| There exist infinitely many primitive Pythagorean triples in which the hypotenuse and the longest leg differ by exactly two. | Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. |
| For each natural number k, there exist k Pythagorean triples with different hypotenuses and the same area. | Для любого натурального n существует n пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью. |
| For example, a 5, 29, 30 Heronian triangle with area 72 cannot be constructed from two integer Pythagorean triangles since none of its altitudes are integers. | Так, например, геронов треугольник со сторонами 5, 29, 30 и площадью 72 нельзя получить из двух пифагоровых треугольников, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. |
| There exist infinitely many Pythagorean triples with square numbers for both the hypotenuse c and the sum of the legs a + b. | Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза с и сумма катетов а + Ь. |
| As yet, no set of three primitive Pythagorean triples have been found sharing the same interior lattice count. | Тем не менее ни одной тройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решётки пока не найдено. |
| The area of a Pythagorean triangle cannot be the square or twice the square of a natural number. | Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом или удвоенным квадратом натурального числа. |
| Although the Pythagorean tiling is itself periodic (it has a square lattice of translational symmetries) its cross sections can be used to generate one-dimensional aperiodic sequences. | Хотя пифагорова мозаика сама по себе периодическая (она имеет квадратную решётку параллельных переносов), её сечения могут быть использованы для образования одномерных непериодичных последовательностей. |
| By multiplying the sides by a common denominator, any congruent number may be transformed into the area of a Pythagorean triangle, from which it follows that the congruent numbers are exactly the numbers formed by multiplying a congruum by the square of a rational number. | Умножая обе стороны на общий знаменатель, можно любое конгруэнтное число преобразовать в площадь пифагорова треугольника, откуда следует, что конгруэнтные числа - это в точности числа, получаемые умножением шага в арифметической последовательности квадратов на квадрат рационального числа. |
| The just fifth is the basis of Pythagorean tuning and most known systems of music. | Чистая квинта служит основой пифагорова строя и является наиболее распространённой системой в музыке. |
| It shows that, from any example of a Pythagorean triangle with square area, one can derive a smaller example. | Он показал, что из любого экземпляра пифагорова треугольника с квадратной площадью можно получить такой же экземпляр с меньшей площадью. |
| Primitive Pythagorean triples have been used in cryptography as random sequences and for the generation of keys. | Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качестве случайных последовательностей и для генерации ключей. |
| All primitive Pythagorean triples are descended in this way from the triple (3, 4, 5), and no primitive triple appears more than once. | Все примитивные пифагоровы тройки являются потомками тройки (З, 4, 5), и ни одна тройка при таком построении не появляется дважды. |
| (Applying this map with t a rational number gives a systematic construction of Pythagorean triples.) | (Если подставлять вместо t рациональные числа, получим пифагоровы тройки.) |
| Clearly, any Pythagorean triple is a Heronian triple, since in a Pythagorean triple at least one of the legs a, b must be even, so that the area ab/2 is an integer. | Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов а и Ь является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. |
| Since Pythagorean triangles have positive integer areas, and there does not exist an infinite descending sequence of positive integers, there also cannot exist a Pythagorean triangle with square area. | Поскольку пифагоровы треугольники имеют положительную целочисленную площадь, а бесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел не существует, не может существовать и пифагоровых треугольников с площадью, являющейся квадратом целого числа. |
| Positioning the third peg using Pythagorean theorem. | Вбиваю третий колышек, используя теорему Пифагора. |
| The respective lengths a, b, and c of the sides of these three polygons satisfy the equation a2 + b2 = c2, so line segments with these lengths form a right triangle (by the converse of the Pythagorean theorem). | Соответствующие длины сторон а, Ь и с этих трёх многоугольников удовлетворяют равенству a2 + b2 = c2, так что отрезки с этими длинами образуют прямоугольный треугольник (согласно теореме Пифагора). |
| Pythagorean theorem, named after the mathematician Pythagoras, although it was known before him to Babylonian mathematicians (although it is not known if the Babylonians possessed a proof of the result; yet it is not known either, whether Pythagoras proved the result). | Теорема Пифагора, названная в честь математика Пифагора, хотя она была известна до него вавилонским математикам (хотя неизвестно, обладали ли вавилоняне доказательством результата; однако также не известно, доказал ли Пифагор результат). |
| He would use the Pythagorean theorem to figure it out. | Он использовал для этого теорему Пифагора. |
| He even taught me the Pythagorean theorem. | Он даже объяснил мне теорему Пифагора. |
| If X corresponds to a Pythagorean triple, then as a matrix it must have rank 1. | Если Х соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1. |
| In every Pythagorean triple, the radius of the incircle and the radii of the three excircles are natural numbers. | В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. |
| Every centered square number except 1 is the third term of a leg-hypotenuse Pythagorean triple (for example, 3-4-5, 5-12-13). | Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13). |
| For instance, in the illustration to the left, the two squares in the Pythagorean tiling have side lengths 5 and 12 units long, and the side length of the tiles in the overlaying square tiling is 13, based on the Pythagorean triple (5,12,13). | Например, на рисунке слева два квадрата пифагоровой мозаики имеют длины 5 и 12 единиц, а длина стороны наложенной квадратной мозаики (красные линии) равна 13, что соответствует пифагоровой тройке (5,12,13). |
| Clearly, any Pythagorean triple is a Heronian triple, since in a Pythagorean triple at least one of the legs a, b must be even, so that the area ab/2 is an integer. | Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов а и Ь является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. |
| Every integer greater than 2 is part of a primitive or non-primitive Pythagorean triple. | Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. |
| Any Pythagorean triangle with triple (a, b, c) can be drawn within a 2D lattice with vertices at coordinates (0, 0), (a, 0) and (0, b). | Любую пифагорову тройку (а, Ь, с) можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами (а, 0) и (0, b). |
| Thus, any Pythagorean triangle with square area leads to a smaller Pythagorean triangle with square area, completing the proof. | Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство. |
| There is a correspondence between points on the unit circle with rational coordinates and primitive Pythagorean triples. | Таким образом, существует соответствие между точками с рациональными координатами на единичной окружности и примитивными пифагоровыми треугольниками. |
| By acting on the spinor ξ in (1), the action of Γ goes over to an action on Pythagorean triples, provided one allows for triples with possibly negative components. | Действуя на спинор ξ в (1), действие в Γ переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. |
| Also no primitive Pythagorean triangle can be constructed from two smaller integer Pythagorean triangles. | Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников. |
| Thus, any Pythagorean triangle with square area leads to a smaller Pythagorean triangle with square area, completing the proof. | Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство. |
| Fragments of early proofs are preserved in the works of Plato and Aristotle, and the idea of a deductive system was probably known in the Pythagorean school and the Platonic Academy. | Фрагменты ранних доказательств сохранились в трудах Платона и Аристотеля, и идея дедуктивной системы, возможно, была известна в пифагорейской школе и Платоновской Академии. |
| The frequency with which Androcydes is mentioned in other works indicates that he was a major source for the later Pythagorean tradition, and he is also of interest in studying the historical development of the literary and philosophical symbol. | Частота, с которой упоминается Андрокид в других работах, показывает, что он являлся важным источником для последующей пифагорейской традиции, и он представляет интерес с точки зрения изучения исторического развития философского и литературного Символизма. |