| From this perspective, the figure-eight knot can be considered the simplest hyperbolic knot. | С этой точки зрения восьмёрку можно рассматривать как самый простой гиперболический узел. |
| The hyperbolic volume of the complement of the (-2,3,8) pretzel link is 4 times Catalan's constant, approximately 3.66. | Гиперболический объём дополнения кружевного зацепления (-2,3,8) равен учетверённой постоянной Каталана, примерно 3,66. |
| The triangle can be an ordinary Euclidean triangle, a triangle on the sphere, or a hyperbolic triangle. | Треугольником может служить обычный евклидов треугольник, треугольник на сфере или гиперболический треугольник. |
| A hyperbolic knot is a hyperbolic link with one component. | Гиперболический узел - это гиперболическое зацепление, состоящее из одной компоненты. |
| Hyperbolic triangles have some properties that are analogous to those of triangles in Euclidean geometry: Each hyperbolic triangle has an inscribed circle but not every hyperbolic triangle has a circumscribed circle,(see below) Its vertices can lay on a horocycle or hypercycle. | Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые аналогичны свойствам треугольников в евклидовой геометрии: Каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность, но не любой гиперболический треугольник имеет описанную окружность (см. ниже). |
| Subdivision rules have been used in architecture, biology, and computer science, as well as in the study of hyperbolic manifolds. | Правила подразделения используются в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий. |
| There are 15 hyperbolic honeycombs in H3, 4 compact and 11 paracompact. | Существует 15 гиперболических сот в H3, 4 компактных и 11 паракомпактных. |
| Removing a mirror from some of the cyclic hyperbolic Coxeter graphs become bow-tie graphs: = or, = or, = or. =, =, =. | Удаление зеркала из некоторых циклических гиперболических графов Коксетера превращает их в галстуки-бабочки: = или, = или, = или. |
| As of August 2018, there is only 1 hyperbolic asteroid known, 'Oumuamua, but hundreds of hyperbolic comets are known. | На данный момент (апрель 2018 года) известно только 2 гиперболических астероида, но сотни гиперболических комет. |
| The layout has some similarities to a hyperbolic tree, though a key difference is that hyperbolic trees are based on hyperbolic geometry, whereas in a radial tree the distance between orbits is relatively linear. | Ключевое различие между ними в том, что построение гиперболических деревьев основано на гиперболической геометрии, в то время как у радиального дерева радиусы орбит увеличиваются линейно. |
| The indefinite type is sometimes further subdivided, e.g. into hyperbolic and other Coxeter groups. | Неопределённый тип иногда далее разбивается на подтипы, например, на гиперболические и остальные группы Коксетера. |
| At Statistics Netherlands hyperbolic age-efficiency profiles are used. | Статистическое управление Нидерландов использует гиперболические функции возрастной эффективности. |
| Hence planar hyperbolic triangles also describe triangles possible in any higher dimension of hyperbolic spaces. | Следовательно, планарные гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любых гиперболических пространствах высокой размерности. |
| Coxeter studied the linear hyperbolic coxeter groups in his 1954 paper Regular Honeycombs in hyperbolic space, which included two rational solutions in hyperbolic 4-space: = and =. | Коксетер изучал линейные гиперболические группы (своего имени) в статье 1954-го года Regular Honeycombs in hyperbolic space (Регулярные соты в гиперболическом пространстве), в которой приведены два рациональных решения в 4-мерном гиперболическом пространстве: = и =. |
| Hyperbolic triangles have some properties that are analogous to those of triangles in Euclidean geometry: Each hyperbolic triangle has an inscribed circle but not every hyperbolic triangle has a circumscribed circle,(see below) Its vertices can lay on a horocycle or hypercycle. | Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые аналогичны свойствам треугольников в евклидовой геометрии: Каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность, но не любой гиперболический треугольник имеет описанную окружность (см. ниже). |
| Infinite forms can be extended to tessellate a hyperbolic space. | Бесконечные формы можно расширить до замощения гиперболического пространства. |
| Each tetrahedral face represents a reflection hyperplane on 3-dimensional surfaces: the 3-sphere, the Euclidean 3-space, and hyperbolic 3-space. | Каждая грань тетраэдра представляет зеркальную гиперплоскость на З-мерной поверхности - З-сферы, евклидового З-мерного пространства и гиперболического З-мерного пространства. |
| They include the tessellations of spherical, Euclidean and hyperbolic space, tessellations of other manifolds, and many other objects that do not have a well-defined topology, but instead may be characterised by their "local" topology. | Они включают замощения сферического, евклидова и гиперболического пространств, замощения других многообразий и много других объектов, не имеющих хорошо определённой топологии, но, зато, характеризующихся их "локальной" топологией. |
| This model can be generalized to model an n + 1 {\displaystyle n+1} dimensional hyperbolic space by replacing the real number x by a vector in an n dimensional Euclidean vector space. | Эту модель можно обобщить до модели (n+1)-мерного гиперболического пространства путём замены вещественного числа x вектором в n-мерном евклидовом векторном пространстве. |
| Tessellations of hyperbolic 2-space are hyperbolic tilings. | Замощения гиперболического двухмерного пространства - это гиперболические мозаики. |
| So what is this hyperbolic geometry that corals and sea slugs embody? | Так что же такое гиперболическая геометрия, которую воплощают кораллы и морские слизняки? |
| A radial hyperbolic trajectory is a non-periodic trajectory on a straight line where the relative speed of the two objects always exceeds the escape velocity. | Радиальная гиперболическая траектория является непериодической радиальной траекторией, при которой относительная скорость движения тел всегда превышает скорость убегания. |
| A hyperbolic Coxeter group is compact if all subgroups are finite (i.e. have positive determinants), and paracompact if all its subgroups are finite or affine (i.e. have nonnegative determinants). | Гиперболическая группа Коксетера компактна, если все её подгруппы конечны (то есть имеют положительные определители) и паракомпактна, если все её подгруппы конечны или аффинны (то есть имеют неотрицательные определители). |
| C/2018 F4 (PANSTARRS) is a hyperbolic comet (previously classified as A/2018 F4, a hyperbolic asteroid). | C/2018 F4 (PANSTARRS) - гиперболическая комета, ранее классифицированная как гиперболический астероид A/2018 F4. |
| A hyperbolic von Dyck group is a Fuchsian group, a discrete group consisting of orientation-preserving isometries of the hyperbolic plane. | Гиперболическая группа фон Дика - это группа Фукса, дискретная группа, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости. |
| Like an elliptical orbit, a hyperbolic trajectory for a given system can be defined (ignoring orientation) by its semi major axis and the eccentricity. | Как и эллиптическую орбиту, гиперболическую траекторию данной системы можно определить (без учёта ориентации) значением большой полуоси и эксцентриситета. |
| An orbifold can be viewed as a polygon with face, edges, and vertices, which can be unfolded to form a possibly infinite set of polygons which tile either the sphere, the plane or the hyperbolic plane. | Орбиобразие можно рассматривать как многоугольник с гранью, рёбрами и вершинами, который может быть развёрнут с образованием, возможно, бесконечного множества многоугольников, которые замощают всю сферу, плоскость или гиперболическую плоскость. |
| Margaret Wertheim leads a project to re-create thecreatures of the coral reefs using a crochet technique invented bya mathematician - celebrating the amazements of the reef, anddeep-diving into the hyperbolic geometry underlying coralcreation. | Маргарет Вертхейм возглавляет проект по воссозданиюобитателей кораллового рифа, используя технику кроше, изобретённуюматематиком - прославляя удивительность кораллового рифа, ипогружаясь в гиперболическую геометрию, которая лежит в основесоздания коралла. |
| Thom proposed that the Hyperbolic umbilic catastrophe modeled the breaking of a wave and the elliptical umbilic modeled the creation of hair like structures. | Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу - как процесс создания структур, похожих на волосяной покров. |
| In spacetime, hyperbolic rotation preserves the hyperbolic metric. | В пространстве-времени гиперболическое вращение сохраняет гиперболическую метрику (англ.)русск... |
| A mirror represents a hyperplane within a given dimensional spherical or Euclidean or hyperbolic space. | Зеркалом (множеством неподвижных точек отражения) является гиперплоскость в заданном сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве. |
| In the hyperbolic plane, five one-parameter families and seventeen isolated cases are known, but the completeness of this listing has not been enumerated. | В гиперболическом пространстве известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных мозаик, но список не является завершённым. |
| Beltrami-Klein model There are four regular compact honeycombs in 3D hyperbolic space: There are fifteen uniform honeycombs in the Coxeter group family, including this regular form. | Модель Бельтрами - Клейна Существует четыре вида правильных компактных сот в гиперболическом 3D-пространстве: Шаблон:Правильные компактные H3-соты Существует пятнадцать видов однородных сот в семействе групп Коксетера, включая эти правильные формы. |
| In the sphere there are three Möbius triangles plus one one-parameter family; in the plane there are three Möbius triangles, while in hyperbolic space there is a three-parameter family of Möbius triangles, and no exceptional objects. | На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет исключительных объектов. |
| Coxeter studied the linear hyperbolic coxeter groups in his 1954 paper Regular Honeycombs in hyperbolic space, which included two rational solutions in hyperbolic 4-space: = and =. | Коксетер изучал линейные гиперболические группы (своего имени) в статье 1954-го года Regular Honeycombs in hyperbolic space (Регулярные соты в гиперболическом пространстве), в которой приведены два рациональных решения в 4-мерном гиперболическом пространстве: = и =. |
| The extending process can define a limited series of Coxeter graphs that progress from finite to affine to hyperbolic to Lorentzian. | Процесс расширения может дать ограниченные серии графов Коксетера, которые проходят путь от конечных к аффинным, затем к гиперболическим и группам Лоренца. |
| The figure-eight knot is also the hyperbolic knot whose complement has the smallest possible volume, 2.02988... according to the work of Chun Cao and Robert Meyerhoff. | Восьмёрка является также гиперболическим узлом с наименьшим возможным объёмом 2,029 88..., согласно работе Чо Чунь (Chun Cao) и Роберта Майерхофа (Robert Meyerhoff). |
| The converse is also true - a body does not need to be slowed by much compared to its hyperbolic excess speed (e.g. by atmospheric drag near periapsis) for velocity to fall below escape velocity and so for the body to be captured. | Проявляется и обратный эффект: телу не нужно сильное замедление по сравнению с гиперболическим избытком скорости (например, торможение атмосферой в точке перицентра) для того, чтобы скорость оказалась меньше скорости убегания и тело было захвачено притягивающим центром. |
| On July 8, the New York Times led its front page with a somewhat hyperbolic headline: "From Stocks to Farmland, All's Booming, or Bubbling: Prices for Nearly All Assets around World Are High, Bringing Economic Risks." | 8 июля «Нью-Йорк Таймс»озаглавила свою первую страницу несколько гиперболическим заголовком: «От акций и до фермерских участков, все кругом не то взрывается, не то бурлит: цены почти на все активы по всему миру высоки, создавая экономические риски». |
| Menasco, applying Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds, showed that any prime, non-split alternating link is hyperbolic, i.e. the link complement has a hyperbolic geometry, unless the link is a torus link. | Вильям Менаско, применив теорему о гиперболизации Тёрстона для многообразий Хакена, доказал, что любое простое неразделимое альтернированное зацепление является гиперболическим, т.е. дополнение зацепления имеет геометрию Лобачевского, если только зацепление не является торическим. |
| (When the orbifold Euler characteristic is negative, the tiling is hyperbolic; when positive, spherical or bad). | (Если эйлерова зарактеристика орбиобразия отрицательна, замощение гиперболическое, если же положительное, замощение сферическое, либо плохое). |
| Second, SL(2,Z) is of course a subgroup of SL(2,R), and thus has a hyperbolic behavior embedded in it. | Во-вторых, SL(2,Z) является, конечно, подгруппой SL(2,R), а следовательно, имеет гиперболическое поведение, заложенное в ней. |
| Hyperbolic space is like normal space at a small scale, but parallel lines diverge at a distance. | Гиперболическое пространство подобно обычному пространству, но параллельные прямые с расстоянием расходятся. |
| A worldline having constant four-acceleration is a Minkowski-circle i.e. hyperbola (see hyperbolic motion) The scalar product of a particle's four-velocity and its four-acceleration is always 0. | Мировые линии, имеющие постоянную величину 4-ускорения, являются кругами Минковского, то есть гиперболами (см. гиперболическое движение). |
| The sum of the angles of the triangle determines the type of the geometry by the Gauss-Bonnet theorem: it is Euclidean if the angle sum is exactly π, spherical if it exceeds π and hyperbolic if it is strictly smaller than π. | Сумма углов треугольника определяет тип геометрии по Формула Гаусса - Бонне: пространство евклидово, если сумма углов в точности равна π, сферическое, если превышает π и гиперболическое, если строго меньше π. |
| In the discussion below, hyperbolic Coxeter groups are a special case of Lorentzian, satisfying an extra condition. | В обсуждении ниже под гиперболическими группами Коксетера понимается специальный случай групп Лоренца, удовлетворяющих дополнительным условиям. |
| And interestingly, this turns out - the stomatopod saddle turns out to be the first described biological hyperbolic paraboloid spring. | И как оказалось, седла ротоногих оказались первыми описанными биологическими гиперболическими параболоидными пружинами. |
| These Möbius transformations act as the isometries of the upper half-plane model of hyperbolic space, and the corresponding Möbius transformations of the disc are the hyperbolic isometries of the Poincaré disk model. | Эти преобразования Мёбиуса действуют как изометрии модели верхней половины плоскости гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями дисковой модели Пуанкаре. |
| In the Rindler chart, the world lines of the Minkowski observers appear as hyperbolic secant curves asymptotic to the coordinate plane x = 0 {\displaystyle \scriptstyle x\;=\;0}. | В координатах Риндлера мировые линии наблюдателей Минковского являются гиперболическими дугами, асимптотическеи приближающимися к координатной плоскости х = 0 {\displaystyle x=0}. |
| And interestingly, this turns out - the stomatopod saddle turns out to be the first described biological hyperbolic paraboloid spring. | И как оказалось, седла ротоногих оказались первыми описанными биологическими гиперболическими параболоидными пружинами. |
| Although it may sound hyperbolic, the impeachment of President Nixon does not, surely, mean that the American people should not elect Presidents. | Как бы это ни звучало преувеличенно, импичмент президента Никсона, конечно же, не означает, что американский народ не должен выбирать президентов. |
| Now, that is only a little bit hyperbolic. | Это всего лишь немного преувеличенно. |
| An ideal triangle is the largest possible triangle in hyperbolic geometry. | Идеальный треугольник является наибольшим возможным треугольником в геометрии Лобачевского. |
| The real ideal triangle group is the reflection group generated by reflections of the hyperbolic plane through the sides of an ideal triangle. | Вещественная группа идеального треугольника - группа преобразований, порождённая отражениями плоскости Лобачевского относительно сторон идеального треугольника. |
| In the standard hyperbolic plane (a surface where the constant Gaussian curvature is -1) we also have the following properties: Any ideal triangle has area π. | В стандартной плоскости Лобачевского (поверхности, где кривизна Гаусса постоянна и равна -1) идеальный треугольник также обладает следующими свойствами: Площадь такого треугольника равна π. |
| Another type of non-Euclidean geometry is the hyperbolic plane, and arrangements of hyperbolic lines in this geometry have also been studied. | Другим типом неевклидовой геометрии является плоскость Лобачевского, и конфигурации гиперболических прямых в этой геометрии также изучались. |
| Menasco, applying Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds, showed that any prime, non-split alternating link is hyperbolic, i.e. the link complement has a hyperbolic geometry, unless the link is a torus link. | Вильям Менаско, применив теорему о гиперболизации Тёрстона для многообразий Хакена, доказал, что любое простое неразделимое альтернированное зацепление является гиперболическим, т.е. дополнение зацепления имеет геометрию Лобачевского, если только зацепление не является торическим. |