| It has no crossings, so every polyhedral graph is also a planar graph. | Диаграмма не имеет самопересечений, так что любой полиэдральный граф является также планарным. |
| In 1880, P.G. Tait conjectured that every cubic polyhedral graph has a Hamiltonian circuit. | В 1884 Тэйт высказал предположение, что любой кубический полиэдральный граф является гамильтоновым. |
| It follows from this fact that (up to combinatorial equivalence, the choice of the outer face, and the orientation of the plane) every polyhedral graph has a unique planar embedding. | Отсюда следует, что (до комбинаторной эквивалентности, выбора внешней грани и ориентации плоскости) любой полиэдральный граф имеет уникальное планарное вложение. |
| The strong Papadimitriou-Ratajczak conjecture, that every polyhedral graph has a planar greedy embedding in which all faces are convex, remains unproven. | Строгая гипотеза Пападимитру - Ратайджака, что любой полиэдральный граф имеет планарное жадное вложение, в котором все грани выпуклы, остаётся недоказанной. |
| In a 1-planar embedding of an optimal 1-planar graph, the uncrossed edges necessarily form a quadrangulation (a polyhedral graph in which every face is a quadrilateral). | В 1-планарном вложении оптимального 1-планарного графа непересекающиеся рёбра обязательно образуют разбиение на четырёхугольники (т.е. образуют полиэдральный граф, в котором каждая грань является четырёхугольником). |
| These nets may then be assembled into actual three-dimensional polyhedral models of great beauty and complexity. | Эти развёртки могут быть затем собраны в настоящие трёхмерные модели многогранников, красивые и сложные. |
| As elaborated by Alexander Schrijver, further significance of the result comes from the fact that this was the first polytope whose proof of integrality "does not simply follow just from total unimodularity, and its description was a breakthrough in polyhedral combinatorics." | Как уточнил Александр Схрейвер, дальнейшая важность результата следует из факта, что этот многогранник был первым, доказательство целочисленности которого «не просто следовало из тотальной унимодулярности, а его описание было прорывом в комбинаторике многогранников». |
| Applying twice aa, (rectifying a rectification) is Conway's expand operation, e, which is the same as Johnson's cantellation operation, t0,2 generated from regular polyhedral and tilings. | Применяя дважды аа, (спрямление после спрямления) - это конвеевская операция расширения, ё, которая является той же операцией, что и операция скашивания Джонсона, t0,2 для правильных многогранников и мозаик. |
| They are the only four cubic polyhedral graphs (graphs of simple convex polyhedra) that are well-covered. | Из этих графов первые четыре планарны, а потому только они являются также четырьмя кубическими полиэдральными графами (графами простых выпуклых многогранников), которые являются хорошо покрытыми. |
| Stewart Coffin makes polyhedral puzzles in rare and beautiful woods; George W. Hart works on the theory of polyhedra and sculpts objects inspired by them; Magnus Wenninger makes "especially beautiful" models of complex stellated polyhedra. | Стюарт Коффин создаёт головоломки-многогранники из редких сортов дерева, Джордж У. Харт занимается теорией многогранников и лепит их, Магнус Веннинджер создаёт модели звёздчатых образований. |
| Grinberg used his theorem to find non-Hamiltonian cubic polyhedral graphs with high cyclic edge connectivity. | Гринберг использовал свою теорему для поиска негамильтоновых кубических полиэдральных графов с высокой циклической рёберной связностью. |
| The smallest possible number of vertices for a non-hamiltonian polyhedral graph is 11. | Наименьшее возможное число вершин для негамильтоновых полиэдральных графов равно 11. |
| The Halin graphs, graphs formed from a planar embedded tree by adding an outer cycle connecting all of the leaves of the tree, form another important subclass of the polyhedral graphs. | Графы Халина, образованные из планарных деревьев путём добавления внешнего цикла, проходящего через все листья дерева, образуют другой важный подкласс полиэдральных графов. |
| Koester (1991) used the Hajós construction to generate an infinite set of 4-critical polyhedral graphs, each having more than twice as many edges as vertices. | Кёстер использовал построение Хайоша для получения бесконечного множества 4-критичных полиэдральных графов, каждый из которых имеет вдвое больше рёбер, чем вершин. |
| Of these, the two polyhedral graphs are planar. | Два из перечисленных полиэдральных графа являются планарными. |
| Other vertex-transitive polyhedral graphs include the Archimedean graphs. | Другими вершинно-транзитивными полиэдральными графами являются архимедовы графы. |
| As polyhedral graphs, they are also 3-vertex-connected planar graphs. | Являясь полиэдральными графами, эти графы также являются вершинно З-связными планарными графами. |
| For this reason, the 3-connected planar graphs are also known as polyhedral graphs. | По этой причине З-связные планарные графы называют также полиэдральными. |
| There are 13 Archimedean graphs, and all of them are regular, polyhedral (and therefore by necessity also 3-vertex-connected planar graphs), and also Hamiltonian graphs. | Имеется 13 архимедовых графов, и все они являются регулярными, полиэдральными (а следовательно, также 3-вершинно связными планарными) и гамильтоновыми. |
| They are the only four cubic polyhedral graphs (graphs of simple convex polyhedra) that are well-covered. | Из этих графов первые четыре планарны, а потому только они являются также четырьмя кубическими полиэдральными графами (графами простых выпуклых многогранников), которые являются хорошо покрытыми. |
| Very fast algorithms are available for finding the closest points on the surface of two convex polyhedral objects. | На данный момент, доступны очень быстрые алгоритмы на нахождения ближайших точек поверхности двух выпуклых многогранных тел. |
| It is one of four well-covered cubic polyhedral graphs and one of seven well-covered 3-connected cubic graphs. | Граф является одним из хорошо укрытых кубических многогранных графов и одним из семи хорошо укрытых З-связных кубических графов. |
| The Tadmur experiment to produce polyhedral solid structures formed by micro-crystals during their accumulation and growth. | эксперимент "Тадмор", преследовавший цель получения многогранных твердых структур, образуемых микрокристаллами в процессе их скопления и роста; |
| This is not a 4-polytope, since it is not bounded by polyhedral cells. | Но она не является 4-мерным многогранником, поскольку не ограничена многогранными ячейками. |
| Typically, a fundamental domain is required to be a connected subset with some restrictions on its boundary, for example, smooth or polyhedral. | Обычно требуется, чтобы фундаментальная область была связным подмножеством с некоторыми ограничениями на границы, например, чтобы они были гладкими или многогранными. |
| A polyhedral representation is the tetrahemihexahedron, which has the same general form as Steiner's Roman Surface, shown here. | Представление в виде многогранника - это тетрагемигексаэдр, который имеет ту же общую форму, что и поверхность Штейнера. |
| The plant comprises a polyhedral housing consisting of a cylindrical lower part and an upper part in the form of a truncated cone with a through opening at the top. | Установка содержит корпус, выполненный в виде многогранника, включающий цилиндрическую нижнюю часть и верхнюю часть в виде усеченного конуса со сквозным отверстием веху. |
| In 1969, Branko Grünbaum conjectured that every 3-regular graph with a polyhedral embedding on any two-dimensional oriented manifold such as a torus must be of class one. | В 1969 году Бранко Грюнбаум высказал гипотезу, что любой 3-регулярный граф, у которого существует вложение в виде многогранника в любое двумерное ориентированное многообразие, такое как тор, должен принадлежать первому классу. |
| If true, this would be a generalization of the four color theorem, which was shown by Tait to be equivalent to the statement that 3-regular graphs with a polyhedral embedding on a sphere are of class one. | Если бы это было верно, это было бы обобщением теоремы о четырёх красках, которая, как показал Тейт, эквивалентна утверждению, что любой З-регулярный граф, для которого существует вложение в виде многогранника в сферу, принадлежит первому классу. |
| Because oriented polyhedral graphs have a unique planar embedding, the existence of an upward planar drawing for these graphs may be tested in polynomial time. | Поскольку направленные полиэдральные графы имеют единственное планарное вложение, существование восходящего планарного представления для этих графов может быть проверено за полиномиальное время. |
| This forms an alternative characterization of the Apollonian networks: they are exactly the chordal maximal planar graphs or equivalently the chordal polyhedral graphs. | Это свойство даёт альтернативное описание графов Аполлония - это в точности хордальные максимальные планарные графы или, эквивалентно, хордальные полиэдральные графы. |
| According to Steinitz's theorem, these two graph-theoretic properties are enough to completely characterize the polyhedral graphs: they are exactly the 3-vertex-connected planar graphs. | Согласно теореме Штейница этих двух свойств достаточно, чтобы полностью описать полиэдральные графы - это в точности вершинно З-связные планарные графы. |
| The 46-vertex Tutte graph, and the smaller cubic non-Hamiltonian polyhedral graphs derived from it, have cyclic edge connectivity three. | Граф Татта с 46 вершинами и меньшие кубические негамильтоновы полиэдральные графы, полученные из него, имеют циклическую рёберную связность три. |
| The Herschel graph also provides an example of a polyhedral graph for which the medial graph cannot be decomposed into two edge-disjoint Hamiltonian cycles. | Граф Хершеля даёт также пример полиэдрального графа, для которого срединный граф не может быть разбит на два непересекающихся по рёбрам гамильтонова цикла. |
| Barnette's conjecture is also equivalent to the statement that the vertices of the dual of every cubic bipartite polyhedral graph can be partitioned into two subsets whose induced subgraphs are trees. | Гипотеза Барнетта эквивалентна также утверждению, что вершины двойственного графа для любого кубического двудольного полиэдрального графа можно разделить на два подмножества и порождённые графы на этих подмножествах являются деревьями. |
| Mohar (1993) describes a similar iterative technique for finding simultaneous packings of a polyhedral graph and its dual, in which the dual circles are at right angles to the primal circles. | Мохар описывает похожую итеративную технику для поиска упаковок полиэдрального графа и его двойственного, в которых двойственные циклы пересекаются под прямым углом с основными окружностями. |
| With this construction, the Bidiakis cube is a polyhedral graph, and can be realized as a convex polyhedron. | По этому построению бидиакис-куб является полиэдральным графом и может быть представлен в виде выпуклого многогранника. |
| Therefore, by Steinitz's theorem, the Herschel graph is a polyhedral graph: there exists a convex polyhedron (an enneahedron) having the Herschel graph as its skeleton. | Поэтому, по теореме Штайница граф Голднера - Харари является полиэдральным графом - существует выпуклый многогранник (эннеаэдр), имеющий граф Хершеля в качестве своего скелета . |