| The case n = 1 of the more general construction of Pythagorean triples has been known for a long time. | Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно. |
| There exist infinitely many primitive Pythagorean triples in which the hypotenuse and the longest leg differ by exactly two. | Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. |
| There exist infinitely many Pythagorean triples with square numbers for both the hypotenuse c and the sum of the legs a + b. | Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза с и сумма катетов а + Ь. |
| Similarly, overlaying two Pythagorean tilings may be used to generate a six-piece dissection of two unequal squares into a different two unequal squares. | Таким же образом наложение двух пифагоровых мозаик может быть использовано для получения разрезания на шесть частей двух неравных квадратов, из которых можно сложить два других неравных квадрата. |
| There do not exist two Pythagorean triangles in which the two legs of one triangle are the leg and hypotenuse of the other triangle. | Не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. |
| Hence, every Pythagorean triple can be generated from some choice of these integers. | Отсюда, любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых. |
| During his lifetime, Fermat challenged several other mathematicians to prove the non-existence of a Pythagorean triangle with square area, but did not publish the proof himself. | В течение жизни Ферма предлагал некоторым другим математикам доказать несуществование пифагорова треугольника с площадью, являющейся квадратом, но сам доказательство не опубликовал. |
| B, Pythagorean triplets? | Б, Пифагорова тройка? |
| In abstract terms, the Euclid formula means that each primitive Pythagorean triple can be written as the outer product with itself of a spinor with integer entries, as in (1). | В абстрактных терминах формула Евклида означает, что каждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнее произведение на себя спинора с целыми элементами, как в формуле (1). |
| It shows that, from any example of a Pythagorean triangle with square area, one can derive a smaller example. | Он показал, что из любого экземпляра пифагорова треугольника с квадратной площадью можно получить такой же экземпляр с меньшей площадью. |
| All primitive Pythagorean triples are descended in this way from the triple (3, 4, 5), and no primitive triple appears more than once. | Все примитивные пифагоровы тройки являются потомками тройки (З, 4, 5), и ни одна тройка при таком построении не появляется дважды. |
| (Applying this map with t a rational number gives a systematic construction of Pythagorean triples.) | (Если подставлять вместо t рациональные числа, получим пифагоровы тройки.) |
| If a right triangle has integer side lengths a, b, c (necessarily satisfying the Pythagorean theorem a2 + b2 = c2), then (a, b,c) is known as a Pythagorean triple. | Если прямоугольный треугольник имеет стороны а, Ь, с (по теореме Пифагора a2+b2=c2), то (a, b,c) известны как пифагоровы тройки. |
| Clearly, any Pythagorean triple is a Heronian triple, since in a Pythagorean triple at least one of the legs a, b must be even, so that the area ab/2 is an integer. | Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов а и Ь является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. |
| Since Pythagorean triangles have positive integer areas, and there does not exist an infinite descending sequence of positive integers, there also cannot exist a Pythagorean triangle with square area. | Поскольку пифагоровы треугольники имеют положительную целочисленную площадь, а бесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел не существует, не может существовать и пифагоровых треугольников с площадью, являющейся квадратом целого числа. |
| So a kid who's 14 in high school gets this version of the Pythagorean theorem, which is a truly subtle and interesting proof, but in fact it's not a good way to start learning about mathematics. | Так, подросток 14 лет в старших классах средней школы получает вот такую версию теоремы Пифагора, с доказательством ловким и интересным, но на самом-то деле это не лучший способ для начала изучения математики. |
| The respective lengths a, b, and c of the sides of these three polygons satisfy the equation a2 + b2 = c2, so line segments with these lengths form a right triangle (by the converse of the Pythagorean theorem). | Соответствующие длины сторон а, Ь и с этих трёх многоугольников удовлетворяют равенству a2 + b2 = c2, так что отрезки с этими длинами образуют прямоугольный треугольник (согласно теореме Пифагора). |
| Cooke concludes that Cantor's conjecture remains uncertain; he guesses that the ancient Egyptians probably knew the Pythagorean theorem, but "there is no evidence that they used it to construct right angles." | Кук заключает, что предположение Кантора остаётся сомнительным - он предположил, что древние египтяне, возможно, знали теорему Пифагора, но «нет свидетельств, что они использовали её для построения прямых углов». |
| He would use the Pythagorean theorem to figure it out. | Он использовал для этого теорему Пифагора. |
| So a kid who's 14 in high school gets this version of the Pythagorean theorem, which is a truly subtle and interesting proof, but in fact it's not a good way to start learning about mathematics. | Так, подросток 14 лет в старших классах средней школы получает вот такую версию теоремы Пифагора, с доказательством ловким и интересным, но на самом-то деле это не лучший способ для начала изучения математики. |
| If X corresponds to a Pythagorean triple, then as a matrix it must have rank 1. | Если Х соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1. |
| In every Pythagorean triple, the radius of the incircle and the radii of the three excircles are natural numbers. | В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. |
| Every centered square number except 1 is the third term of a leg-hypotenuse Pythagorean triple (for example, 3-4-5, 5-12-13). | Все центрированные квадратные числа за исключением 1 есть гипотенуза в одном из пифагоровой тройке (например, 3-4-5, 5-12-13). |
| For instance, in the illustration to the left, the two squares in the Pythagorean tiling have side lengths 5 and 12 units long, and the side length of the tiles in the overlaying square tiling is 13, based on the Pythagorean triple (5,12,13). | Например, на рисунке слева два квадрата пифагоровой мозаики имеют длины 5 и 12 единиц, а длина стороны наложенной квадратной мозаики (красные линии) равна 13, что соответствует пифагоровой тройке (5,12,13). |
| Clearly, any Pythagorean triple is a Heronian triple, since in a Pythagorean triple at least one of the legs a, b must be even, so that the area ab/2 is an integer. | Ясно, что пифагоровы тройки являются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мере один из катетов а и Ь является чётным числом, так что площадь треугольника ab/2 будет целым числом. |
| Every integer greater than 2 is part of a primitive or non-primitive Pythagorean triple. | Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. |
| Any Pythagorean triangle with triple (a, b, c) can be drawn within a 2D lattice with vertices at coordinates (0, 0), (a, 0) and (0, b). | Любую пифагорову тройку (а, Ь, с) можно нарисовать на двумерной решётке как точки с координатами (а, 0) и (0, b). |
| Thus, any Pythagorean triangle with square area leads to a smaller Pythagorean triangle with square area, completing the proof. | Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство. |
| There is a correspondence between points on the unit circle with rational coordinates and primitive Pythagorean triples. | Таким образом, существует соответствие между точками с рациональными координатами на единичной окружности и примитивными пифагоровыми треугольниками. |
| By acting on the spinor ξ in (1), the action of Γ goes over to an action on Pythagorean triples, provided one allows for triples with possibly negative components. | Действуя на спинор ξ в (1), действие в Γ переходит в действие над пифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательными значениями. |
| Also no primitive Pythagorean triangle can be constructed from two smaller integer Pythagorean triangles. | Нельзя также построить примитивный пифагоров треугольник из двух меньших пифагоровых треугольников. |
| Thus, any Pythagorean triangle with square area leads to a smaller Pythagorean triangle with square area, completing the proof. | Таким образом, любой пифагоров треугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит к меньшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершает доказательство. |
| Fragments of early proofs are preserved in the works of Plato and Aristotle, and the idea of a deductive system was probably known in the Pythagorean school and the Platonic Academy. | Фрагменты ранних доказательств сохранились в трудах Платона и Аристотеля, и идея дедуктивной системы, возможно, была известна в пифагорейской школе и Платоновской Академии. |
| The frequency with which Androcydes is mentioned in other works indicates that he was a major source for the later Pythagorean tradition, and he is also of interest in studying the historical development of the literary and philosophical symbol. | Частота, с которой упоминается Андрокид в других работах, показывает, что он являлся важным источником для последующей пифагорейской традиции, и он представляет интерес с точки зрения изучения исторического развития философского и литературного Символизма. |