloring of O6 provides a solution to the players' scheduling problem. | В этой истории каждая игра представляет ребро O6, все дни представлены цветами, а рёберная раскраска в 6 цветов графа O6 даёт расписание. |
| Since circle graph coloring with four or more colors is NP-hard, and since any circle graph can be formed in this way from some book embedding problem, it follows that optimal book embedding is also NP-hard. | Поскольку раскраска кругового графа в четыре и более цветов является NP-трудной задачей, и поскольку любой круговой граф может быть образован таким образом из некоторой задачи нахождения книжного вложения, нахождение оптимального книжного вложения является также NP-трудной задачей. |
| A centered coloring of a graph is a coloring of its vertices with the property that every connected induced subgraph has a color that appears exactly once. | Центрированная раскраска графа - это раскраска вершин, имеющая свойство, что в любом связном порождённом подграфе есть цвет, который встречается ровно один раз. |
| If an oriented coloring is complete, in the sense that no two colors can be merged to produce a coloring with fewer colors, then it corresponds uniquely to a graph homomorphism into a tournament. | Если ориентированная раскраска является полной, в смысле, что никакие два цвета не могут быть слиты в один цвет с получением правильной раскраски, то раскраска соответствует единственному гомоморфизму в турнир. |
| See weak coloring for more information. | См. статью «Слабая раскраска» для дополнительной информации. |
| A circular coloring is then, according to the second definition above, a homomorphism into a circular complete graph. | Цикловая раскраска тогда, согласно второму определению выше, является гомоморфизмом в цикловой полный граф. |
| The Petersen graph has chromatic index 4; coloring the edges requires four colors. | Граф Петерсена имеет хроматический индекс 4, то есть раскраска рёбер требует четырёх цветов. |
| Edge coloring Tietze's graph requires four colors; that is, its chromatic index is 4. | Рёберная раскраска графа Титце требует четырёх цветов, то есть его хроматический индекс равен 4. |
| List coloring remains NP-complete even when restricted to indifference graphs. | Предписанная раскраска остаётся NP-полной, даже когда она ограничена индифферентными графами. |
| Since bipartite edge coloring may be performed in polynomial time, the same is true for this restricted case of open shop scheduling. | Поскольку рёберная раскраска двудольного графа может быть выполнена за полиномиальное время, то это же верно и для указанного специального случая расписания для открытой линии. |
| An edge coloring with an optimal number of colors can be found in linear time based on a breadth-first traversal of the weak dual tree. | Рёберная раскраска с оптимальным числом цветов может быть найдена за линейное время на основе поиска в ширину слабого двойственного дерева. |
| Suppose that, for the given infinite graph G, every finite subgraph is k-colorable, and let X be the space of all assignments of the k colors to the vertices of G (regardless of whether they form a valid coloring). | Предположим, что для заданного бесконечного графа G любой конечный подграф является k-раскрашиваемым, и пусть X - пространство всех назначений k цветов вершинам графа G (независимо от того, является ли данная раскраска правильной). |
| As a special case of this, a 3-edge-coloring of a cubic (3-regular) graph is sometimes called a Tait coloring. | Частный случай, рёберная З-цветная раскраска кубических (З-регулярных) графов иногда называется раскраской Тайта. |
| A 3-coloring may be found in linear time by a greedy coloring algorithm that removes any vertex of degree at most two, colors the remaining graph recursively, and then adds back the removed vertex with a color different from the colors of its two neighbors. | Раскраска тремя цветами может быть найдена за линейное время алгоритмом жадной раскраски, который удаляет любую вершину со степенью, не превосходящей двух и раскрашивает оставшийся граф рекурсивно, а затем возвращает каждую из удалённых вершин с цветом, отличным от цветов двух её соседей. |
| Necessarily, this coloring is an optimal coloring of G*. | Необходимым образом эта раскраска будет оптимальной раскраской G*. |
| A graph vertex coloring is a weak coloring, but not necessarily vice versa. | Раскраска вершин графа является слабой раскраской, но обратное не обязательно верно. |
| A coloring with the number of colors described by Brooks' theorem is sometimes called a Brooks coloring or a Δ-coloring. | Раскраска с использованием числа цветов, указанной в теореме Брукса иногда называется раскраской Брукса, или Δ-раскраской. |
| If these conditions are satisfied, then there always exists an oriented coloring, for instance the coloring that assigns a different color to each vertex. | Если указанные условия выполняются, всегда существует ориентированная раскраска, например, если назначить всем вершинам различные цвета. |
| Equivalently, a complete coloring is minimal in the sense that it cannot be transformed into a proper coloring with fewer colors by merging pairs of color classes. | Эквивалентно, полная раскраска - это минимальная раскраска, в том смысле, что её нельзя преобразовать в правильную раскраску с меньшим числом цветов путём слияния двух цветов. |
| Trahtman (2009) solved the road coloring problem by proving that such a coloring can be found whenever the given graph is strongly connected and aperiodic. | Трахтман(Трахтман 2009) решил задачу раскраски дорог, доказав, что такая раскраска может быть найдена, если заданный граф сильно связен и апериодичен. |
| Note that any coloring of a graph with the minimum number of colors must be a complete coloring, so minimizing the number of colors in a complete coloring is just a restatement of the standard graph coloring problem. | Заметим, что любая раскраска графа с минимальным числом цветов должна быть полной раскраской, так что минимизация числа цветов полной раскраски является просто переформулировкой стандартной задачи раскраски графа. |
| In particular, if we choose a k-coloring for every finite subgraph of an infinite graph G, then there is a k-coloring of G in which each finite graph has a larger supergraph whose coloring agrees with the coloring of the whole graph. | В частности, если мы выбираем к-раскраску для любого конечного подграфа бесконечного графа G, тогда существует k-раскраска графа G, в которой каждый конечный граф имеет больший суперграф, раскраска которого согласуется с раскраской всего графа. |
| The acyclic chromatic number A(G) of a graph G is the least number of colors needed in any acyclic coloring of G. Acyclic coloring is often associated with graphs embedded on non-plane surfaces. | Ациклическим хроматическим числом A(G) графа G называется наименьшее число цветов, необходимое в любой ациклической раскраске G. Ациклическая раскраска часто связывается с графами на поверхностях, не являющихся плоскостями. |
| Coloring one but not both of the trefoil knots all red would also give an admissible coloring. | Узел состоит из двух трилистников, и раскраска одного из двух (но не обоих) трилистников полностью в красный цвет также даёт допустимую раскраску. |