| R. M. Foster had already observed that the chromatic polynomial is one such function, and Tutte began to discover more. | Р. М. Фостер уже заметил, что хроматический многочлен является одной из таких функций, а Тат начал обнаруживать другие. |
| It was generalised to the Tutte polynomial by Hassler Whitney and W. T. Tutte, linking it to the Potts model of statistical physics. | Многочлен обобщили Х. Уитни и У. Т. Тат до многочлена Тата, связав его с моделью Поттса статистической физики. |
| For example, a first degree polynomial (a line) constrained by only a single point, instead of the usual two, would give an infinite number of solutions. | Например, многочлен первой степени (прямая) с ограничением одной точкой вместо обычных двух приводит к бесконечному числу решений. |
| The Ehrhart polynomial L(P, t) of a polyhedron P is a polynomial that counts the number of integer points in a copy of P that is expanded by multiplying all its coordinates by the number t. | Многочлен Эрхарта L(P, t) многогранника P - многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. |
| We will express the value of z {\displaystyle z} as a polynomial of the plaintext x {\displaystyle x}, and as a polynomial of the ciphertext c {\displaystyle c}. | Мы выразим значение z {\displaystyle z} в виде полинома открытого текста x {\displaystyle x}, и как многочлен зашифрованного текста c {\displaystyle c}. |
| L-reductions in studies of approximability of optimization problems play a similar role to that of polynomial reductions in the studies of computational complexity of decision problems. | L-приведение в изучении возможности аппроксимации задач оптимизации играет похожую роль, какую играет полиномиальное приведение при изучении вычислительной сложности задач разрешимости. |
| He proves that the method takes time polynomial in the number of circles and in log 1/ε, where ε is a bound on the distance of the centers and radii of the computed packing from those in an optimal packing. | Он доказал, что метод работает за полиномиальное от числа окружностей время и от log 1/ε, где ε является границей расстояний от центров и разницей радиусов вычисленной упаковки и оптимальной упаковки. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| If this function exists and is bounded by a polynomial, the graph family is said to have polynomial expansion. | Если такая функция существует и ограничена многочленом, говорят, что семейство имеет полиномиальное расширение. |
| A stronger notion is polynomial expansion, meaning that the function f used to bound the edge density of shallow minors is a polynomial. | Более строгое понятие - полиномиальное расширение, означающее, что функция f, используемая для ограничения плотности рёбер миноров ограниченной глубины, полиномиальна. |
| The absolute values of coefficients of every chromatic polynomial form a log-concave sequence. | Абсолютные значения коэффициентов любого хроматического многочлена образует логарифмически вогнутую последовательность. |
| John Conway later rediscovered this in a different form and showed that the skein relation together with a choice of value on the unknot was enough to determine the polynomial. | Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что скейн-соотношение вместе с выбором значения на тривиальном узле достаточно для определения многочлена. |
| Soon after Conway's reworking of the Alexander polynomial, it was realized that a similar skein relation was exhibited in Alexander's paper on his polynomial. | Вскоре после доработки Конвеем многочлена Александера стало понятно, что похожее скейн-соотношение было и в статье Александера для его многочлена. |
| Introducing a second order polynomial to compensate this error enables an easy handling in the gtr without the need of additional software and without a significant loss of accuracy. | Ввод квадратного многочлена для компенсации этой погрешности позволяет легко применять ГТП на практике без дополнительного программного обеспечения и без ощутимых потерь в точности. |
| If the resulting polynomial degree is greater than three, then the number of calibration points shall be at least the number of the polynomial degree plus two. | Если результирующая степень многочлена превышает три, то в этом случае количество калибровочных точек должно соответствовать по крайней мере числу, отражающему степень многочлена, плюс два. |
| For example, a projection is a square matrix P satisfying P2 = P. The roots of the corresponding scalar polynomial equation, λ2 = λ, are 0 and 1. | Например, проектор - это квадратная матрица Р, удовлетворяющая уравнению P2 = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ2 = λ будут 0 и 1. |
| As Kowalik (2009) showed, it is possible to test whether a graph has a 3-edge-coloring in time O(1.344n), while using only polynomial space. | В 2009 году показано, что проверить, существует ли рёберная раскраска графа тремя цветами, можно за время O (1.344 n) {\displaystyle O(1.344^{n})} при использовании лишь полиномиального пространства. |
| In higher dimensional Euclidean spaces, intersection graphs of systems of balls with the property that any point of space is covered by a bounded number of balls also obey separator theorems that imply polynomial expansion. | В евклидовых пространствах более высоких размерностей графы пересечений систем шаров со свойством, что любая точка пространства покрыта ограниченным числом шаров, также удовлетворяют теоремам о разбиениях, откуда следует существование полиномиального расширения. |
| Even more restrictive, and useful in practice, is the fully polynomial-time approximation scheme or FPTAS, which requires the algorithm to be polynomial in both the problem size n and 1/ε. | Дальнейшим ограничением более полезным на практике является приближенная схема полностью полиномиального времени или fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS), которая требует, чтобы время выполнения алгоритма полиномиально зависело и от размера задачи n, и от 1/ε. |
| The HOMFLY polynomial is even better at detecting chirality, but there is no known polynomial knot invariant which can fully detect chirality. | Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность. |
| The SWIFFT functions can be described as a simple algebraic expression over some polynomial ring R {\displaystyle R}. | Функции SWIFFT могут быть описаны как простое алгебраическое выражение над некоторым кольцом многочленов R {\displaystyle R}. |
| If S is generated by finitely many elements of degree 1 (e.g. a polynomial ring or a homogenous quotient of it), all quasicoherent sheaves on Proj S arise from graded modules by this construction. | Если S порождается конечным числом элементов степени 1 (то есть является кольцом многочленов или его фактором), все квазикогерентные пучки на Proj S получаются из градуированных модулей с помощью этой конструкции. |
| Currently, umbral calculus refers to the study of Sheffer sequences, including polynomial sequences of binomial type and Appell sequences, but may encompass systematic correspondence techniques of the calculus of finite differences. | В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера, включая последовательности многочленов биномиального типа и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей. |
| The typical situations where these notions are used are the following: The quotient by a homogeneous ideal of a multivariate polynomial ring, graded by the total degree. | Эти понятия часто используются в следующих ситуациях: Фактор кольца многочленов по однородному идеалу, градуированный полной степенью. |
| For some knot polynomials, such as the Conway, Alexander, and Jones polynomials, the relevant skein relations are sufficient to calculate the polynomial recursively. | Для некоторых многочленов, таких как полиномы Конвея, Александера и Джонса, подходящего скейн-соотношения достаточно, чтобы вычислить многочлен рекурсивно. |
| In other words, the nth moment is the nth complete Bell polynomial evaluated at the first n cumulants. | Другими словами, n-й момент равен значению n-го полного полинома Белла на первых n кумулянтах. |
| However, the exponent of the polynomial depends on the clique-width of the graph, so this algorithms is not fixed-parameter tractable. | Однако степень полинома зависит от кликовой ширины графа, так что эти алгоритмы не являются фиксированно-параметрически разрешимыми. |
| Given a (x) {\displaystyle a(x)} and t (x) {\displaystyle t(x)}, it should be computationally infeasible to recover the polynomial s (x) {\displaystyle s(x)}. | Данные а (х) {\displaystyle a(x)} и t (x) {\displaystyle t(x)} полиномы должны быть вычислительно неразрешимы для задачи восстановления полинома s (x) {\displaystyle s(x)}. |
| It is also efficient for any integers which can be represented as a polynomial with small coefficients. | Он также эффективен для чисел, представимых в виде полинома с небольшими коэффициентами. |
| 4.4. Using the coefficients of the polynomial derived from paragraph 3.2. above, a table of indicated reading against true concentration shall be drawn up in steps of no greater than 1 per cent of full scale. | 4.4 При помощи коэффициентов полинома, указанных в пункте 3.2 выше, составляют таблицу истинных значений концентрации по отношению к указанным значениям с интервалами, равными не более 1% полной шкалы. |
| For others, such as the HOMFLYPT polynomial, more complicated algorithms are necessary. | Для других, таких как полином HOMFLY, требуются более сложные алгоритмы. |
| This may be a simple quadratic, or a polynomial or rational function over a Galois field. | Это может быть простое квадратичная функция, полином или рациональная функция над полем Галуа. |
| Along a different line of study, there is a combinatorially defined cohomology theory of knots called Khovanov homology whose Euler characteristic is the Jones polynomial. | Ещё одно направление исследований - комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика - полином Джонса. |
| The general definition of the indicial polynomial is the coefficient of the lowest power of z in the infinite series. | В общем, определяющий полином является самым малым показателем степени для z в бесконечном ряду. |
| What a CRC does is convert the message to a polynomial where the value of the coefficients correspond to the bits in the message and then divide that polynomial by a predetermined, or standard, polynomial called a key. | CRC преобразует послание в полином, где значение коэффициентов соответствует битам в послании, после чего этот полином делится на предопределенный или стандартный полином, называемый ключом. |
| The union of all classes in the polynomial hierarchy is the complexity class PH. | Объединение всех классов полиномиальной иерархии является классом РН. |
| His theorem on the possibility of uniform polynomial approximation of functions of a complex variable is recognized by the classical Mergelyan theorem., and it is included in the course of the theory of functions. | Доказанная им теорема о возможности равномерной полиномиальной аппроксимации функций комплексного переменного признана классической, и она включена в курс Теории функций. |
| Fomin, Grandoni & Kratsch (2009) show how to find a minimum dominating set in time O(1.5137n) and exponential space, and in time O(1.5264n) and polynomial space. | Фомин, Грандони и Кратч показали, как найти минимальное доминирующее множество за время O(1.5137n), при использовании экспоненциальной памяти, и за время O(1.5264n), при использовании полиномиальной памяти. |
| To define this more precisely, the maximum number of inflection points possible in a polynomial curve is n-2, where n is the order of the polynomial equation. | Говоря точнее, максимальное число точек перегиба полиномиальной кривой равно n-2, где n - порядок многочлена. |
| Conversely, there are algorithms which run in a number of Turing machine steps bounded by a polynomial in the length of binary-encoded input, but do not take a number of arithmetic operations bounded by a polynomial in the number of input numbers. | Обратно - существуют алгоритмы, которые работают за число шагов машины Тьюринга, ограниченных полиномиальной длиной бинарно закодированного входа, но не работают за число арифметических операций, ограниченное многочленом от количества чисел на входе. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| A probabilistic polynomial time-bounded adversary is given the public key p k {\displaystyle pk}, which it may use to generate any number of ciphertexts (within polynomial bounds). | Противник, полиномиально ограниченный во времени, получает открытый ключ р к {\displaystyle pk}, который он может использовать для генерации любого числа шифротекстов (в пределах полиномиальных границ по времени). |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |