| It is not possible to use Grinberg's theorem to find counterexamples to Barnette's conjecture, that every cubic bipartite polyhedral graph is Hamiltonian. | Невозможно использовать теорему Гринберга для поиска контрпримеров гипотезе Барнетта, что любой кубический двудольный полиэдральный граф гамильтонов. |
| It has no crossings, so every polyhedral graph is also a planar graph. | Диаграмма не имеет самопересечений, так что любой полиэдральный граф является также планарным. |
| In 1880, P.G. Tait conjectured that every cubic polyhedral graph has a Hamiltonian circuit. | В 1884 Тэйт высказал предположение, что любой кубический полиэдральный граф является гамильтоновым. |
| The observation that every chordal polyhedral graph is maximal planar was stated explicitly by Gerlach (2004). | Что любой хордальный полиэдральный граф является максимальным планарным, заметил Герлах (Gerlach 2004). |
| A related conjecture of Barnette states that every cubic polyhedral graph in which all faces have six or fewer edges is Hamiltonian. | Гипотеза, связанная с гипотезой Барнетте, утверждает, что любой кубический полиэдральный граф, в котором все грани имеют шесть и менее рёбер, является гамильтоновым. |
| In graph theory, a branch of mathematics, the Herschel graph is a bipartite undirected graph with 11 vertices and 18 edges, the smallest non-Hamiltonian polyhedral graph. | В теории графов граф Хершеля - это двудольный неориентированный граф с 11 вершинами и 18 рёбрами, наименьший негамильтонов полиэдральный граф. |
| It follows from this fact that (up to combinatorial equivalence, the choice of the outer face, and the orientation of the plane) every polyhedral graph has a unique planar embedding. | Отсюда следует, что (до комбинаторной эквивалентности, выбора внешней грани и ориентации плоскости) любой полиэдральный граф имеет уникальное планарное вложение. |
| A refinement of Tait's conjecture, Barnette's conjecture that every bipartite 3-regular polyhedral graph is Hamiltonian, remains open. | Обновление гипотезы Татта, гипотеза Барнетте, что любой двудольный З-регулярный полиэдральный граф является гамильтоновым, остаётся открытой. |
| The strong Papadimitriou-Ratajczak conjecture, that every polyhedral graph has a planar greedy embedding in which all faces are convex, remains unproven. | Строгая гипотеза Пападимитру - Ратайджака, что любой полиэдральный граф имеет планарное жадное вложение, в котором все грани выпуклы, остаётся недоказанной. |
| In a 1-planar embedding of an optimal 1-planar graph, the uncrossed edges necessarily form a quadrangulation (a polyhedral graph in which every face is a quadrilateral). | В 1-планарном вложении оптимального 1-планарного графа непересекающиеся рёбра обязательно образуют разбиение на четырёхугольники (т.е. образуют полиэдральный граф, в котором каждая грань является четырёхугольником). |
| Papadimitriou & Ratajczak (2005) conjectured that every polyhedral graph (a 3-vertex-connected planar graph, or equivalently by Steinitz's theorem the graph of a convex polyhedron) has a greedy embedding into the Euclidean plane. | Пападимитру и Ратайджак высказали предположение, что любой полиэдральный граф (вершинно З-связный граф планарный граф, или, что эквивалентно, согласно теореме Штайница, граф выпуклого многогранника) имеет жадное вложение в евклидову плоскость. |