| The reflector is the functor which sends each group to its abelianization. | Отражатель - функтор, отправляющий каждую группу в её абелианизацию. |
| The direct image functor is the primary operation on sheaves, with the simplest definition. | Функтор прямого образа является первичной операцией на пучках, с простым определением. |
| The variety that represents this functor is called the restriction of scalars, and is unique up to unique isomorphism if it exists. | Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует. |
| A functor to the comma category selects that particular collection of morphisms. | Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. |
| The Hom functor is a natural example; it is contravariant in one argument, covariant in the other. | Естественный пример - функтор Ном, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому. |
| In a sense, an adjoint functor is a way of giving the most efficient solution to some problem via a method which is formulaic. | Можно сказать, что сопряжённый функтор - это способ указания наиболее эффективного решения некоторой проблемы с помощью стандартного метода. |
| Then S can be seen as a (left) R-module, and the tensor product with S yields a functor F: R-Mod -> S-Mod. | Тогда S можно рассматривать как (левый) R-модуль, и тензорное произведение с S определяет функтор F: R-Mod -> S-Mod. |
| In more detail, start with the functor E ↦ E(X) from sheaves of abelian groups on X to abelian groups. | А именно, рассмотрим функтор Е ↦ Е(Х) из пучков абелевых групп на Х в абелевы группы. |
| This is rather vague, though suggestive, and can be made precise in the language of category theory: a construction is most efficient if it satisfies a universal property, and is formulaic if it defines a functor. | Приведенное выше описание очень расплывчато, но его можно сделать точным, используя язык теории категорий: конструкция «наиболее эффективна», если она удовлетворяет универсальному свойству, и «стандартна» в том смысле, что она задаёт функтор. |
| Let c be an object of the category C, and consider the functor Hom(-, c). | Пусть с - объект С, рассмотрим функтор Ном(-, с). |
| For a scheme X of finite type over C, there is a functor from coherent algebraic sheaves on X to coherent analytic sheaves on the associated analytic space Xan. | Для схемы Х конечного типа над С, существует функтор из когерентных алгебраических пучков на Х в когерентные аналитические пучки на соответствующем аналитическом пространстве Xan. |
| Let C be a category, and let F be a contravariant functor from C to the category of sets Set. | Пусть С - категория и F - функтор из C в категорию множеств Set. |
| Then An initial object I in C is a universal morphism from to U. The functor which sends to I is left adjoint to U. A terminal object T in C is a universal morphism from U to. | Тогда Начальный объект I категории C - это универсальная стрелка из в U. Функтор, отправляющий в I - левый сопряженный для U. Терминальный объект T категории C - это универсальная стрелка из U в. |
| The divided power functor is used in the construction of co-Schur functors. | Функтор разделённых степеней используется при построении кофункторов Шура. |
| A functor whose domain is a product category is known as a bifunctor. | Функтор, область определения которого - категория произведения, называется бифунктором. |
| This functor takes an object c' of C and gives back all of the morphisms c'->c. | Этот функтор сопоставляет объекту с' категории С все морфизмы с'->с. |
| The forgetful functor Vect -> Set on the category of real vector spaces is represented by (R, 1). | Забывающий функтор Vect -> Set из категории действительных векторных пространств представим (R, 1). |
| Not every functor G: C -> D admits a left adjoint. | Не каждый функтор G: C -> D имеет левый или правый сопряжённый. |
| In particular, a forgetful functor is represented by (A, u) whenever A is a free object over a singleton set with generator u. | В частности, забывающий функтор будет представим (А, u), если A - свободный объект над синглентоном u. |
| In category theory, a branch of mathematics, a natural transformation provides a way of transforming one functor into another while respecting the internal structure (i.e., the composition of morphisms) of the categories involved. | В теории категорий есте́ственное преобразова́ние предоставляет способ перевести один функтор в другой, сохраняя внутреннюю структуру (например, композиции морфизмов). |
| The word functor was borrowed by mathematicians from the philosopher Rudolf Carnap, who used the term in a linguistic context; see function word. | Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию. |
| Let 1 be the discrete category with a single object (denoted by), and let U: C -> 1 be the unique (constant) functor to 1. | Рассмотрим 1 - категорию с единственным объектом (обозначаемым), и U: C -> 1 - единственный функтор в 1. |
| For each object A of C let Hom(A,-) be the hom functor that maps object X to the set Hom(A, X). | Пусть С - локально малая категория, тогда для каждого её объекта А Ном(А,-) - функтор Ном, который отправляет объекты Х во множества Ном(А, Х). |
| In mathematics, particularly category theory, a representable functor is a functor of a special form from an arbitrary category into the category of sets. | В теории категорий, представимый функтор - функтор специального типа из произвольной категории в категорию множеств. |
| An important property of adjoint functors is that every right adjoint functor is continuous and every left adjoint functor is cocontinuous. | Важное свойство сопряжённых функторов - то, что каждый правый сопряженный функтор непрерывен и каждый левый сопряженный функтор конепрерывен. |