| A regular {p, q} polyhedron (3-polytope) expands into a polyhedron with vertex figure pp. 4.q.. | Правильный {p, q} многогранник (3-мерный политоп) растягивается в многогранник с вершинную фигуру pp. 4.q.. |
| Ruppert & Seidel (1992) used Schönhardt's polyhedron as the basis for a proof that it is NP-complete to determine whether a non-convex polyhedron can be triangulated. | Рупперт и Зайдель использовали многогранник Шёнхардта как основу доказательства NP-полноты проверки, что невыпуклый многогранник можно триангулизировать. |
| In geometry, a toroidal polyhedron is a polyhedron which is also a toroid (a g-holed torus), having a topological genus of 1 or greater. | В геометрии тороидальный многогранник - это многогранник, который является также тороидом (тор с g дырами), имеющий топологический род, g, равный 1 или выше. |
| In each of these cases the Kleetope is formed by adding a triangular pyramid to each face of the original polyhedron. | Во всех этих случаях многогранник Кли образован добавлением треугольной пирамиды к каждой грани исходного многогранника. |
| Each platonic solid and its dual have the same rectified polyhedron. | Любой правильный многогранник и его двойственный имеют один и тот же полностью усечённый многогранник. |
| The elements of an abstract polyhedron are its body (the maximal element), its faces, edges, vertices and the null polytope or empty set. | Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), грани, рёбра, вершины и нулевой многогранник (пустое множество). |
| For three-dimensional simplicial polyhedra the numbers of edges and two-dimensional faces are determined from the number of vertices by Euler's formula, regardless of whether the polyhedron is stacked, but this is not true in higher dimensions. | Для трёхмерных симплициальных многогранников число рёбер и двумерных граней определяется числом вершин по формуле Эйлера, независимо от того, является многогранник блоковым или нет, но для более высоких размерностей это неверно. |
| However this polyhedron is no longer the one described by the Schläfli symbol {5/2, 5}, and so can not be a Kepler-Poinsot solid even though it still looks like one from outside. | Но этот новый многогранник уже не описывается символом Шлефли {5/2, 5}, и поэтому не является телом Кеплера - Пуансо, хотя по-прежнему выглядит, как одно из них. |
| When regarded as a star icosahedron, the complete stellation is a noble polyhedron, because it is both isohedral (face-transitive) and isogonal (vertex-transitive). | Если рассматривать ехиднаэдр как звёздчатый многогранник, то завершающая форма икосаэдра является благородным многогранником, так как он является равногранным (гране-транзитивным) и изогональным (вершинно-транзитивным). |
| In this sense it is analogous to the three-dimensional great stellated dodecahedron, which is the final stellation of the dodecahedron and the only Kepler-Poinsot polyhedron to have the dodecahedron for its convex hull. | В этом смысле многогранник аналогичен трёхмерному большому звёздчатому додекаэдру, который является конечной стадией приведения к звёздчатой форме додекаэдра и единственным многогранником Кеплера - Пуансо, имеющим додекаэдр в качестве выпуклой оболочки. |
| Its dual, the Szilassi polyhedron, has seven hexagonal faces that are all adjacent to each other, hence providing the existence half of the theorem that the maximum number of colors needed for a map on a (genus one) torus is seven. | Двойственным многогранником является многогранник Силаши, который имеет 7 шестиугольных граней, каждая пара которых смежна друг другу, обеспечивая половину теоремы о том, что максимальное значение цветов для раскраски карты на торе (рода 1) равно семи. |
| An abstract polytope is said to be regular if its combinatorial symmetries are transitive on its flags - that is to say, that any flag can be mapped onto any other under a symmetry of the polyhedron. | Говорят, что абстрактный многогранник является правильным, если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, то есть любой его флаг может быть переведён симметрией многогранника в любой другой. |
| In particular, the Kleetope of any three-dimensional polyhedron is a simplicial polyhedron, a polyhedron in which all facets are triangles. | В частности, многогранник Кли любого трёхмерного многогранника является симплициальным многогранником, многогранником, у которого все грани являются треугольниками. |
| It is impossible to partition the Schönhardt polyhedron into tetrahedra whose vertices are vertices of the polyhedron. | Невозможно разбить многогранник Шёнхардта на тетраэдры, вершины которых являются вершинами многогранника. |
| The geometrical pattern can be described as a polyhedron where the vertices of the polyhedron are the centres of the coordinating atoms in the ligands. | Геометрическая модель может быть описана как многогранник, где вершины многогранника являются центрами координации атомов лигандов. |
| It has the same vertex figure as the nonconvex great rhombicuboctahedron (a uniform polyhedron) but is not a uniform polyhedron and has a smaller symmetry group. | Он имеет ту же самую вершинную фигуру, что и невыпуклый большой ромбокубооктаэдр (однородный многогранник), но не является однородным и имеет меньшую группу симметрии. |
| The Császár polyhedron has the fewest possible vertices of any embedded toroidal polyhedron, and the Szilassi polyhedron has the fewest possible faces of any embedded toroidal polyhedron. | Многогранник Часара имеет наименьшее возможное число вершин, которое может иметь вложенный тороидальный многогранник, а многогранник Силаши имеет наименьшее возможное число граней. |
| The symmetry of the self-dual families can be doubled, so creating an identical geometry as the regular forms: = Like real polytopes, a complex quasiregular polyhedron can be constructed as a rectification (a complete truncation) of a regular polyhedron. | Симметрия самодвойственных семейств может быть удвоена, создавая тем самым идентичную геометрию, как в правильных формах: = Как и в случае вещественных многогранников, комплексный квазиправильный многогранник может быть построен как полное усечение правильного многогранника. |
| The Szilassi polyhedron is named after Hungarian mathematician Lajos Szilassi, who discovered it in 1977. | Назван по имени венгерского математика Лайоша Силаши, обнаружившего многогранник в 1977 году. |
| In particular, the Goldner-Harary graph, the Kleetope of the triangular bipyramid, has six vertices added in the Kleetope construction and only five in the bipyramid from which it was formed, so it is non-Hamiltonian; it is the simplest possible non-Hamiltonian simplicial polyhedron. | В частности, граф Голднера-Харари, многогранник Кли треугольной бипирамиды, имеет шесть вершин, добавленных при построении многогранника Кли, и только пять вершин в бипирамиде, из которой многогранник Кли был создан, так что граф не является гамильтоновым. |