| The first knot polynomial, the Alexander polynomial, was introduced by James Waddell Alexander II in 1923, but other knot polynomials were not found until almost 60 years later. | Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя. |
| The Ehrhart polynomial L(P, t) of a polyhedron P is a polynomial that counts the number of integer points in a copy of P that is expanded by multiplying all its coordinates by the number t. | Многочлен Эрхарта L(P, t) многогранника P - многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. |
| A basic fact on symmetric polynomials is that any symmetric polynomial in, say, ti's is a polynomial in elementary symmetric polynomials in ti's. | Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, ti является многочленом от элементарных симметричных многочленов от ti. |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| The Hilbert polynomial of a projective variety V in Pn is defined as the Hilbert polynomial of the homogeneous coordinate ring of V. Polynomial rings and their quotients by homogeneous ideals are typical graded algebras. | Многочлен Гильберта проективного многообразия V в Pn определяется как многочлен Гильберта однородного координатного кольца V. Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам - это типичные градуированные алгебры. |
| Chandran, Francis & Sivadasan (2010) observe that this follows from the fact that these graphs have a polynomial number of maximal cliques. | Чандран, Фрэнсис и Сивадасан (Chandran, Francis, Sivadasan (2010)) заметили, что это следует из факта, что эти графы имеют полиномиальное число максимальных клик. |
| It follows that the biclique-free string graphs, string graphs containing no Kt, t subgraph for some constant t, have O(n) edges and more strongly have polynomial expansion. | Отсюда следует, что струнные графы без клик, струнные графы, не содержащие подграфов Kt, t ни для какой постоянной t, имеют O(n) рёбер и имеют полиномиальное расширение. |
| L-reductions in studies of approximability of optimization problems play a similar role to that of polynomial reductions in the studies of computational complexity of decision problems. | L-приведение в изучении возможности аппроксимации задач оптимизации играет похожую роль, какую играет полиномиальное приведение при изучении вычислительной сложности задач разрешимости. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| If this function exists and is bounded by a polynomial, the graph family is said to have polynomial expansion. | Если такая функция существует и ограничена многочленом, говорят, что семейство имеет полиномиальное расширение. |
| The formula itself is correct, but there is no standard form of a polynomial. | Сама формула корректна, но стандартной формы для многочлена не существует. |
| The problem of computing the number of 3-colorings of a given graph is a canonical example of a #P-complete problem, so the problem of computing the coefficients of the chromatic polynomial is #P-hard. | Задача вычисления числа З-раскрасок данного графа является каноническим примером Р-полной задачи, так что задача вычисления коэффициентов хроматического многочлена Р-трудна. |
| The degree of the polynomial curve being higher than needed for an exact fit is undesirable for all the reasons listed previously for high order polynomials, but also leads to a case where there are an infinite number of solutions. | Степень многочлена, более высокая, чем необходимо для точного прохождения кривой через точки, нежелательна по всем перечисленным выше причинам, но, кроме того, приводит к бесконечному числу решений. |
| Conversely, the QR algorithm can be used to compute the roots of any given characteristic polynomial by finding the Schur decomposition of its companion matrix. | И наоборот, QR-алгоритм можно использовать для вычисления корней любого заданного характеристического многочлена путём нахождения разложения Шура его сопровождающей матрицы. |
| The infinity norm of a polynomial is simply the largest coefficient of the polynomial when these coefficients are viewed as integers. | Понятие бесконечной нормы полинома вводится просто как наибольший коэффициент многочлена, когда эти коэффициенты рассматриваются как целые числа. |
| The analysis can be improved to within a polynomial factor of the number t (G) {\displaystyle t(G)} of spanning trees of the input graph. | Анализ времени работы можно улучшить до полиномиального множителя числа t (G) {\displaystyle t(G)} остовных деревьев входного графа. |
| The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two-dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. | Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения). |
| In higher dimensional Euclidean spaces, intersection graphs of systems of balls with the property that any point of space is covered by a bounded number of balls also obey separator theorems that imply polynomial expansion. | В евклидовых пространствах более высоких размерностей графы пересечений систем шаров со свойством, что любая точка пространства покрыта ограниченным числом шаров, также удовлетворяют теоремам о разбиениях, откуда следует существование полиномиального расширения. |
| The problem is that π is not rational (it cannot be expressed as the quotient of two integers), nor is it algebraic (it is not a root of a polynomial equation with rational coefficients). | Проблема заключается в том, что π не является рациональным (его нельзя выразить в виде дроби двух целых чисел) и даже не является алгебраическим (оно не является корнем никакого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). |
| The double-exponential dependence on k cannot be reduced to single exponential by a kernelization of polynomial size, unless the polynomial hierarchy collapses, and if the exponential time hypothesis is true then double-exponential dependence is necessary regardless of whether kernelization is used. | Двойная экспоненциальная зависимость от к не может быть сведена к простой экспоненциональной зависимости посредством выделения ядра полиномиального размера, пока полиномиальная иерархия не исчезнет, и если гипотеза об экспоненциальном времени верна, двойной экспонециальной зависимости не избежать, будем мы использовать выделение ядра или нет. |
| Weighted projective spaces can be constructed using a polynomial ring whose variables have non-standard degrees. | Взвешенные проективные пространства можно построить, используя кольца многочленов с нестандартными степенями переменных. |
| This is equivalent to the statement that the polynomial ring is a free module over the ring of radical polynomials. | Это эквивалентно тому, что кольцо многочленов является свободным модулем над кольцом радикальных многочленов. |
| Generalizing this result, Hilbert's Nullstellensatz provides a fundamental correspondence between ideals of polynomial rings and algebraic sets. | Теорема Гильберта о нулях, обобщая этот результат, установила фундаментальное соответствие между идеалами кольца многочленов и алгебраическими многообразиями. |
| A natural example of a problem in co-RP currently not known to be in P is Polynomial Identity Testing, the problem of deciding whether a given multivariate arithmetic expression over the integers is the zero-polynomial. | Ярким примером задачи, которая лежит в Co-RP, но неизвестно лежит ли она в P является задача проверки двух многочленов на равенство: определить, является ли полиномиально выражение с несколькими целыми переменными тождественным нулем. |
| For some knot polynomials, such as the Conway, Alexander, and Jones polynomials, the relevant skein relations are sufficient to calculate the polynomial recursively. | Для некоторых многочленов, таких как полиномы Конвея, Александера и Джонса, подходящего скейн-соотношения достаточно, чтобы вычислить многочлен рекурсивно. |
| In practice, eigenvalues of large matrices are not computed using the characteristic polynomial. | На практике собственные числа больших матриц не вычисляются с использованием характеристического полинома. |
| However, the exponent of the polynomial depends on the clique-width of the graph, so this algorithms is not fixed-parameter tractable. | Однако степень полинома зависит от кликовой ширины графа, так что эти алгоритмы не являются фиксированно-параметрически разрешимыми. |
| Given a (x) {\displaystyle a(x)} and t (x) {\displaystyle t(x)}, it should be computationally infeasible to recover the polynomial s (x) {\displaystyle s(x)}. | Данные а (х) {\displaystyle a(x)} и t (x) {\displaystyle t(x)} полиномы должны быть вычислительно неразрешимы для задачи восстановления полинома s (x) {\displaystyle s(x)}. |
| Assume that the time to construct the polynomial p (x) {\displaystyle p(x)} using p/ c {\displaystyle p/c} pairs are small, in comparison to the time to encrypt the required plaintexts. | Предположим, что время для построения полинома р (х) {\displaystyle p(x)} с помощью пар p/ c {\displaystyle p/c} мало, по сравнению с временем, которое необходимо для того, чтобы зашифровать открытые тексты. |
| The previous example involved an indicial polynomial with a repeated root, which gives only one solution to the given differential equation. | В предыдущем примере, у определяющего полинома был краный корень, который дает только одно решение данного дифференциального уравнения. |
| Subtracting one side from the other, factoring, and disregarding trivial factors will then yield the minimal polynomial of certain Salem numbers. | Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и пренебрегая тривиальными множителями, мы получим минимальный полином для некоторых чисел Салема. |
| This may be a simple quadratic, or a polynomial or rational function over a Galois field. | Это может быть простое квадратичная функция, полином или рациональная функция над полем Галуа. |
| Iterative numerical algorithms for approximating roots of polynomials exist, such as Newton's method, but in general it is impractical to compute the characteristic polynomial and then apply these methods. | Существуют итеративные численные алгоритмы аппроксимации корней полинома, например, метод Ньютона, но в общем случае непрактично вычислять характеристический полином и применять к ним эти методы. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| The general definition of the indicial polynomial is the coefficient of the lowest power of z in the infinite series. | В общем, определяющий полином является самым малым показателем степени для z в бесконечном ряду. |
| All linear programs can be expressed as SDPs, and via hierarchies of SDPs the solutions of polynomial optimization problems can be approximated. | Все задачи линейного программирования могут быть выражены как задачи SDP, а с помощью иерархий задач SDP могут быть аппроксимированы решения задач полиномиальной оптимизации. |
| It is possible to find a representation of any Apollonian network as convex 3d polyhedron in which all of the coordinates are integers of polynomial size, better than what is known for other planar graphs. | Можно найти представление любого графа Аполлония как выпуклого З-мерного многогранника, в котором все координаты являются целыми числами полиномиальной величины, что лучше, чем для других планарных графов. |
| Alternatively, with polynomial dependence on the graph size, the dependence on k {\displaystyle k} can be made as small as 2.3146 k {\displaystyle 2.3146^{k}}. | Альтернативно, с полиномиальной зависимостью от размера, зависимость от к {\displaystyle k} может быть сведена к 2,314 6 k {\displaystyle 2{,}3146^{k}}. |
| To define this more precisely, the maximum number of inflection points possible in a polynomial curve is n-2, where n is the order of the polynomial equation. | Говоря точнее, максимальное число точек перегиба полиномиальной кривой равно n-2, где n - порядок многочлена. |
| They are often used as nodes in polynomial interpolation because the resulting interpolation polynomial minimizes the effect of Runge's phenomenon. | Они часто используются в качестве узлов при полиномиальной интерполяции, так как позволяют снизить влияние феномена Рунге. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |