| Substitution tiling systems provide a rich source of aperiodic tilings. | Системы подстановки плиток дают богатый источник апериодичных мозаик. |
| In 1998, Goodman-Strauss showed that local matching rules can be found to force any substitution tiling structure, subject to some mild conditions. | В 1998 Гудман-Штраус показал, что локальные правила соединения могут быть найдены для любой структуры подстановки плиток, удовлетворяющей некоторым мягким условиям. |
| (In many later examples, this structure can be described as a substitution tiling system; this is described below). | (Во многих последующих примерах эта структура может быть описана как система подстановки плиток, как это описано ниже). |
| The Penrose tiles, and shortly thereafter Amman's several different sets of tiles, were the first example based on explicitly forcing a substitution tiling structure to emerge. | Плитки Пенроуза, а вскоре после этого некоторые наборы плиток Аммана были первыми примерами, основанными на вынужденных структурах подстановки плиток. |
| Since some of these tilings are periodic, it follows that no decoration of the tiles which does force aperiodicity can be determined by looking at any finite patch of the tiling. | Поскольку некоторые из этих мозаик периодичны, отсюда следует, что никакие рисунки на плитках, вынуждающих построение непериодичной мозаики, не могут быть определены, если рассматривать конечное число плиток. |
| If the requirement of flag-transitivity is relaxed to one of vertex-transitivity, while the condition that the tiling is edge-to-edge is kept, there are eight additional tilings possible, known as Archimedean, uniform or semiregular tilings. | Если требование транзитивности флагов ослаблено до транзитивности вершин, но условие соединения плиток ребро-к-ребру сохраняется, существует восемь дополнительных мозаик, которые известны как архимедовы, однородные, или полуправильные. |
| Figure 6 shows a pair of mutually tiling sets of decominoes, in other words, a loop of length 2. | Рисунок 6 показывает пару взаимно замощающих наборов плиток декамино, другими словами, петлю длины 2. |
| No tiling admitted by such a set of tiles can be periodic, simply because no single translation can leave the entire hierarchical structure invariant. | Никакая мозаика из этих наборов плиток не может быть периодической просто потому, что никакой параллельный перенос не может оставить всю иерархическую структуру неизменной. |
| In geometry, a tiling is a partition of the plane (or any other geometric setting) into closed sets (called tiles), without gaps or overlaps (other than the boundaries of the tiles). | В Геометрии замощение - это разбиение плоскости (или другой геометрической структуры) на замкнутые множества (называемые плитками) без промежутков и наложений (отличных от границ плиток). |
| The Penrose tiling can be generated by a subdivision rule on a set of four tile types (the curved lines in the table below only help to show how the tiles fit together): Certain rational maps give rise to finite subdivision rules. | Мозаика Пенроуза может быть получена с помощью правила подразделения на наборе из четырёх типов плиток (кривые в таблице ниже только помогают показать, как плитки складываются вместе): Некоторые рациональные отображения дают начало конечным правилам подразделения. |
| Charles Radin found rules enforcing the Conway-pinwheel substitution tiling system. | Чарльз Радин нашёл вынуждающие правила для системы подстановки плиток для мозаики Конвея «Вертушка». |
| Chaim Goodman-Strauss suggested that a tiling be considered strongly aperiodic if it admits no infinite cyclic group of Euclidean motions as symmetries, and that only tile sets which enforce strong aperiodicity be called strongly aperiodic, while other sets are to be called weakly aperiodic. | Хаим Гудман-Штраусс предложил считать мозаики строго апериодичными, если для них не существует бесконечной циклической группы движений евклидова пространства, являющихся симметриями мозаики, и называть строго апериодичными только те наборы плиток, которые приводят к строго апериодичным мозаикам, остальные наборы плиток тогда называются слабо апериодичными. |
| As with the term "aperiodic tiling" itself, the term "aperiodic hierarchical tiling" is a convenient shorthand, meaning something along the lines of "a set of tiles admitting only non-periodic tilings with a hierarchical structure". | Как и в случае термина «апериодичная мозаика», термин «апериодичная иерархическая мозаика» является удобным сокращением, означающим нечто вроде «набор плиток, допускающих только апериодичные мозаики с иерархической структурой». |
| For many well-behaved tilings (e.g. substitution tilings with finitely many local patterns) holds: if a tiling is non-periodic and repetitive (i.e. the each patch occurs uniformly dense throughout the tiling) then it is aperiodic. | Для многих «хороших» замощений (к примеру, подстановок плиток с конечным числом локальных узоров) выполняется утверждение: если мозаика не содержит периода и повторяющаяся (то есть каждая плитка встречается с одинаковой вероятностью по мере замощения) то она апериодична. |
| In 1996, German mathematician Petra Gummelt demonstrated that a covering (so called to distinguish it from a non-overlapping tiling) equivalent to the Penrose tiling can be constructed using a single decagonal tile if two kinds of overlapping regions are allowed. | В 1996 году немецкий математик Петра Гуммельт показала, что существует покрытие (в отличие от замощения, здесь допускается перекрытие плиток) плоскости десятиугольниками, эквивалентное замощению Пенроуза. |
| I started by creating a series of tiling units. | Я начала с серии рисунков, созданных в форме плиток для укладки. |
| I started by creating a series of tiling units. | Я начала с серии рисунков, созданных в форме плиток для укладки. |