| They have the same hyperbolic volume (by a result of Ruberman), and have the same HOMFLY polynomials. | Они имеют тот же гиперболический объём (как показал Руберман) и тот же многочлен HOMFLY. |
| As a consequence of the work of William Thurston, it is known that every knot is precisely one of the following: hyperbolic, a torus knot, or a satellite knot. | Из работы Уильяма Тёрстона вытекает, что любой узел либо гиперболический, либо торический, либо сателлитный. |
| In hyperbolic geometry, a hyperbolic triangle is a triangle in the hyperbolic plane. | В гиперболической геометрии гиперболический треугольник является треугольником на гиперболической плоскости. |
| The determinant of the Cartan matrices determine where the series changes from finite (positive) to affine (zero) to hyperbolic (negative), and ending as a Lorentzian group, containing at least one hyperbolic subgroup. | Определитель матриц Картана задаёт, где серия меняется от конечной (положительный определитель) к аффинной (нулевой), затем в гиперболический тип (отрицательный), и завершается группой Лоренца, содержащей по меньшей мере одну гиперболическую подгруппу. |
| Hyperbolic triangles have some properties that are analogous to those of triangles in Euclidean geometry: Each hyperbolic triangle has an inscribed circle but not every hyperbolic triangle has a circumscribed circle,(see below) Its vertices can lay on a horocycle or hypercycle. | Гиперболические треугольники имеют некоторые свойства, которые аналогичны свойствам треугольников в евклидовой геометрии: Каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность, но не любой гиперболический треугольник имеет описанную окружность (см. ниже). |
| Beyond Euclidean space, there is an infinite set of regular hyperbolic tilings. | Вдобавок к мозаикам евклидова пространства существует бесконечное количество правильных гиперболических мозаик. |
| There are 5 hyperbolic Coxeter groups expressing ideal simplices, graphs where removal of any one node results in an affine Coxeter group. | Имеется 5 гиперболических групп Коксетера, отражающих идеальные симплексы, которые имеют графы, удаление любой одной вершины которых приводит к аффинной группе Коксетера. |
| Two hyperbolic n-gons having the same angles in the same cyclic order may have different edge lengths and are not in general congruent. | На плоскости два гиперболических n-угольника, имеющие те же самые углы в некотором циклическом порядке, могут иметь различные длины рёбер, и, в общем случае, не конгруэнтны. |
| The technique of canonical representatives was later generalized by Dahmani to the case of relatively hyperbolic groups and played a key role in the solution of the isomorphism problem for toral relatively hyperbolic groups. | Этот метод был позже обобщён Дамани для случаев относительно гиперболических групп и сыграл главную роль в решении проблемы изоморфизма для закрученных относительных гиперболических групп. |
| Hence planar hyperbolic triangles also describe triangles possible in any higher dimension of hyperbolic spaces. | Следовательно, планарные гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любых гиперболических пространствах высокой размерности. |
| Apart from this effect, the hyperbolic honeycombs obey the same topological constraints as Euclidean honeycombs and polychora. | За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники. |
| The Euclidean and hyperbolic compound families 2 {p, p} (4 <= p <= ∞, p an integer) are analogous to the spherical stella octangula, 2 {3,3}. | Евклидовы и гиперболические семейства 2 {p, p} (4 <= p <= ∞, p целое) аналогичны сферическим звёздчатым октаэдрам, 2 {3,3}. |
| Hyperbolic Inoue surfaces are class VII0 surfaces with two cycles of rational curves. | Гиперболические поверхности Иноуэ являются поверхностями класса VII0 с двумя циклами рациональных кривых. |
| In geometric group theory, triangle groups are classified into Euclidean, spherical, and hyperbolic cases according to whether an associated sum of unit fractions is equal to one, greater than one, or less than one respectively. | В геометрической теории групп группы треугольников классифицируются как евклидовы, сферические и гиперболические в зависимости от того, связанная с ними сумма долей единицы равна единице, меньше единицы или больше единицы. |
| Hence planar hyperbolic triangles also describe triangles possible in any higher dimension of hyperbolic spaces. | Следовательно, планарные гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любых гиперболических пространствах высокой размерности. |
| The Student's t-distribution is a special case of the generalised hyperbolic distribution. | Распределение Стьюдента - частный случай обобщённого гиперболического распределения. |
| RG: Hanging cable takes on the form of a hyperbolic cosine. | РГ: «Висящий кабель принимает форму гиперболического косинуса». |
| To construct the triangle group, start with a hyperbolic triangle with angles π/2, π/3, π/7. | Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. |
| Pasch's axiom and the exterior angle theorem still hold for an omega triangle, defined by two points in hyperbolic space and an omega point. | Аксиома Паша и теорема о внешнем угле треугольника выполняются для омега треугольника, который определяется двумя точками гиперболического пространства и омега-точкой. |
| The discovery of hyperbolic space ushered in the field of mathematics that is called non-Euclidean geometry. | Открытие гиперболического пространства возвестило в сфере математики то, что называется неевклидовой геометрией. |
| However, it still remains to show that a Gromov hyperbolic group with a 2-sphere at infinity is a 3-manifold group. | Однако остаётся показать, что громовская гиперболическая группа с 2-сферой на бесконечности является группой 3-многообразия. |
| Cannon and Swenson showed that a hyperbolic group with a 2-sphere at infinity has an associated subdivision rule. | Кэннон и Свенсон показали, что гиперболическая группа с 2-сферой на бесконечности имеет связанное с ней правило подразделения. |
| More precisely, any Hurwitz surface, that is, a hyperbolic surface that realizes the maximum order of the automorphism group for the surfaces of a given genus, can be obtained by the construction given. | Более точно, любая поверхность Гурвица, то есть гиперболическая поверхность, на которой достигается максимальный порядок группы автоморфизмов для поверхностей заданного рода, может быть получена описанным построением. |
| A hyperbolic Coxeter group is compact if all subgroups are finite (i.e. have positive determinants), and paracompact if all its subgroups are finite or affine (i.e. have nonnegative determinants). | Гиперболическая группа Коксетера компактна, если все её подгруппы конечны (то есть имеют положительные определители) и паракомпактна, если все её подгруппы конечны или аффинны (то есть имеют неотрицательные определители). |
| By definition, a hyperbolic orbit means that the comet will only travel through the Solar System once, with the Sun acting as a gravitational slingshot, sending the comet hurtling out of the Solar System entirely unless its eccentricity is otherwise changed. | По определению гиперболическая комета должна пройти через Солнечную систему только один раз, при этом Солнце отклонит комету от первоначальной траектории, выбрасывая ее из Солнечной системы, если только эксцентриситет орбиты кометы не изменится значительно. |
| Even mathematicians, who in some sense are the freest of all thinkers, literally couldn't see not only the sea slugs around them, but the lettuce on their plate - because lettuces, and all those curly vegetables, they also are embodiments of hyperbolic geometry. | Даже математики, которые в каком-то смысле самые свободные из всех мыслителей, буквально не видели не только морских слизней вокруг них, но и салат на своей тарелке, потому что листья салата- и все кучерявые овощи - воплощают собой гиперболическую геометрию. |
| Thom proposed that the Hyperbolic umbilic catastrophe modeled the breaking of a wave and the elliptical umbilic modeled the creation of hair like structures. | Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу - как процесс создания структур, похожих на волосяной покров. |
| The determinant of the Cartan matrices determine where the series changes from finite (positive) to affine (zero) to hyperbolic (negative), and ending as a Lorentzian group, containing at least one hyperbolic subgroup. | Определитель матриц Картана задаёт, где серия меняется от конечной (положительный определитель) к аффинной (нулевой), затем в гиперболический тип (отрицательный), и завершается группой Лоренца, содержащей по меньшей мере одну гиперболическую подгруппу. |
| The Borromean rings are a hyperbolic link: the complement of the Borromean rings in the 3-sphere admits a complete hyperbolic metric of finite volume. | Кольца Борромео являются примером гиперболического сцепления - дополнение колец Борромео в З-сфере допускает полную гиперболическую метрику с конечным объёмом. |
| Even mathematicians, who in some sense are the freest of all thinkers, literally couldn't see not only the sea slugs around them, but the lettuce on their plate - because lettuces, and all those curly vegetables, they also are embodiments of hyperbolic geometry. | Даже математики, которые в каком-то смысле самые свободные из всех мыслителей, буквально не видели не только морских слизней вокруг них, но и салат на своей тарелке, потому что листья салата- и все кучерявые овощи - воплощают собой гиперболическую геометрию. |
| A straight line in hyperbolic n-space is modeled by a geodesic on the hyperboloid. | Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. |
| A mirror represents a hyperplane within a given dimensional spherical or Euclidean or hyperbolic space. | Зеркалом (множеством неподвижных точек отражения) является гиперплоскость в заданном сферическом, евклидовом или гиперболическом пространстве. |
| Beltrami-Klein model There are four regular compact honeycombs in 3D hyperbolic space: There are fifteen uniform honeycombs in the Coxeter group family, including this regular form. | Модель Бельтрами - Клейна Существует четыре вида правильных компактных сот в гиперболическом 3D-пространстве: Шаблон:Правильные компактные H3-соты Существует пятнадцать видов однородных сот в семействе групп Коксетера, включая эти правильные формы. |
| Coxeter studied the linear hyperbolic coxeter groups in his 1954 paper Regular Honeycombs in hyperbolic space, which included two rational solutions in hyperbolic 4-space: = and =. | Коксетер изучал линейные гиперболические группы (своего имени) в статье 1954-го года Regular Honeycombs in hyperbolic space (Регулярные соты в гиперболическом пространстве), в которой приведены два рациональных решения в 4-мерном гиперболическом пространстве: = и =. |
| As a consequence of Thurston's hyperbolic Dehn surgery theorem, performing Dehn surgeries on a hyperbolic link enables one to obtain many more hyperbolic 3-manifolds. | Вследствие Тёрстоновской теоремы о гиперболической хирургии Дена, осуществляя хирургии Дена на гиперболическом зацеплении, можно получить много больше гиперболических З-многообразий. |
| These are the hyperbolic analogue of the Euclidean wallpaper groups and Frieze groups. | Они являются гиперболическим аналогом евклидовых групп обоев и групп бордюра. |
| The three-twist knot is a hyperbolic knot, with its complement having a volume of approximately 2.82812. | Узел в три полуоборота является гиперболическим с дополнением, имеющим объём примерно 2,82812. |
| The extending process can define a limited series of Coxeter graphs that progress from finite to affine to hyperbolic to Lorentzian. | Процесс расширения может дать ограниченные серии графов Коксетера, которые проходят путь от конечных к аффинным, затем к гиперболическим и группам Лоренца. |
| On July 8, the New York Times led its front page with a somewhat hyperbolic headline: "From Stocks to Farmland, All's Booming, or Bubbling: Prices for Nearly All Assets around World Are High, Bringing Economic Risks." | 8 июля «Нью-Йорк Таймс»озаглавила свою первую страницу несколько гиперболическим заголовком: «От акций и до фермерских участков, все кругом не то взрывается, не то бурлит: цены почти на все активы по всему миру высоки, создавая экономические риски». |
| Menasco, applying Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds, showed that any prime, non-split alternating link is hyperbolic, i.e. the link complement has a hyperbolic geometry, unless the link is a torus link. | Вильям Менаско, применив теорему о гиперболизации Тёрстона для многообразий Хакена, доказал, что любое простое неразделимое альтернированное зацепление является гиперболическим, т.е. дополнение зацепления имеет геометрию Лобачевского, если только зацепление не является торическим. |
| The automorphisms of the dyadic monoid is the modular group; the automorphisms can be pictured as hyperbolic rotations of the binary tree. | Группа автоморфизмов диадического моноида является модулярной; автоморфизмы могут быть визуализированы как гиперболическое вращение бинарного дерева. |
| (When the orbifold Euler characteristic is negative, the tiling is hyperbolic; when positive, spherical or bad). | (Если эйлерова зарактеристика орбиобразия отрицательна, замощение гиперболическое, если же положительное, замощение сферическое, либо плохое). |
| These two sets of planes meet at right angles, and form the generators of a reflection group whose fundamental domain can be viewed as a hyperbolic manifold. | Плоскости из различных множеств пересекаются под прямыми углами и соответствуют генераторам группы отражений, фундаментальную область которой можно рассматривать как гиперболическое многообразие. |
| Hyperbolic space is like normal space at a small scale, but parallel lines diverge at a distance. | Гиперболическое пространство подобно обычному пространству, но параллельные прямые с расстоянием расходятся. |
| The sum of the angles of the triangle determines the type of the geometry by the Gauss-Bonnet theorem: it is Euclidean if the angle sum is exactly π, spherical if it exceeds π and hyperbolic if it is strictly smaller than π. | Сумма углов треугольника определяет тип геометрии по Формула Гаусса - Бонне: пространство евклидово, если сумма углов в точности равна π, сферическое, если превышает π и гиперболическое, если строго меньше π. |
| Some comets with hyperbolic orbits may originate outside the Solar System, but determining their precise orbits is difficult. | Некоторые кометы с гиперболическими орбитами могут быть из-за пределов Солнечной системы, но определение их точных орбит затруднено. |
| Interstellar objects have also hyperbolic orbits, for example the first known object of this class 1I/2017 U1 'Oumuamua has an eccentricity of 1.192. | Межзвёздные объекты также обладают гиперболическими орбитами, например, первый известный объект такого класса, 1I/2017 U1 'Оумуамуа обладает эксцентриситетом 1.192. |
| In this case the lines are hyperbolic orthogonal if their slopes are additive inverses. | В этом случае линии являются гиперболическими ортогональными, если их угловые коэффициенты являются противоположными числами. |
| And interestingly, this turns out - the stomatopod saddle turns out to be the first described biological hyperbolic paraboloid spring. | И как оказалось, седла ротоногих оказались первыми описанными биологическими гиперболическими параболоидными пружинами. |
| From 1999, and for the rest of his life Ilyin focused on boundary control problems for processes described by hyperbolic equations, specifically by the wave equation. | Начиная с 1999 года и до конца жизни занимался задачами граничного управления процессами, описываемыми гиперболическими уравнениями, в первую очередь, волновым уравнением. |
| Although it may sound hyperbolic, the impeachment of President Nixon does not, surely, mean that the American people should not elect Presidents. | Как бы это ни звучало преувеличенно, импичмент президента Никсона, конечно же, не означает, что американский народ не должен выбирать президентов. |
| Now, that is only a little bit hyperbolic. | Это всего лишь немного преувеличенно. |
| An ideal triangle is the largest possible triangle in hyperbolic geometry. | Идеальный треугольник является наибольшим возможным треугольником в геометрии Лобачевского. |
| The real ideal triangle group is the reflection group generated by reflections of the hyperbolic plane through the sides of an ideal triangle. | Вещественная группа идеального треугольника - группа преобразований, порождённая отражениями плоскости Лобачевского относительно сторон идеального треугольника. |
| In the standard hyperbolic plane (a surface where the constant Gaussian curvature is -1) we also have the following properties: Any ideal triangle has area π. | В стандартной плоскости Лобачевского (поверхности, где кривизна Гаусса постоянна и равна -1) идеальный треугольник также обладает следующими свойствами: Площадь такого треугольника равна π. |
| Another type of non-Euclidean geometry is the hyperbolic plane, and arrangements of hyperbolic lines in this geometry have also been studied. | Другим типом неевклидовой геометрии является плоскость Лобачевского, и конфигурации гиперболических прямых в этой геометрии также изучались. |
| Menasco, applying Thurston's hyperbolization theorem for Haken manifolds, showed that any prime, non-split alternating link is hyperbolic, i.e. the link complement has a hyperbolic geometry, unless the link is a torus link. | Вильям Менаско, применив теорему о гиперболизации Тёрстона для многообразий Хакена, доказал, что любое простое неразделимое альтернированное зацепление является гиперболическим, т.е. дополнение зацепления имеет геометрию Лобачевского, если только зацепление не является торическим. |