| Because it has a root of absolute value 1, the minimal polynomial for a Salem number must be reciprocal. | Поскольку число Салема имеет корень с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным. |
| This follows since the minimal polynomial is separable, because the roots of unity are distinct. | Минимальный многочлен является сепарабельным, поскольку корни из единицы различны. |
| However, there are still many open problems, such as characterizing graphs which have the same chromatic polynomial, and determining which polynomials are chromatic. | Однако остаётся много открытых вопросов, таких как определение графов, имеющих тот же самый хроматический многочлен, и определение, какие многочлены являются хроматическими. |
| This led to the discovery of more knot polynomials, such as the so-called HOMFLY polynomial. | Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY. |
| Soon after Jones' discovery, Louis Kauffman noticed the Jones polynomial could be computed by means of a state-sum model, which involved the bracket polynomial, an invariant of framed knots. | Вскоре после открытия Джонса Луис Кауфман заметил, что многочлен Джонса может быть вычислен в терминах модели сумм состояний, которая использует скобки Кауфмана, инвариант оснащённых узлов. |
| Chandran, Francis & Sivadasan (2010) observe that this follows from the fact that these graphs have a polynomial number of maximal cliques. | Чандран, Фрэнсис и Сивадасан (Chandran, Francis, Sivadasan (2010)) заметили, что это следует из факта, что эти графы имеют полиномиальное число максимальных клик. |
| Because of the connection between separators and expansion, every minor-closed graph family, including the family of planar graphs, has polynomial expansion. | Поскольку существует связь между сепараторами и расширением, любое замкнутое по минорам семейство графов, включая семейство планарных графов, имеет полиномиальное расширение. |
| A major reason that the blossom algorithm is important is that it gave the first proof that a maximum-size matching could be found using a polynomial amount of computation time. | Основной причиной, почему алгоритм сжатия цветков важен, является то, что он дал первое доказательство возможности нахождения наибольшего паросочетания за полиномиальное время. |
| If this function exists and is bounded by a polynomial, the graph family is said to have polynomial expansion. | Если такая функция существует и ограничена многочленом, говорят, что семейство имеет полиномиальное расширение. |
| A stronger notion is polynomial expansion, meaning that the function f used to bound the edge density of shallow minors is a polynomial. | Более строгое понятие - полиномиальное расширение, означающее, что функция f, используемая для ограничения плотности рёбер миноров ограниченной глубины, полиномиальна. |
| This is done simply by randomly generating the coefficients for a polynomial (sn-1, ..., s0) which are guaranteed or very likely to be small. | Это делается случайным формированием коэффициентов для многочлена (sn-1, ..., s0), которые гарантированно или с большой вероятностью будут небольшими. |
| Acyclic orientations are also related to colorings through the chromatic polynomial, which counts both acyclic orientations and colorings. | Ациклические ориентации связаны с раскраской посредством хроматического многочлена, который подсчитывает как ациклические ориентации, так и раскраски. |
| One can also say that the diagonalizable matrices form a dense subset with respect to the Zariski topology: the complement lies inside the set where the discriminant of the characteristic polynomial vanishes, which is a hypersurface. | Можно также сказать, что диагонализируемые матрицы образуют плотное подмножество в рамках топологии Зарисского: дополнение к этому подмножеству лежит множестве, в котором дискриминант характеристического многочлена обнуляется, то есть на гиперповерхности. |
| Many other combinations of constraints are possible for these and for higher order polynomial equations. | Возможны другие комбинации ограничений для этих и более высоких степеней многочлена. |
| If the resulting polynomial degree is greater than three, then the number of calibration points shall be at least the number of the polynomial degree plus two. | Если результирующая степень многочлена превышает три, то в этом случае количество калибровочных точек должно соответствовать по крайней мере числу, отражающему степень многочлена, плюс два. |
| For example, a projection is a square matrix P satisfying P2 = P. The roots of the corresponding scalar polynomial equation, λ2 = λ, are 0 and 1. | Например, проектор - это квадратная матрица Р, удовлетворяющая уравнению P2 = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ2 = λ будут 0 и 1. |
| The term sub-exponential time is used to express that the running time of some algorithm may grow faster than any polynomial but is still significantly smaller than an exponential. | Термин субэкспоненциальное время используется, чтобы выразить, что время выполнения некоторого алгоритма может расти быстрее любого полиномиального, но остаётся существенно меньше, чем экспоненциальное. |
| The analysis can be improved to within a polynomial factor of the number t (G) {\displaystyle t(G)} of spanning trees of the input graph. | Анализ времени работы можно улучшить до полиномиального множителя числа t (G) {\displaystyle t(G)} остовных деревьев входного графа. |
| In higher dimensional Euclidean spaces, intersection graphs of systems of balls with the property that any point of space is covered by a bounded number of balls also obey separator theorems that imply polynomial expansion. | В евклидовых пространствах более высоких размерностей графы пересечений систем шаров со свойством, что любая точка пространства покрыта ограниченным числом шаров, также удовлетворяют теоремам о разбиениях, откуда следует существование полиномиального расширения. |
| Even more restrictive, and useful in practice, is the fully polynomial-time approximation scheme or FPTAS, which requires the algorithm to be polynomial in both the problem size n and 1/ε. | Дальнейшим ограничением более полезным на практике является приближенная схема полностью полиномиального времени или fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS), которая требует, чтобы время выполнения алгоритма полиномиально зависело и от размера задачи n, и от 1/ε. |
| The SWIFFT functions can be described as a simple algebraic expression over some polynomial ring R {\displaystyle R}. | Функции SWIFFT могут быть описаны как простое алгебраическое выражение над некоторым кольцом многочленов R {\displaystyle R}. |
| A major result in Noether's 1921 paper is the Lasker-Noether theorem, which extends Lasker's theorem on the primary decomposition of ideals of polynomial rings to all Noetherian rings. | Главным результатом в статье Нётер 1921 года является теорема Ласкера - Нётер, которая обобщает теорему Ласкера о примарном разложении идеалов в кольцах многочленов. |
| If one restricts to polynomial functions, the above algebra is isomorphic to the Weyl algebra An, and the two offer alternative realizations of the Weyl map of the space of polynomials in n variables (or the symmetric algebra of a vector space of dimension 2n). | Если ограничить рассмотрение полиномиальными функциями, то выше приведёная алгебра изоморфна алгебре Вейля An, и возможна альтернативная реализация карты Вейля пространства многочленов от n переменных (или симметрическая алгебра векторного пространства размерности 2n). |
| A basic fact on symmetric polynomials is that any symmetric polynomial in, say, ti's is a polynomial in elementary symmetric polynomials in ti's. | Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, ti является многочленом от элементарных симметричных многочленов от ti. |
| Taylor's theorem is of asymptotic nature: it only tells us that the error Rk in an approximation by a k-th order Taylor polynomial Pk tends to zero faster than any nonzero k-th degree polynomial as x -> a. | Это следствие имеет асимптотическую природу: оно лишь говорит нам, что ошибка Rk приближения с помощью многочленов Тейлора k-го порядка Pk приближается к нулю быстрее, чем ненулевой многочлен k-го порядка по мере того как x -> a. |
| This construction of the Jones polynomial for tangles is a simple generalization of the Kauffman bracket of a link. | Конструкция полинома Джонса для тенгла является простым обобщением скобки Кауффмана для зацеплений. |
| For example, the Clebsch cubic (see the illustration) is defined using a certain polynomial of degree three in four variables. | К примеру, кубика Клебша (см. рисунок) определяется при помощи некоторого полинома степени три от четырёх переменных. |
| Given a (x) {\displaystyle a(x)} and t (x) {\displaystyle t(x)}, it should be computationally infeasible to recover the polynomial s (x) {\displaystyle s(x)}. | Данные а (х) {\displaystyle a(x)} и t (x) {\displaystyle t(x)} полиномы должны быть вычислительно неразрешимы для задачи восстановления полинома s (x) {\displaystyle s(x)}. |
| Now, for well-behaved functions, there's always an Nth-degree polynomial... take you to an error curve that oscillates back and forth between... positive epsilon and negative epsilon... the value of N+2 times brings you back | Для хороших функций существует полинома п-степени. Она относит вас к кривой ошибок, что колеблется туда и обратно между позитивным эпсилоном и негативным. |
| The infinity norm of a polynomial is simply the largest coefficient of the polynomial when these coefficients are viewed as integers. | Понятие бесконечной нормы полинома вводится просто как наибольший коэффициент многочлена, когда эти коэффициенты рассматриваются как целые числа. |
| You approximate the time curvature using a seventh order polynomial. | Вы рассчитываете временное искривление, используя полином седьмой степени. |
| Many important invariants can be defined in this way, including the Jones polynomial. | Множество важных инвариантов можно определить таким образом, включая полином Джонса. |
| Subtracting one side from the other, factoring, and disregarding trivial factors will then yield the minimal polynomial of certain Salem numbers. | Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и пренебрегая тривиальными множителями, мы получим минимальный полином для некоторых чисел Салема. |
| This may be a simple quadratic, or a polynomial or rational function over a Galois field. | Это может быть простое квадратичная функция, полином или рациональная функция над полем Галуа. |
| Since the Hermite interpolation polynomial coincides with the given function value and the derivative of the point, following conditions result: | Поскольку интерполяционный полином Эрмита совпадает в узлах со значением заданной функции и значением производной, то получаем следующие условия: |
| All linear programs can be expressed as SDPs, and via hierarchies of SDPs the solutions of polynomial optimization problems can be approximated. | Все задачи линейного программирования могут быть выражены как задачи SDP, а с помощью иерархий задач SDP могут быть аппроксимированы решения задач полиномиальной оптимизации. |
| It is possible to find a representation of any Apollonian network as convex 3d polyhedron in which all of the coordinates are integers of polynomial size, better than what is known for other planar graphs. | Можно найти представление любого графа Аполлония как выпуклого З-мерного многогранника, в котором все координаты являются целыми числами полиномиальной величины, что лучше, чем для других планарных графов. |
| Fomin, Grandoni & Kratsch (2009) show how to find a minimum dominating set in time O(1.5137n) and exponential space, and in time O(1.5264n) and polynomial space. | Фомин, Грандони и Кратч показали, как найти минимальное доминирующее множество за время O(1.5137n), при использовании экспоненциальной памяти, и за время O(1.5264n), при использовании полиномиальной памяти. |
| Based on this evaluation, the calculation of the Hosoya index is fixed-parameter tractable for graphs of bounded treewidth and polynomial (with an exponent that depends linearly on the width) for graphs of bounded clique-width. | Основываясь на этом вычислении индекса Хосойи, задача является фиксированно-параметрически разрешимой для графов ограниченной древесной ширины и полиномиальной (с экспонентой, зависящей линейно от ширины) для графов ограниченной кликовой ширины. |
| To define this more precisely, the maximum number of inflection points possible in a polynomial curve is n-2, where n is the order of the polynomial equation. | Говоря точнее, максимальное число точек перегиба полиномиальной кривой равно n-2, где n - порядок многочлена. |
| Others are impossible to approximate within any constant, or even polynomial, factor unless P = NP, as in the case of the Maximum Clique Problem. | Другие задачи невозможно аппроксимировать ни с каким постоянным коэффициентом, или даже с полиномиальным коэффициентом (если Р ≠ NP), и среди таких задач находится задача о максимальной клике. |
| For graphs of polynomial expansion, there exist polynomial-time approximation schemes for the set cover problem, maximum independent set problem, dominating set problem, and several other related graph optimization problems. | Для графов с полиномиальным расширением существуют приближенные схемы полиномиального времени для задачи о покрытии множества, задачи о максимальном независимом множестве, задачи о доминирующем множестве и некоторые другие связанные задачи оптимизации. |
| The size of lists is kept polynomial by the trimming step, in which we only include a number z into S if it is greater than the previous one by cs/N and not greater than s. | Сохранить размер списков полиномиальным позволяет шаг исключения близких значений, на котором добавляется элемент z в список S, только если он больше предыдущего на cs/N и не больше s, что обеспечивает включение не более N/c элементов в список. |
| James Munkres reviewed the algorithm in 1957 and observed that it is (strongly) polynomial. | Джеймс Манкрес (англ.) в 1957 году заметил, что алгоритм является (строго) полиномиальным. |
| The logistic map is a polynomial mapping, often cited as an archetypal example of how chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. | Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. |
| In 2006, Terence Tao and Tamar Ziegler extended the result to cover polynomial progressions. | В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий. |
| Traditionally, elimination theory is concerned with eliminating one or more variables from a system of polynomial equations, usually by the method of resultants. | Традиционно, теория исключения рассматривает исключение одной или большего количества переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результантов. |
| Group theory, developed in the early 1800s for the sole purpose of solving polynomial equations, became a fruitful way of categorizing elementary particles-the building blocks of matter. | Например, теория групп, разработанная в начале 1800-х годов, единственной целью которой являлась возможность решения полиномиальных уравнений, оказалась наиболее подходящим способом для категоризации элементарных частиц - строительных блоков материи. |
| Galois groups were developed to help solve polynomial equations by capturing their symmetry features. | Были введены в математику для решения полиномиальных уравнений с помощью свойств симметрии. |
| The second part of the 16th Hilbert problem is to decide if there exists an upper bound for the number of limit cycles in polynomial vector fields of given degree. | Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. |
| Graph algorithms: By using heaps as internal traversal data structures, run time will be reduced by polynomial order. | Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. |
| Angluin gives a polynomial algorithm to compute, for a given input string set, all descriptive patterns in one variable x. | Англуин дала полиномиальный алгоритм для вычисления, для заданного входного множества строк, всех описательных образов от одной переменной х. |
| For example, the invariants of group number 4 form a polynomial ring with 2 generators of degrees 4 and 6. | Например, инварианты группа Nº 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6. |
| Formal differentiation is used in algebra to test for multiple roots of a polynomial. | В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов. |
| The basic insights that both Newton and Leibniz provided were the laws of differentiation and integration, second and higher derivatives, and the notion of an approximating polynomial series. | Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. |
| In general, the error in approximating a function by a polynomial of degree k will go to zero a little bit faster than (x - a)k as x tends to a. | В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка к будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю (х - а)к по мере того как х стремится к а. |