| If p is any polynomial and p(A) = 0, then the eigenvalues of A also satisfy the same equation. | Если р - любой многочлен и р(А) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. |
| Is the polynomial x2 - 1 a linear combination of p1, p2, and p3? | Является ли многочлен x2 - 1 линейной комбинацией p1, p2 и p3? |
| In commutative algebra, the Hilbert function, the Hilbert polynomial, and the Hilbert series of a graded commutative algebra finitely generated over a field are three strongly related notions which measure the growth of the dimension of the homogeneous components of the algebra. | Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта градуированной коммутативной алгебры, конечно порождённой над полем - это три тесно связанных понятия, которые позволяют измерить рост размерности однородных компонент алгебры. |
| Notice that Alexander polynomial and Conway polynomial can not recognize the difference of left-trefoil knot and right-trefoil knot. | Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники. |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| A closely related but stronger property, polynomial expansion, is equivalent to the existence of separator theorems for these families. | Близкое, но более сильное свойство, полиномиальное расширение, эквивалентно существованию теорем разбиения для этих семейств. |
| Because of the connection between separators and expansion, every minor-closed graph family, including the family of planar graphs, has polynomial expansion. | Поскольку существует связь между сепараторами и расширением, любое замкнутое по минорам семейство графов, включая семейство планарных графов, имеет полиномиальное расширение. |
| L-reductions in studies of approximability of optimization problems play a similar role to that of polynomial reductions in the studies of computational complexity of decision problems. | L-приведение в изучении возможности аппроксимации задач оптимизации играет похожую роль, какую играет полиномиальное приведение при изучении вычислительной сложности задач разрешимости. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| Furthermore, one is often not directly interested in specific parameters values, but just, for example, the degree of the polynomial. | Более того, часто конкретные значения параметров напрямую не очень интересны, а интересны только, например, степень многочлена. |
| They are obtained by adjoining a root of the polynomial x3 - 21x + 28 or x3 - 21x - 35, respectively. | Они получаются присоединением корня многочлена хЗ - 21x + 28 или x3 - 21x - 35 соответственно. |
| Another example is that the maximum height (maximum absolute value of coefficients) of all the factors of xn - 1 appears to be the same as the height of the nth cyclotomic polynomial. | Другой пример - максимальная высота (максимальное абсолютное значение коэффициентов) всех множителей xn - 1 оказывается той же самой, что и высота кругового многочлена n-й степени. |
| There are several reasons given to get an approximate fit when it is possible to simply increase the degree of the polynomial equation and get an exact match.: Even if an exact match exists, it does not necessarily follow that it can be readily discovered. | Имеется несколько причин для получения приближённого решения, когда просто увеличение степени многочлена дало бы точное прохождение через точки: Даже если точное решение существует, из этого не следует, что его легко найти. |
| The standard separation of variables theorem states that every multivariate polynomial over a field can be decomposed as a finite sum of products of a radical polynomial and a harmonic polynomial. | Согласно стандартной теореме о разделении переменных любой многочлен от многих переменных над полем может быть разложен в конечную сумму произведений радикального многочлена и гармонического многочлена. |
| The term sub-exponential time is used to express that the running time of some algorithm may grow faster than any polynomial but is still significantly smaller than an exponential. | Термин субэкспоненциальное время используется, чтобы выразить, что время выполнения некоторого алгоритма может расти быстрее любого полиномиального, но остаётся существенно меньше, чем экспоненциальное. |
| In contrast, there exist graphs that have greedy embeddings in the Euclidean plane, but for which any such embedding requires a polynomial number of bits for the Cartesian coordinates of each point. | В качестве контраста существуют графы, допускающие жадное вложение в евклидову плоскость, но такое вложение требует полиномиального числа бит декартовых координат для каждой точки. |
| As Kowalik (2009) showed, it is possible to test whether a graph has a 3-edge-coloring in time O(1.344n), while using only polynomial space. | В 2009 году показано, что проверить, существует ли рёберная раскраска графа тремя цветами, можно за время O (1.344 n) {\displaystyle O(1.344^{n})} при использовании лишь полиномиального пространства. |
| For this reason, a convenient and symmetric reformulation of the Erdős-Hajnal conjecture is that for every graph H {\displaystyle H}, the H {\displaystyle H} -free graphs necessarily contain an induced perfect subgraph of polynomial size. | По этой причине удобной и симметричной формулировкой гипотезы - Хайналя служит утверждение, что для любого графа Н {\displaystyle H}, свободные от H {\displaystyle H} графы обазательно содержат порождённый совершенный подграф полиномиального размера. |
| In higher dimensional Euclidean spaces, intersection graphs of systems of balls with the property that any point of space is covered by a bounded number of balls also obey separator theorems that imply polynomial expansion. | В евклидовых пространствах более высоких размерностей графы пересечений систем шаров со свойством, что любая точка пространства покрыта ограниченным числом шаров, также удовлетворяют теоремам о разбиениях, откуда следует существование полиномиального расширения. |
| The SWIFFT functions can be described as a simple algebraic expression over some polynomial ring R {\displaystyle R}. | Функции SWIFFT могут быть описаны как простое алгебраическое выражение над некоторым кольцом многочленов R {\displaystyle R}. |
| A small sample of that theory can be found in the article on polynomial sequences of binomial type. | Небольшой пример этой теории можно найти в статье о последовательности многочленов биномиального типа. |
| A general theory covering such relations, including the falling and rising factorial functions, is given by the theory of polynomial sequences of binomial type and Sheffer sequences. | Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории последовательностей многочленов биномиального типа и последовательностей Шеффера. |
| Note that even in the reducible case in which one of three real roots is rational and hence can be factored out by polynomial long division, Cardano's formula (unnecessarily in this case) expresses that root (and the others) in terms of non-real radicals. | Заметим, что даже в приводимом случае, в котором один из трёх корней является рациональным, а потому многочлен может быть разложен с помощью деления многочленов столбиком, формула Кардано (необязательно в этом случае) выражает этот корень (и другие) в терминах невещественных радикалов. |
| In SEM computational error decreases exponentially as the order of approximating polynomial, therefore a fast convergence of solution to the exact solution is realized with fewer degrees of freedom of the structure in comparison with FEM. | В МСЭ вычислительная ошибка уменьшается экспоненциально по мере роста порядка аппроксимирующих многочленов, потому быстрой сходимости решения к точному решению удаётся получить с меньшей степенью свободы структуры по сравнению с методом конечных элементов (МКЭ). |
| However, the exponent of the polynomial depends on the clique-width of the graph, so this algorithms is not fixed-parameter tractable. | Однако степень полинома зависит от кликовой ширины графа, так что эти алгоритмы не являются фиксированно-параметрически разрешимыми. |
| It is also efficient for any integers which can be represented as a polynomial with small coefficients. | Он также эффективен для чисел, представимых в виде полинома с небольшими коэффициентами. |
| Now, for well-behaved functions, there's always an Nth-degree polynomial... take you to an error curve that oscillates back and forth between... positive epsilon and negative epsilon... the value of N+2 times brings you back | Для хороших функций существует полинома п-степени. Она относит вас к кривой ошибок, что колеблется туда и обратно между позитивным эпсилоном и негативным. |
| The infinity norm of a polynomial is simply the largest coefficient of the polynomial when these coefficients are viewed as integers. | Понятие бесконечной нормы полинома вводится просто как наибольший коэффициент многочлена, когда эти коэффициенты рассматриваются как целые числа. |
| We will express the value of z {\displaystyle z} as a polynomial of the plaintext x {\displaystyle x}, and as a polynomial of the ciphertext c {\displaystyle c}. | Мы выразим значение z {\displaystyle z} в виде полинома открытого текста x {\displaystyle x}, и как многочлен зашифрованного текста c {\displaystyle c}. |
| Alexander proved the Alexander polynomial satisfies a skein relation. | Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. |
| Iterative numerical algorithms for approximating roots of polynomials exist, such as Newton's method, but in general it is impractical to compute the characteristic polynomial and then apply these methods. | Существуют итеративные численные алгоритмы аппроксимации корней полинома, например, метод Ньютона, но в общем случае непрактично вычислять характеристический полином и применять к ним эти методы. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| Is there a nontrivial knot with Jones polynomial equal to that of the unknot? | Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла? |
| If the polynomial has a relative low number of unknown coefficients, then with a collection of plaintext/ciphertext (p/c) pairs, the polynomial can be reconstructed. | Если многочлен имеет относительно низкое число неизвестных коэффициентов, то с набором пар открытого текста/ зашифрованного текста, полином может быть восстановлен. |
| There are multiple equivalent definitions of the classes of the polynomial hierarchy. | Существует множество эквивалентных определений классов полиномиальной иерархии. |
| The union of all classes in the polynomial hierarchy is the complexity class PH. | Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом РН. |
| Based on this evaluation, the calculation of the Hosoya index is fixed-parameter tractable for graphs of bounded treewidth and polynomial (with an exponent that depends linearly on the width) for graphs of bounded clique-width. | Основываясь на этом вычислении индекса Хосойи, задача является фиксированно-параметрически разрешимой для графов ограниченной древесной ширины и полиномиальной (с экспонентой, зависящей линейно от ширины) для графов ограниченной кликовой ширины. |
| If the resulting polynomial degree is greater than 3, the number of calibration points shall be at least equal to this polynomial degree plus 2. | Если полученная в результате полиномиальная степень больше трех, то количество калибровочных точек должно по крайней мере равняться этой полиномиальной степени плюс 2. |
| Conversely, there are algorithms which run in a number of Turing machine steps bounded by a polynomial in the length of binary-encoded input, but do not take a number of arithmetic operations bounded by a polynomial in the number of input numbers. | Обратно - существуют алгоритмы, которые работают за число шагов машины Тьюринга, ограниченных полиномиальной длиной бинарно закодированного входа, но не работают за число арифметических операций, ограниченное многочленом от количества чисел на входе. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Group theory, developed in the early 1800s for the sole purpose of solving polynomial equations, became a fruitful way of categorizing elementary particles-the building blocks of matter. | Например, теория групп, разработанная в начале 1800-х годов, единственной целью которой являлась возможность решения полиномиальных уравнений, оказалась наиболее подходящим способом для категоризации элементарных частиц - строительных блоков материи. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |