| The Alexander polynomial can also be computed from the Seifert matrix. | Многочлен Александера можно вычислить, исходя из матрицы Зейферта. |
| Let p ∈ F be an irreducible polynomial which splits in a formally real extension R of F (i.e., p has only real roots). | Пусть р ∈ F - неприводимый многочлен, который разлагается в формальном вещественном расширении R поля F (то есть p имеет только вещественные корни). |
| More generally, suppose that F is a formally real field, and that p(x) ∈ F is a cubic polynomial, irreducible over F, but having three real roots (roots in the real closure of F). | Более обще, предположим, что F является формальным вещественным полем и p(x) ∈ F - кубический многочлен, неприводимый над F, но имеющий три вещественных корня (корни в вещественном замыкании поля F). |
| At x = 0 {\displaystyle x=0}, the Tutte polynomial specialises to the flow polynomial studied in combinatorics. | При х = 0 {\displaystyle x=0} многочлен Тата превращается в потоковый многочлен, изучаемый в комбинаторике. |
| Notice that Alexander polynomial and Conway polynomial can not recognize the difference of left-trefoil knot and right-trefoil knot. | Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники. |
| Because of the connection between separators and expansion, every minor-closed graph family, including the family of planar graphs, has polynomial expansion. | Поскольку существует связь между сепараторами и расширением, любое замкнутое по минорам семейство графов, включая семейство планарных графов, имеет полиномиальное расширение. |
| If f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}}, it is said that L {\displaystyle L} admits a polynomial kernel. | Если f = k O (1) {\displaystyle f=k^{O(1)}} говорят, что L {\displaystyle L} допускает полиномиальное ядро. |
| L-reductions in studies of approximability of optimization problems play a similar role to that of polynomial reductions in the studies of computational complexity of decision problems. | L-приведение в изучении возможности аппроксимации задач оптимизации играет похожую роль, какую играет полиномиальное приведение при изучении вычислительной сложности задач разрешимости. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| A stronger notion is polynomial expansion, meaning that the function f used to bound the edge density of shallow minors is a polynomial. | Более строгое понятие - полиномиальное расширение, означающее, что функция f, используемая для ограничения плотности рёбер миноров ограниченной глубины, полиномиальна. |
| In mathematics, the height and length of a polynomial P with complex coefficients are measures of its "size". | Высота и длина многочлена Р с комплексными коэффициентами являются мерами его «размера». |
| Any Pisot number or Salem number is a Perron number, as is the Mahler measure of a monic integer polynomial. | Любое число Пизо или число Салема является числом Перрона, как и мера Малера мономерного целочисленного многочлена. |
| One can also say that the diagonalizable matrices form a dense subset with respect to the Zariski topology: the complement lies inside the set where the discriminant of the characteristic polynomial vanishes, which is a hypersurface. | Можно также сказать, что диагонализируемые матрицы образуют плотное подмножество в рамках топологии Зарисского: дополнение к этому подмножеству лежит множестве, в котором дискриминант характеристического многочлена обнуляется, то есть на гиперповерхности. |
| A skein relation gives a linear relation between the values of a knot polynomial on a collection of three links which differ from each other only in a small region. | Неформально говоря, скейн-соотношение задаёт линейную связь значений многочлена узла на трёх зацеплениях, которые отличаются друг от друга лишь в малой области. |
| It follows from the Leibniz rule that in this situation, mr is also the number of differentiations that must be performed on f(x) before r is not a root of the resulting polynomial. | Из правила произведения следует, что мг также является количеством применений операции дифференцирования, которые можно провести над f(x) до тех пор, пока r не перестанет быть корнем оставшегося многочлена. |
| For example, a projection is a square matrix P satisfying P2 = P. The roots of the corresponding scalar polynomial equation, λ2 = λ, are 0 and 1. | Например, проектор - это квадратная матрица Р, удовлетворяющая уравнению P2 = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ2 = λ будут 0 и 1. |
| The term sub-exponential time is used to express that the running time of some algorithm may grow faster than any polynomial but is still significantly smaller than an exponential. | Термин субэкспоненциальное время используется, чтобы выразить, что время выполнения некоторого алгоритма может расти быстрее любого полиномиального, но остаётся существенно меньше, чем экспоненциальное. |
| In contrast, there exist graphs that have greedy embeddings in the Euclidean plane, but for which any such embedding requires a polynomial number of bits for the Cartesian coordinates of each point. | В качестве контраста существуют графы, допускающие жадное вложение в евклидову плоскость, но такое вложение требует полиномиального числа бит декартовых координат для каждой точки. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The double-exponential dependence on k cannot be reduced to single exponential by a kernelization of polynomial size, unless the polynomial hierarchy collapses, and if the exponential time hypothesis is true then double-exponential dependence is necessary regardless of whether kernelization is used. | Двойная экспоненциальная зависимость от к не может быть сведена к простой экспоненциональной зависимости посредством выделения ядра полиномиального размера, пока полиномиальная иерархия не исчезнет, и если гипотеза об экспоненциальном времени верна, двойной экспонециальной зависимости не избежать, будем мы использовать выделение ядра или нет. |
| Weighted projective spaces can be constructed using a polynomial ring whose variables have non-standard degrees. | Взвешенные проективные пространства можно построить, используя кольца многочленов с нестандартными степенями переменных. |
| This is equivalent to the statement that the polynomial ring is a free module over the ring of radical polynomials. | Это эквивалентно тому, что кольцо многочленов является свободным модулем над кольцом радикальных многочленов. |
| It states that every finitely generated projective module over a polynomial ring is free. | Алгебраическая формулировка результата: любой конечнопорождённый проективный модуль над кольцом многочленов над полем является свободным. |
| For some knot polynomials, such as the Conway, Alexander, and Jones polynomials, the relevant skein relations are sufficient to calculate the polynomial recursively. | Для некоторых многочленов, таких как полиномы Конвея, Александера и Джонса, подходящего скейн-соотношения достаточно, чтобы вычислить многочлен рекурсивно. |
| This led to the discovery of more knot polynomials, such as the so-called HOMFLY polynomial. | Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY. |
| In other words, the nth moment is the nth complete Bell polynomial evaluated at the first n cumulants. | Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах. |
| In practice, eigenvalues of large matrices are not computed using the characteristic polynomial. | На практике собственные числа больших матриц не вычисляются с использованием характеристического полинома. |
| This construction of the Jones polynomial for tangles is a simple generalization of the Kauffman bracket of a link. | Конструкция полинома Джонса для тенгла является простым обобщением скобки Кауффмана для зацеплений. |
| Given a (x) {\displaystyle a(x)} and t (x) {\displaystyle t(x)}, it should be computationally infeasible to recover the polynomial s (x) {\displaystyle s(x)}. | Данные а (х) {\displaystyle a(x)} и t (x) {\displaystyle t(x)} полиномы должны быть вычислительно неразрешимы для задачи восстановления полинома s (x) {\displaystyle s(x)}. |
| It is also efficient for any integers which can be represented as a polynomial with small coefficients. | Он также эффективен для чисел, представимых в виде полинома с небольшими коэффициентами. |
| You approximate the time curvature using a seventh order polynomial. | Вы рассчитываете временное искривление, используя полином седьмой степени. |
| For others, such as the HOMFLYPT polynomial, more complicated algorithms are necessary. | Для других, таких как полином HOMFLY, требуются более сложные алгоритмы. |
| This may be a simple quadratic, or a polynomial or rational function over a Galois field. | Это может быть простое квадратичная функция, полином или рациональная функция над полем Галуа. |
| The general definition of the indicial polynomial is the coefficient of the lowest power of z in the infinite series. | В общем, определяющий полином является самым малым показателем степени для z в бесконечном ряду. |
| If the polynomial has a relative low number of unknown coefficients, then with a collection of plaintext/ciphertext (p/c) pairs, the polynomial can be reconstructed. | Если многочлен имеет относительно низкое число неизвестных коэффициентов, то с набором пар открытого текста/ зашифрованного текста, полином может быть восстановлен. |
| There are multiple equivalent definitions of the classes of the polynomial hierarchy. | Существует множество эквивалентных определений классов полиномиальной иерархии. |
| All linear programs can be expressed as SDPs, and via hierarchies of SDPs the solutions of polynomial optimization problems can be approximated. | Все задачи линейного программирования могут быть выражены как задачи SDP, а с помощью иерархий задач SDP могут быть аппроксимированы решения задач полиномиальной оптимизации. |
| The proposed method for sub-pixel edge detection of object in images, based on low-pass filtration, using polynomial interpolation, that helps to get coordinates of edge point with sub-pixel accuracy is suggested. | Предложен метод нахождения края изображения объекта на основе низкочастотной фильтрации путем использования полиномиальной интерполяции, позволяющей получить координаты краевой точки с субпиксельной точностью. |
| If the resulting polynomial degree is greater than 3, the number of calibration points shall be at least equal to this polynomial degree plus 2. | Если полученная в результате полиномиальная степень больше трех, то количество калибровочных точек должно по крайней мере равняться этой полиномиальной степени плюс 2. |
| Conversely, there are algorithms which run in a number of Turing machine steps bounded by a polynomial in the length of binary-encoded input, but do not take a number of arithmetic operations bounded by a polynomial in the number of input numbers. | Обратно - существуют алгоритмы, которые работают за число шагов машины Тьюринга, ограниченных полиномиальной длиной бинарно закодированного входа, но не работают за число арифметических операций, ограниченное многочленом от количества чисел на входе. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Group theory, developed in the early 1800s for the sole purpose of solving polynomial equations, became a fruitful way of categorizing elementary particles-the building blocks of matter. | Например, теория групп, разработанная в начале 1800-х годов, единственной целью которой являлась возможность решения полиномиальных уравнений, оказалась наиболее подходящим способом для категоризации элементарных частиц - строительных блоков материи. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |