| As a variant of the definition of a graded poset, Birkhoff allows rank functions to have arbitrary (rather than only nonnegative) integer values. | В качестве варианта определения градуированного ЧУМ Биркгоф позволяет функции ранга иметь произвольные (а не только неотрицательные) целые значения. |
| If P also has a greatest element Î (so that it is a bounded poset), then the previous condition can be simplified to the requirement that all maximal chains in P have the same (finite) length. | Если Р имеет также наибольший элемент Î (так что это ограниченное ЧУМ), тогда предыдущее условие может быть упрощено до требования, что все максимальные цепи в P имеют одну и ту же (конечную) длину. |
| A graded poset (with positive integer ranks) cannot have any elements x for which arbitrarily long chains with greatest element x exist, as otherwise it would have to have elements of arbitrarily small (and eventually negative) rank. | Градуированное ЧУМ (с положительными значениями функции ранга) не может имеет какого-либо элемента х, до которого существуют цепочки произвольной длины с максимальным элементом х, в противном случае оно имело бы элементы произвольно малого (в том числе и отрицательного) ранга. |
| A poset is graded if and only if every connected component of its comparability graph is graded, so further characterizations will suppose this comparability graph to be connected. | ЧУМ является градуированным тогда и только тогда, когда любая связная компонента его графа сравнимости является градуированной, так что дальнейшее описание предполагает, что этот граф сравнимости связен. |
| A poset P is strongly connected if every section of P (including P itself) is connected. | Посет Р является строго связным, если любая секция Р (включая сам Р) связна. |
| Formally, P (with <) will be a (strict) partially ordered set, or poset. | Формально, Р (с отношением порядка <) будет (строго) частично упорядоченным множеством (посет). |
| It follows that the vertices a and b have rank 0, and that the greatest face ab, and therefore the poset, both have rank 1. | Отсюда сразу следует, что вершины а и Ь имеют ранг 0, а наибольшая грань ab, а потому и сам посет, имеют ранг 1. |
| Axiom 2 is equivalent to saying that the poset is a graded poset. | Аксиома 2 эквивалентна утверждению, что посет является градуированным посетом. |
| Then the poset of cells of L, ordered by the inclusion of their closures, is Eulerian. | Тогда частично упорядоченное множество ячеек L с порядком, определяемым включением их замыканий, является эйлеровым. |
| If a graph can be colored with four colors, then its incidence poset has order dimension at most four (Schnyder 1989). | Если граф можно раскрасить в четыре цвета, то его частично упорядоченное множество инцидентности вершин имеет порядковую размерность, не превосходящую четырёх (Schnyder 1989). |
| As Schnyder observes, the incidence poset of a graph G has order dimension two if and only if the graph is a path or a subgraph of a path. | Как заметил Шнайдер, частично упорядоченное множество инцидентности вершин графа G имеет порядковую размерность два тогда и только тогда, когда граф является путём или подграфом пути. |
| A bounded poset admits a grading if and only if all maximal chains in P have the same length: setting the rank of the least element to 0 then determines the rank function completely. | Ограниченное частично упорядоченное множество допускает градуирование тогда и только тогда, когда все максимальные цепочки в Р имеют одну длину - если установить ранг наименьшего элемента равным 0, то ранг определяется полностью. |
| If a graph can be colored with four colors, then its incidence poset has order dimension at most four (Schnyder 1989). | Если граф можно раскрасить в четыре цвета, то его частично упорядоченное множество инцидентности вершин имеет порядковую размерность, не превосходящую четырёх (Schnyder 1989). |
| As Schnyder observes, the incidence poset of a graph G has order dimension two if and only if the graph is a path or a subgraph of a path. | Как заметил Шнайдер, частично упорядоченное множество инцидентности вершин графа G имеет порядковую размерность два тогда и только тогда, когда граф является путём или подграфом пути. |