| In geometry, the Japanese theorem states that the centers of the incircles of certain triangles inside a cyclic quadrilateral are vertices of a rectangle. | В геометрии японская теорема утверждает, что центры окружностей, вписанных в определённые треугольники внутри вписанного в окружность четырёхугольника, являются вершинами прямоугольника. |
| If the quadrilateral is simple, the area of the parallelogram is one half the area of the original quadrilateral. | Если четырёхугольник является простым, то площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника. |
| Varignon's theorem states that the midpoints of the sides of an arbitrary quadrilateral form the vertices of a parallelogram, and if the quadrilateral is not self-intersecting then the area of the parallelogram is half the area of the quadrilateral. | Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, а если четырёхугольник к тому же является самонепересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырёхугольника. |
| Yet another necessary and sufficient condition is that a tangential quadrilateral ABCD is cyclic if and only if its Newton line is perpendicular to the Newton line of its contact quadrilateral WXYZ. | Ещё одним необходимым и достаточным условием является то, что описанный четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда его прямая Гаусса перпендикулярна прямой Гаусса его контактного четырёхугольника WXYZ. |
| According to another characterization, if I is the incenter in a tangential quadrilateral where the extensions of opposite sides intersect at J and K, then the quadrilateral is also cyclic if and only if JIK is a right angle. | Согласно другому описанию, если I является центром вписанной окружности описанного четырёхугольника, у которого продолжения противоположных сторон пересекаются в точках J и K, то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда JIK является прямым углом. |
| (The Newton line of a quadrilateral is the line defined by the midpoints of its diagonals.) | (Прямая Гаусса четырёхугольника определяется средними точками его диагоналей.) |