| In fact, even if Q has only one negative eigenvalue, the problem is NP-hard. | Фактически, даже если Q имеет единственное отрицательное собственное значение, задача NP-трудна. |
| Once an eigenvalue λ of a matrix A has been identified, it can be used to either direct the algorithm towards a different solution next time, or to reduce the problem to one that no longer has λ as a solution. | Как только собственное значение λ матрицы A определено, его можно использовать либо для приведения алгоритма к получению другого собственного значения, либо для сведения задачи к такой, которая не имеет λ в качестве решения. |
| More generally, if W is any invertible matrix, and λ is an eigenvalue of A with generalized eigenvector v, then (W-1AW - λI)k W-kv = 0. | Если Ш является обратимой матрицей и λ - собственное значение матрицы A с соответствующим корневым вектором v, то (W -1AW - λE)k W -kv = 0. |
| Conversely, inverse iteration based methods find the lowest eigenvalue, so μ is chosen well away from λ and hopefully closer to some other eigenvalue. | И наоборот, методы, основанные на обратной итерации находят наименьшее собственное значение, так что μ выбирается подальше от λ в надежде оказаться ближе к какому-нибудь другому собственному значению. |
| The eigenvalue found for A - μI must have μ added back in to get an eigenvalue for A. For example, for power iteration, μ = λ. | Собственное значение, найденное для А - μE, должно быть добавлено к μ, чтобы получить собственное значение матрицы A. Например, в степенном методе μ = λ. |
| Thus the columns of the product of any two of these matrices will contain an eigenvector for the third eigenvalue. | Тогда столбцы произведения любых двух из этих матриц содержат собственные векторы третьего собственного значения. |
| Once an eigenvalue λ of a matrix A has been identified, it can be used to either direct the algorithm towards a different solution next time, or to reduce the problem to one that no longer has λ as a solution. | Как только собственное значение λ матрицы A определено, его можно использовать либо для приведения алгоритма к получению другого собственного значения, либо для сведения задачи к такой, которая не имеет λ в качестве решения. |
| The multiplicity of 0 as an eigenvalue is the nullity of P, while the multiplicity of 1 is the rank of P. Another example is a matrix A that satisfies A2 = a2I for some scalar a. | Кратность собственного значения 0 - это дефект P, в то время как кратность 1 - это ранг P. Другой пример - матрица A, удовлетворяющая уравнению A2 = a2E для некоторого скаляра a. |
| If an eigenvalue algorithm does not produce eigenvectors, a common practice is to use an inverse iteration based algorithm with μ set to a close approximation to the eigenvalue. | Если алгоритм не даёт к собственные значения, общей практикой является применение алгоритма, основанного на обратной итерации, с приравниванием μ к ближайшей аппроксимации собственного значения. |
| It is also used in eigenvalue algorithms to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. | Используется оно и в алгоритмах нахождения собственных значений матрицы для получения приближения собственного значения из приближения собственного вектора. |
| Hessenberg and tridiagonal matrices are the starting points for many eigenvalue algorithms because the zero entries reduce the complexity of the problem. | Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. |
| In the second step, lower-dimensional points are optimized with fixed weights, which can be solved via sparse eigenvalue decomposition. | На втором шаге точки пространства малой размерности оптимизируются с фиксированными весами, так что эту задачу можно решить с помощью разложения по собственным значениям разрешенной матрицы. |
| Perron numbers are named after Oskar Perron; the Perron-Frobenius theorem asserts that, for a real square matrix with positive algebraic coefficients whose largest eigenvalue is greater than one, this eigenvalue is a Perron number. | Теорема Фробениуса - Перрона утверждает, что для вещественной квадратной матрицы с положительными алгебраическими коэффициентами, наибольшее собственное значение которых больше единицы, это собственное значение является числом Перрона. |
| Thus λ is an eigenvalue of W-1AW with generalized eigenvector W-kv. | Таким образом, λ является собственным значением матрицы W -1AW с соответствующим корневым вектором W -kv. |
| A typical symmetric QR algorithm isolates each eigenvalue (then reduces the size of the matrix) with only one or two iterations, making it efficient as well as robust. | В типичном виде для симметричных матриц QR алгоритм точно находит одно собственное число (уменьшая размерность матрицы) за одну или две итерации, делая этот подход как эффективным так и надежным. |
| These eigenvalue algorithms may also find eigenvectors. | Эти алгоритмы вычисления собственных значений могут также находить собственные векторы. |
| Hessenberg and tridiagonal matrices are the starting points for many eigenvalue algorithms because the zero entries reduce the complexity of the problem. | Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. |
| The eigenvalue algorithm can then be applied to the restricted matrix. | Алгоритм вычисления собственных значений можно тогда применить к этой суженой матрице. |
| Iterative algorithms solve the eigenvalue problem by producing sequences that converge to the eigenvalues. | Итеративные алгоритмы решают задачу вычисления собственных значений путём построения последовательностей, сходящихся к собственным значениям. |
| Thus eigenvalue algorithms that work by finding the roots of the characteristic polynomial can be ill-conditioned even when the problem is not. | Такие алгоритмы вычисления собственных значений, которые работают путём нахождения корней характеристического многочлена, могут оказаться плохо обусловленными, даже если сама задача хорошо обусловлена. |
| There is also the notion of the spectral radius, commonly taken as the largest eigenvalue. | Обычно различают и понятие о спектральном радиусе, определяемом обычно как наибольшее собственное число. |
| In symbols, H f = λ f {\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}, where f is the eigenfunction and λ {\displaystyle \lambda} is the eigenvalue, a constant. | Запись: Н f = λ f {\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}, где f - собственная функция, и λ {\displaystyle \lambda} - собственное число, константа. |
| A regular graph of degree k is connected if and only if the eigenvalue k has multiplicity one. | Регулярный граф степени к связен тогда и только тогда, когда собственное число к имеет единичную кратность. |
| In 1970, Jeff Cheeger proved an inequality that related the first nontrivial eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on M to h(M). | В 1970-м году Джеф Чигер доказал неравенство, связывающее первое нетривиальное собственное число оператора Лапласа - Бельтрами на M с числом h(M). |
| A typical symmetric QR algorithm isolates each eigenvalue (then reduces the size of the matrix) with only one or two iterations, making it efficient as well as robust. | В типичном виде для симметричных матриц QR алгоритм точно находит одно собственное число (уменьшая размерность матрицы) за одну или две итерации, делая этот подход как эффективным так и надежным. |
| Conversely, inverse iteration based methods find the lowest eigenvalue, so μ is chosen well away from λ and hopefully closer to some other eigenvalue. | И наоборот, методы, основанные на обратной итерации находят наименьшее собственное значение, так что μ выбирается подальше от λ в надежде оказаться ближе к какому-нибудь другому собственному значению. |
| Power iteration finds the largest eigenvalue in absolute value, so even when λ is only an approximate eigenvalue, power iteration is unlikely to find it a second time. | Итерация степенного метода находит самое большое по абсолютной величине значение, так что даже если λ является приближением к собственному значению, итерация степенного метода вряд ли найдёт его во второй раз. |