| Every functor F: D -> E induces a functor FC: DC -> EC (by composition with F). | Каждый функтор F: D -> E индуцирует функтор FC: DC -> EC (путём композиции с F). |
| Formally, given two categories C and D, an equivalence of categories consists of a functor F: C -> D, a functor G: D -> C, and two natural isomorphisms ε: FG->ID and n: IC->GF. | Для двух категорий С и D задана их эквивалентность, если задан функтор F: C -> D, функтор G: D -> C, и два естественных изоморфизма ε: FG->ID и n: IC->GF. |
| A strict monoidal functor is a monoidal functor whose coherence maps are identities. | Строго моноидальный функтор - это моноидальный функтор, структурные морфизмы которого тождественны. |
| Let F: Set -> Grp be the functor assigning to each set Y the free group generated by the elements of Y, and let G: Grp -> Set be the forgetful functor, which assigns to each group X its underlying set. | Пусть F: Grp <- Set - функтор, который множеству Y сопоставляет свободную группу, порожденную элементами Y, и G: Grp -> Set - забывающий функтор, сопоставляющий группе X её множество-носитель. |
| Note that one can also define a contravariant functor as a covariant functor on the opposite category C o p {\displaystyle C^{\mathrm {op}}}. | Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории С о р {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op}}}. |
| A category C is concretizable if there exists a concrete category (C, U); i.e., if there exists a faithful functor U:C -> Set. | Конкретная категория - это пара (C, U), такая что: C является категорией, U - строгий функтор C -> Set (категория множеств). |
| Due to this circumstance, a functor with these properties is sometimes called a weak equivalence of categories. | Поэтому функтор F с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий. |
| In other words, the functor C is right adjoint to the forgetful functor from coalgebras to vector spaces. | Другими словами функтор С сопряжён с права к забывающему функтору из коалгебр в векторные пространства. |
| The forgetful functor U:Grp -> Set has a left adjoint given by the composite KF:Set->Mon->Grp where F is the free functor. | Забывающий U:Grp -> Set имеет правый сопряженный - композицию KF:Set->Mon->Grp, где F - свободный функтор. |
| The forgetful functor U: C -> Set {\displaystyle U:C\to {\textbf {Set}}} on such categories takes the internal Hom functor to the external Hom functor. | Забывающий функтор U: C -> Set {\displaystyle U:C\to {\textbf {Set}}} в таких категориях переводит внутренний функтор Hom во внешний. |
| In category theory, a faithful functor (respectively a full functor) is a functor that is injective (respectively surjective) when restricted to each set of morphisms that have a given source and target. | В теории категорий унивалентный функтор (соотв. полный функтор) - это функтор, который инъективен (соотв. сюръективен) на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. |
| In mathematics, a full subcategory A of a category B is said to be reflective in B when the inclusion functor from A to B has a left adjoint. | В математике, подкатегория А категории В называется отражающей, если функтор вложения А в В имеет левый сопряженный. |
| In many examples (such as those above) this functor is faithful, so a category enriched over M can be described as an ordinary category with certain additional structure or properties. | Во многих примерах функтор из моноидальной категории в обычную является строгим, и тогда категория, обогащенная над М {\displaystyle {\mathcal {M}}}, может рассматриваться как обычная категория с добавленной структурой. |