| A number λ and a non-zero vector v satisfying Av = λv are called an eigenvalue and an eigenvector of A, respectively. | Число λ и ненулевой вектор v, удовлетворяющие уравнению Av = λv, называются собственным значением и собственным вектором матрицы A соответственно. |
| More generally, if W is any invertible matrix, and λ is an eigenvalue of A with generalized eigenvector v, then (W-1AW - λI)k W-kv = 0. | Если Ш является обратимой матрицей и λ - собственное значение матрицы A с соответствующим корневым вектором v, то (W -1AW - λE)k W -kv = 0. |
| Hessenberg and tridiagonal matrices are the starting points for many eigenvalue algorithms because the zero entries reduce the complexity of the problem. | Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. |
| Let -p be the smallest eigenvalue of the Seidel adjacency matrix, A, of the two-graph, and suppose that it has multiplicity n - d. | Пусть -р - наименьшее собственное значение матрицы смежности Зайделя А два-графа, и предположим, что его кратность равна n - d. |
| Once an eigenvalue λ of a matrix A has been identified, it can be used to either direct the algorithm towards a different solution next time, or to reduce the problem to one that no longer has λ as a solution. | Как только собственное значение λ матрицы A определено, его можно использовать либо для приведения алгоритма к получению другого собственного значения, либо для сведения задачи к такой, которая не имеет λ в качестве решения. |
| The function pA(z) is the characteristic polynomial of A. So the algebraic multiplicity is the multiplicity of the eigenvalue as a zero of the characteristic polynomial. | Функция pA(z) - это характеристический многочлен матрицы A. Таким образом, алгебраическая кратность является кратностью собственных значений как корней характеристического многочлена. |
| In the second step, lower-dimensional points are optimized with fixed weights, which can be solved via sparse eigenvalue decomposition. | На втором шаге точки пространства малой размерности оптимизируются с фиксированными весами, так что эту задачу можно решить с помощью разложения по собственным значениям разрешенной матрицы. |
| In computational mathematics, a matrix-free method is an algorithm for solving a linear system of equations or an eigenvalue problem that does not store the coefficient matrix explicitly, but accesses the matrix by evaluating matrix-vector products. | В вычислительной математике, безматричный метод это алгоритм для решения СЛАУ или решения задачи нахождения собственных значений, который не использует отдельное хранение матрицы коэффициентов, но обращается к матрице через произведения матриц-векторов. |
| The eigenvalue found for A - μI must have μ added back in to get an eigenvalue for A. For example, for power iteration, μ = λ. | Собственное значение, найденное для А - μE, должно быть добавлено к μ, чтобы получить собственное значение матрицы A. Например, в степенном методе μ = λ. |
| It is also used in eigenvalue algorithms to obtain an eigenvalue approximation from an eigenvector approximation. | Используется оно и в алгоритмах нахождения собственных значений матрицы для получения приближения собственного значения из приближения собственного вектора. |
| Perron numbers are named after Oskar Perron; the Perron-Frobenius theorem asserts that, for a real square matrix with positive algebraic coefficients whose largest eigenvalue is greater than one, this eigenvalue is a Perron number. | Теорема Фробениуса - Перрона утверждает, что для вещественной квадратной матрицы с положительными алгебраическими коэффициентами, наибольшее собственное значение которых больше единицы, это собственное значение является числом Перрона. |
| Thus λ is an eigenvalue of W-1AW with generalized eigenvector W-kv. | Таким образом, λ является собственным значением матрицы W -1AW с соответствующим корневым вектором W -kv. |
| A typical symmetric QR algorithm isolates each eigenvalue (then reduces the size of the matrix) with only one or two iterations, making it efficient as well as robust. | В типичном виде для симметричных матриц QR алгоритм точно находит одно собственное число (уменьшая размерность матрицы) за одну или две итерации, делая этот подход как эффективным так и надежным. |