| There are a number of results on the distribution of Pythagorean triples. | Имеется множество результатов относительно распределения пифагоровых троек. |
| The case n = 1 of the more general construction of Pythagorean triples has been known for a long time. | Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно. |
| However decomposable Heronian triangles must have two sides that are the hypotenuse of Pythagorean triangles. | Однако разложимые героновы треугольники должны иметь две стороны, являющиеся гипотенузами пифагоровых треугольников. |
| It follows that there are infinitely many primitive Pythagorean triples. | Отсюда следует, что существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек. |
| There exist infinitely many primitive Pythagorean triples in which the hypotenuse and the longest leg differ by exactly two. | Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. |
| For each natural number k, there exist k Pythagorean triples with different hypotenuses and the same area. | Для любого натурального n существует n пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью. |
| For example, a 5, 29, 30 Heronian triangle with area 72 cannot be constructed from two integer Pythagorean triangles since none of its altitudes are integers. | Так, например, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 и площадью 72 нельзя получить из двух пифагоровых треугольников, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. |
| Around 400 BC, according to Proclus, Plato gave a method for finding Pythagorean triples that combined algebra and geometry. | Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. |
| There exist infinitely many Pythagorean triples with square numbers for both the hypotenuse c and the sum of the legs a + b. | Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза с и сумма катетов а + Ь. |
| Similarly, overlaying two Pythagorean tilings may be used to generate a six-piece dissection of two unequal squares into a different two unequal squares. | Таким же образом наложение двух пифагоровых мозаик может быть использовано для получения разрезания на шесть частей двух неравных квадратов, из которых можно сложить два других неравных квадрата. |
| As Martin (1875) describes, the Pell numbers can be used to form Pythagorean triples in which a and b are one unit apart, corresponding to right triangles that are nearly isosceles. | Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. |
| The set of all primitive Pythagorean triples forms a rooted ternary tree in a natural way; see Tree of primitive Pythagorean triples. | Множество всех примитивных пифагоровых треугольников образует корневое тернарное дерево естественным способом, см. Дерево примитивных пифагоровых троек. |
| Even as late as 1600 Johannes Kepler was still struggling to interpret the structure of the cosmos in terms of Pythagorean solids and Platonic perfection. | Даже в 1600 году Иоганн Кеплер все еще пытался интерпретировать структуру космоса в терминах пифагоровых тел и совершенства Платона. |
| There do not exist two Pythagorean triangles in which the two legs of one triangle are the leg and hypotenuse of the other triangle. | Не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. |
| The Heronian triple (a, b, c) is primitive provided a, b, c are pairwise relatively prime (as with a Pythagorean triple). | Тройка Герона (а, Ь, с) примитивна, если а, Ь и с попарно взаимно просты (как и в случае пифагоровых троек). |
| Also no primitive Pythagorean triangle can be constructed from two smaller integer Pythagorean triangles. | Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников. |
| Such Pythagorean triangles are known as decomposable since they can be split along this altitude into two separate and smaller Pythagorean triangles. | Такие треугольники известны как разбиваемые, поскольку их можно разбить этой высотой на два меньших пифагоровых треугольника. |
| Since Pythagorean triangles have positive integer areas, and there does not exist an infinite descending sequence of positive integers, there also cannot exist a Pythagorean triangle with square area. | Поскольку пифагоровы треугольники имеют положительную целочисленную площадь, а бесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел не существует, не может существовать и пифагоровых треугольников с площадью, являющейся квадратом целого числа. |
| As yet, no set of three primitive Pythagorean triples have been found sharing the same interior lattice count. | Тем не менее ни одной тройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки пока не найдено. |