| Here the fundamental class is taken in homology with integer coefficients if the manifold is orientable, and in coefficients modulo 2, otherwise. | Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие является ориентируемым, и коэффициентами по модулю 2 в противном случае. |
| Hill and a partner were awarded a patent (U.S. Patent 1,845,947) for this device, which performed a 6× 6 matrix multiplication modulo 26 using a system of gears and chains. | Хилл с партнёром получили патент на устройство (U.S. Patent 1845947), которое выполняло умножение матрицы 6×6 по модулю 26 при помощи системы шестерёнок и цепей. |
| If 2p + 1 is a safe prime, the multiplicative group of numbers modulo 2p + 1 has a subgroup of large prime order. | Если 2p + 1 безопасное простое, мультипликативная группа чисел по модулю 2p + 1 имеет подгруппу высокого порядка. |
| Natural primes that are congruent to 0 or 1 modulo 3 are not Eisenstein primes: they admit nontrivial factorizations in Z. For example: 3 = -(1 + 2ω)2 7 = (3 + ω)(2 - ω). | Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z. Примеры: 3 = -(1 + 2ω)2 7 = (3 + ω)(2 - ω). |
| The known pattern to this sequence comes from algebraic number theory, specifically, this sequence is the set of primes p such that b is a primitive root modulo pp. | Известные схемы таких последовательностей получаются из алгебраической теории чисел, а именно, эта последовательность является множество простых р, таких что Ь является первообразным корнем по модулю рр. |
| The number of relations required by SNFS still depends on the size of the large number, but the individual calculations are quicker modulo the smaller number. | Число операций для NFS зависит от размера исходного числа, но некоторые вычисления производятся быстрее по модулю меньшего числа. |
| In fact, after 8, all the numbers listed above are odd, and after 167 all the numbers listed above are congruent to 29 modulo 30. | Фактически, после числа 8, все перечисленные выше числа нечётны, а после 167 все перечисленные выше числа сравнимы с 29 по модулю 30. |
| Every prime power (except powers of 2) has a primitive root; thus the multiplicative group of integers modulo pn (or equivalently, the group of units of the ring Z/pnZ) is cyclic. | Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pn (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pnZ) является циклической. |
| In abstract terms, the latter configuration has "points" 0,...,7 and "planes" 0125+i, (i = 0,...,7), where these integers are modulo eight. | В абстрактных терминах, вторая конфигурация имеет «точки» 0,...,7 и «плоскости» 0125+i, (i = 0,...,7), где целые берутся по модулю восемь. |
| Although Pollard described the application of his algorithm to the discrete logarithm problem in the multiplicative group of units modulo a prime p, it is in fact a generic discrete logarithm algorithm-it will work in any finite cyclic group. | Хотя Поллард описывает применение этого алгоритма для задачи дискретного логарифмирования в мультипликативной группе по модулю простого р, он является, фактически, общим алгоритмом дискретного логарифмирования - он будет работать на любой циклической конечной группе. |
| No prime number can be a square, so by the Hasse-Minkowski theorem, whenever p is prime, there exists a larger prime q such that p is not a quadratic residue modulo q. | Никакое простое число не может быть квадратом, так что по теореме Хассе - Минковского, если р - простое, то существует большее простое q, такое что p не является квадратичным вычетом по модулю q. |
| Hence, △ {\displaystyle \vartriangle} is a small root of h {\displaystyle h} modulo N {\displaystyle N}, and Eve can efficiently find it using the Coppersmith method. | Следовательно, Δ {\displaystyle \Delta} это малый корень h {\displaystyle h} по модулю N {\displaystyle N}, и противник может эффективно найти его, используя теорему Копперсмита. |
| That is, the orders of primitive roots of unity in the ring of integers modulo n {\displaystyle n} are divisors of λ (n) {\displaystyle \lambda (n)}. | Другими словами, порядок примитивного корня из единицы в кольце вычетов по модулю n {\displaystyle n} делит λ (n) {\displaystyle \lambda (n)}. |
| Near the end of the nineteenth century, Ludwig Stickelberger obtained his theorem on the residue of the discriminant modulo four. | К концу девятнадцатого века Штикельбергер, Людвиг получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре. |
| Nr is set to the Ns of the last in-order message received plus one (modulo 216). | Таким образом, Nr делается равным Ns последнего по порядку полученного сообщения плюс 1 (по модулю 216). |
| Likewise, rotation angles arise naturally as coordinates (modulo 2π) on the pure rotation generators in the Lie algebra. | Аналогично, углы поворота естественным образом возникают в виде координат (по модулю 2 π {\displaystyle \pi}) на чистом вращении Ли в алгебре Ли. |
| Several FPE constructs are based on adding the output of a standard cipher, modulo n, to the data to be encrypted, with various methods of unbiasing the result. | Несколько других FPE-конструкций основаны на добавлении различными методами выходных данных стандартного шифра по модулю n к данным, которые нужно зашифровать. |
| From Mordell's identities one can conclude that there exists a solution for all n except possibly those that are 1,121, 169,289, 361, or 529 modulo 840. | Из тождеств Морделлы можно получить, что существуют решения для всех n, возможно, за исключением 1,121, 169,289, 361, или 529 по модулю 840. |
| The Hasse principle for Diophantine equations asserts that an integer solution of a Diophantine equation should be formed by combining solutions obtained modulo each possible prime number. | Принцип Хассе для диофантовых уравнений утверждает, что целочисленное решение диофантова уравнения можно получить в виде комбинации целочисленных решений по модулю всех возможных простых чисел. |
| If a safe prime q is congruent to 7 modulo 8, then it is a divisor of the Mersenne number with its matching Sophie Germain prime as exponent. | Если безопасное простое q равно 7 по модулю 8, оно является делителем числа Мерсенна, которое соответствует числу Софи Жермен (используемому как степень). |
| This has a number of benefits in standard systems that represent large integers in binary form: Any value can be rapidly reduced modulo 2n + 1 using only shifts and adds, as explained in the next section. | У этого способа есть ряд преимуществ в ряде стандартных систем, в которых большие целые числа представлены в двоичном виде: Любое число может быть быстро уменьшено по модулю 2n + 1 используя только сдвиг и сложение. |
| The algorithm attempts to set up a congruence of squares modulo n (the integer to be factorized), which often leads to a factorization of n. | Алгоритм пытается найти такие квадраты чисел, которые равны по модулю n {\displaystyle n} (факторизуемое число), что часто приводит к факторизации n {\displaystyle n}. |
| However, as Mordell (1967) showed, a polynomial identity that provides a solution for values of n congruent to r mod p can exist only when r is not a quadratic residue modulo pp. | Однако как показал Морделл, уравнения, обеспечивающие решение для n, сравнимого с r по модулю p, могут существовать только для r, не являющихся квадратичным вычетом по модулю pp. |
| Very Smooth Number Discrete Logarithm (VSDL) is a problem where given a very smooth number, we want to find its discrete logarithm modulo some number n. | Very Smooth Number Discrete Logarithm (VSDL) - это дискретный логарифм от некоторого VSN, взятый по модулю некоторого числа n. |
| Therefore, if a counterexample to the Erdős-Straus conjecture exists, the smallest n forming a counterexample would have to be a prime number, and it can be further restricted to one of six infinite arithmetic progressions modulo 840. | По этой причине наименьшее n {\displaystyle n} в контрпримере, если таковой существует, должно быть простым числом и должно быть сравнимо с членом одной из шести бесконечных арифметических прогрессий по модулю 840. |